Réduction des matrices carrées
On considère un entier naturel \( n \) non nul et \( A \) une matrice appartenant à \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \).
Valeur propre d’une matrice carrée : définition et propriétés
Définition
Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \).
On dit que \( \lambda \) est valeur propre de \( A \) s’il existe un vecteur \( X \neq 0 \) appartenant à \( \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \) tel que : \(AX=\lambda X \).
L’ensemble des valeurs propres de \( A \) est appelé spectre de \( A \) et noté \( \operatorname{Sp}(A) \).
Propriétés
- Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \). \( \lambda \) est valeur propre de \( A \) si et seulement si \( A-\lambda \operatorname{I}_n \) n’est pas inversible.
- Une matrice carrée d’ordre \( n \) possède au plus \( n \) valeurs propres distinctes.
Vecteurs propres d’une matrice carrée : définition et propriétés
Définition
Soit \( X \in \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \).
On dit que \( X \) est vecteur propre de \( A \) s’il existe un réel \( \lambda \) tel que : \( AX = \lambda X \).
Propriétés
- Si \( X \) et \( Y \) sont des vecteurs propres de \( A \) associés à des valeurs propres distinctes, alors la famille \( (X,Y) \) est libre.
- Plus généralement, si \(X_1,\dots,X_p \) sont des vecteurs propres de \( A \) associés à des valeurs propres distinctes, alors la famille \( ( X_1,\dots,X_p ) \) est libre.
Sous-espaces propres d’une matrice carrée : définition et propriétés
Définition
Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \).
Si \( \lambda \) est valeur propre de \( A \), l’ensemble \( E_\lambda(A)=\{ X \in \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) ,\ AX = \lambda X\} \) est appelé sous-espace propre de \( A \) associé à la valeur propre \( \lambda \).
Propriétés
- Si \( \lambda \) est valeur propre de \( A \), alors \( E_\lambda(A) \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \) et : \[ E_\lambda(A) = \operatorname{Ker}\left(A-\lambda \operatorname{I}_n \right) \]
- Les sous-espaces propres de \( A \) sont en somme directe.
- La concaténation des bases des sous-espaces propres de \( A \) est une famille libre dans \( \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \).
- La somme des dimensions des sous-espaces propres de \( A \) est toujours inférieure ou égale à la dimension de \( \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \), donc à \( n \).
Lien entre valeurs propres de \( A \) et celles de \( A^k \)
- Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \). Si \( \lambda \) est valeur propre de \( A \) alors, pour tout \( k \in \mathbb{N}\), \( \lambda^k \) est valeur propre de \( A^k \) et : \[ \forall k \in \mathbb{N}, \ E_\lambda(A) \subset E_{\lambda^k}\left(A^k\right) \]
- Plus généralement, si \( Q \) est un polynôme à coefficients dans \( \mathbb{R} \) et si \( \lambda \) est valeur propre de \( A \), alors \( Q(\lambda) \) est valeur propre de \( Q(A) \) et : \[ \forall X \in \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}), \ f(x)=\lambda x \Rightarrow Q(A)\, X=Q(\lambda) \, X \]
Lien entre valeurs propres d’une matrice carrée et polynôme annulateur
Si \( P \) est un polynôme annulateur de \( A \), alors les racines de \( P \) sont les seules valeurs propres possibles de \( A \) ; autrement dit : \[ \operatorname{Sp}(A) \subset\{\lambda \in \mathbb{R} ,\ P(\lambda)=0\} \]
Donner quatre conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une matrice carrée soit diagonalisable
- Pour que \( A \) soit diagonalisable, il faut et il suffit que l’une des conditions suivantes soient remplie :
- Il existe une matrice diagonale \( D \) semblable à \( A \).
- La somme des dimensions des sous-espaces propres de \( A \) est égale à la dimension de \( n \) (la dimension de \( \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \)).
- La somme des sous-espaces propres de \( A \) est égale à \( \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \).
- La concaténation des bases des sous-espaces propres de \( A \) est une base de \( \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \).
Donner deux conditions suffisantes pour qu’une matrice carrée soit diagonalisable
Pour que \( A \) soit diagonalisable, il suffit (mais n’est pas nécessaire) que l’une des conditions suivantes soient remplie :
- \( A \) possède \( n = \mathrm{dim}( \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) ) \) valeurs propres distinctes.
- \( A \) est symétrique.