Systèmes linéaires

Étant donné le système linéaire \[ (S): \begin{cases} a_{1,1} x_1+\cdots+a_{1, j} x_j+\cdots+a_{1, p} x_p=b_1 \\ a_{2,1} x_1+\cdots+a_{2, j} x_j+\cdots+a_{2, p} x_p=b_2 \\ \hfill \vdots \hfill \\ a_{n, 1} x_1+\cdots+a_{n, j} x_j+\cdots+a_{n, p} x_p=b_n \end{cases}\]

d’inconnue \( \left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant p} \) dans \( \mathbb{R}^p \), on appelle matrice du système linéaire \( (S) \) la matrice \( A \) de \( \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R}) \) définie par : \[ A=\left(\begin{array}{cccccc} a_{1,1} & \cdots & \cdots & a_{1, j} & \cdots & a_{1, p} \\ \vdots & & & \vdots & & \vdots \\ a_{i, 1} & \cdots & \cdots & a_{i, j} & \cdots & a_{i, p} \\ \vdots & & & \vdots & & \vdots \\ a_{n, 1} & \cdots & \cdots & a_{n, j} & \cdots & a_{n, p} \end{array}\right) \]

Le système \( (S) \) peut alors s’écrire sous la forme \( A X=B \), où \( B=\left(b_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) (appartenant à \( \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R}) \)) est le second membre et \( X=\left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant p} \) est l’inconnue (appartenant à \( \mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R}) \)).

Considérons le système linéaire \( (S) : AX = B \).

• On dit que le système linéaire \( (S) \) est homogène si \( B=0 \).
• Le système \( (H) : AX=0 \) est appelé système homogène associé à \( (S) \).
• Si \( X_0 \) est une solution particulière du système \( (S) \), alors : \[ X \text { est solution de }(S) \Leftrightarrow X-X_0 \text { est solution de }({H}) \]

• On dit qu’un système linéaire \( (S) \) est un système de Cramer s’il possède une unique solution.
• En conséquence, un système linéaire \( (S) \) est un système de Cramer si et seulement si \( (0, \ldots, 0) \) est l’unique solution du système homogène associé.

Soit \( (S) : AX=B \) un système linéaire.

• \( S \) possède soit aucune, soit une, soit une infinité de solutions.
• Tout système homogène possède au moins une solution. De plus, s’il possède une solution non nulle, alors l’ensemble des solutions est infini.
• Le système \( (S) \) admet une unique solution si et seulement si la matrice \( A \) est inversible.
• Un système triangulaire possède une unique solution si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.

Soit \( (S) \) un système de \( n \) équations linéaires. Les opérations suivantes sont appelées opérations élémentaires sur les lignes de \( (S) \) (où \( i \) et \( j \) sont deux éléments distincts de \( \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right] \)) :

• Échanger les lignes \( i \) et \( j \) (opération notée \( L_i \leftrightarrow L_j \)),
• Multiplier la ligne \( i \) par un scalaire \( \alpha \) non nul (opération notée \( L_i \leftarrow \alpha L_i \)),
• Ajouter un multiple de ligne \( j \) à la ligne \( i \) (opération notée \( L_i \leftarrow L_i+\alpha L_i \)).

L’ensemble des solutions d’un système linéaire ne change pas si l’on effectue des opérations élémentaires sur les lignes ; autrement dit, un système \( (S) \) est équivalent à tout système \( \left(S^{\prime}\right) \) déduit de \( (S) \) par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes.