Variables aléatoires à densité (Appro)

Si \(X\) est une variable aléatoire à densité de fonction de répartition \(F_X\), on appelle densité de \(X\) toute fonction \(f_X\) définie et positive sur \(\mathbb{R}\) et telle que \(f_X(x)=F_X^{\prime}(x)\) pour tout \(x\) appartenant à \(\mathbb{R}\) éventuellement privé d’un ensemble fini de points.

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\). \(f\) est une densité de probabilité si et seulement si : \(f\) est positive sur \(\mathbb{R}\), \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) éventuellement privé d’un ensemble fini de points, \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t\) converge et : \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t=1\).

Soit \(X\) une variable aléatoire à densité, de densité \(f_X\).

On dit que \(X\) admet une espérance si l’intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} t \,f_X(t) \, \mathrm{d} t\) est absolument convergente. Dans ce cas, l’espérance de \(X\), notée \(\mathbb{E}(X)\), est définie par : \[ \mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} t \, f_X(t) \, \mathrm{d} t \]

Lorsque l’espérance de \(X\) est nulle, on dit que \(X\) est une variable aléatoire centrée.

Soit \(X\) est une variable aléatoire admettant une espérance.

• Si \(X\) est une variable aléatoire positive, alors : \(\mathbb{E}(X) \geqslant 0\) (positivité de l’espérance),
• Pour tout couple \((a, b)\) de réels, \(a X+b\) admet une espérance et : \( \mathbb{E}(a X+b)=a \mathbb{E}(X)+b \) (linéarité de l’espérance).

Soit \(X\) une variable aléatoire à densité, de densité \(f_X\). On suppose que \(X(\Omega)\) est un intervalle d’extrémités \(a\) et \(b\) telles que \(-\infty \leqslant a<b \leqslant+\infty\).

Si \(\varphi\) est une fonction définie sur \(X(\Omega)\) et continue sur \(X(\Omega)\) éventuellement privé d’un ensemble fini, alors \(Y=\varphi \circ X\) admet une espérance si et seulement si l’intégrale \( \displaystyle \int_a^b \varphi(t) \, f_X(t) \, \mathrm{d} t\) est absolument convergente et, dans ce cas : \[ \mathbb{E}(\varphi(X))=\int_a^b \varphi(t) \, f_X(t) \, \mathrm{d} t \]

Soit \(X\) une variable aléatoire à densité, de densité \(f_X\).

• On dit que \(X\) admet une variance si \(X\) admet une espérance et si \(X-\mathbb{E}(X)\) admet un moment d’ordre 2. Dans ce cas, la variance de \(X\), notée \(\mathbb{V}(X)\), est définie par : \[ \mathbb{V}(X)=\mathbb{E} ((X-\mathbb{E}(X))^2 )=\int_{-\infty}^{+\infty}(t-\mathbb{E}(X))^2 f_X(t) \, \mathrm{d} t \]
• Si \(X\) admet une variance, on appelle écart-type de \(X\) le réel \(\sigma(X)\) défini par : \[ \sigma(X)=\sqrt{\mathbb{V}(X)} \]
• Lorsque la variance de \(X\) est égale à \( 1 \), on dit que \(X\) est une variable aléatoire réduite.

Soit \(X\) une variable aléatoire à densité.

• \(X\) admet une variance si et seulement si \(X\) admet un moment d’ordre 2.
• Formule de Koenig-Huygens. Si \(X\) admet une variance, alors :\[ \mathbb{V}(X)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-[\mathbb{E}(X)]^2 \]
• Si \(X\) admet une variance, alors, pour tout \((a, b) \in \mathbb{R}^2, a X+b\) admet une variance et : \[ \mathbb{V}(a X+b)=a^2 \mathbb{V}(X) \]

On dit que \(X\) suit la loi uniforme sur \([a, b]\) (notée \(\mathcal{U}([a, b]))\) si elle admet pour densité la fonction \(f\) définie par : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{b-a} \, \mathbb{1}_{[a, b]}(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & \text { si } x \in[a, b] \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon } \end{cases} \]

Si \(X\) suit la loi uniforme sur \([a, b]\), alors sa fonction de répartition est définie par : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \ \mathbb{P}(X \leqslant x)= \begin{cases} \hfill 0\hfill & \text { si } x<a \\ \hfill \dfrac{x-a}{b-a} \hfill & \text { si } x \in[a, b] \\ \hfill 1 \hfill & \text { si } x>b \end{cases} \]

Si \(X\) suit la loi uniforme sur \([a, b], X\) admet une espérance et une variance et : \[ \mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2} \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=\frac{(b-a)^2}{12} \]

Si \(X\) est une variable aléatoire alors : \[ X \hookrightarrow \mathcal{U}([0,1]) \Leftrightarrow a+ \left( b-a \right) X \hookrightarrow \mathcal{U}([a, b]) \]

On dit que \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda \) (notée \(\mathcal{E}(\lambda)\) ) si elle admet pour densité la fonction \(f\) définie par : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)=\lambda \, \mathrm{e}^{-\lambda x} \, \mathbb{1}_{\mathbb{R}^{+}}(x)= \begin{cases} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} & \text { si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon } \end{cases} \]

Si \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), alors sa fonction de répartition est définie par : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \ \mathbb{P}(X \leqslant x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \\ 1-\mathrm{e}^{-\lambda x} & \text { si } x \geqslant 0 \end{cases} \]

Si \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), \( X\) admet une espérance et une variance et : \[ \mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda} \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=\frac{1}{\lambda^2} \]

Si \(X\) est une variable aléatoire alors : \[ X \hookrightarrow \mathcal{E}(1) \Leftrightarrow \frac{1}{\lambda} X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda) \]

Soit \(X\) une variable aléatoire à densité, à valeurs dans \(\mathbb{R}^{+}\) et telle que : \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^*, \ \mathbb{P}(X>x) \neq 0 \] \(X\) suit la loi exponentielle si et seulement si sa loi est sans mémoire, c’est-à-dire si et seulement si : \[ \forall(x, y) \in\left(\mathbb{R}_{+}^*\right)^2, \ \mathbb{P}_{[X>x]}(X>x+y)=\mathbb{P}(X>y) \]

On dit que \(X\) suit la loi normale de paramètre \(m \) et \(\sigma^2\), notée \(\mathcal{N}\left(m, \sigma^2\right)\), si elle admet pour densité la fonction \(\varphi\) définie par : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \ \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \, \mathrm{e}^{-\frac{(x-m)^2}{2 \sigma^2}} \]

Si \(X\) suit la loi normale de paramètres \(m\) et \(\sigma^2\), \( X\) admet une espérance et une variance et : \[ \mathbb{E}(X)=m \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=\sigma^2 \]

En particulier, si \(X\) suit la loi normale \(\mathcal{N}(0,1), X\) est centrée et réduite; dans ce cas, on dit donc que \(X\) suit la loi normale centrée réduite.

Si \(X\) est une variable aléatoire : \[ X \hookrightarrow \mathcal{N}(0,1) \Leftrightarrow \sigma X+m \hookrightarrow \mathcal{N}(m, \sigma^2) \]

Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. En notant \(\Phi\) sa fonction de répartition, on a : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \Phi(-x)=1-\Phi(x) \] Ainsi la courbe représentative de \(\Phi\) dans un repère orthonormé admet pour centre de symétrie le point de coordonnées \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\). L’allure de la courbe représentative de \(\Phi\) est la suivante :

Le graphe de la fonction \( \displaystyle \varphi: x \mapsto \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \, \mathrm{e}^{-\frac{(x-m)^2}{2 \sigma^2}}\) est une “courbe en cloche” qui admet : – un axe de symétrie : la droite d’équation \(x=m\), – deux points d’inflexion : les points d’abscisses respectives \(x-\sigma\) et \(x+\sigma\).

Par exemple, pour \(m=2\) et \(\sigma=3\), le graphe de cette fonction est le suivant :

On dit que \(X\) suit la loi gamma de paramètre \(\nu\) (notée \(\gamma(\nu)\)) si elle admet pour densité la fonction \(f\) définie par : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{\Gamma(\nu)} \, x^{\nu-1} \, \mathrm{e}^{-x} \, \mathbb{1}_{\mathbb{R}_{+}^*}(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{\Gamma(\nu)} \, x^{\nu-1}\, \mathrm{e}^{-x} & \text { si } x>0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon } \end{cases} \]

Si \(X\) suit la loi gamma de paramètre \(\nu \), \( X\) admet une espérance et une variance et : \[ \mathbb{E}(X)=\mathbb{V}(X)=\nu \]

Soit \(f\) et \(g\) deux densité de probabilité.

On appelle produit de convolution de \(f\) et \(g\) la fonction \(h=f \star g\) définie (sous réserve de convergence) par : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \ h(x)=(f \star g)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, g(x-t) \, \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \, g(t) \, \mathrm{d} t \]

Si \(f\) ou \(f\) est bornée, alors \(f \star g\) est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\), continue sur \(\mathbb{R}\) éventuellement privé d’un ensemble fini.

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à densité indépendantes, \(f_X\) une densité de \(X\) et \(f_Y\) une densité de \(Y\).

Si le produit de convolution \(f_X \star f_Y\) est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\), continue sur \(\mathbb{R}\) éventuellement privé d’un ensemble fini, alors \(X+Y\) est une variable aléatoire à densité dont une densité est \(f_{X+Y}=f_X \star f_Y\), c’est-à-dire : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \ f_{X+Y}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t) \, f_Y(x-t) \, \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x-t) \, f_Y(t) \, \mathrm{d} t \]