Développements limités (Appro)
Soit \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \), \( a \) un élément de \(I \), \( f \) une fonction définie sur \( I \) sauf peut-être en \( a \) et \( n \) un entier naturel. On note \(\mathcal{D}_f \) l’ensemble de définition de \(f \).
Généralités
Développement limité : définition
On dit que \( f \) admet un développement limité à l’ordre \( n \) en \( a \) s’il existe une famille \( ( \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n )\) de réels et une fonction \( \varepsilon \) définie sur \( I \) telles que :
\[ \forall x \in \mathscr{D}_f, \ f(x)=\sum_{k=0}^n \alpha_k(x-a)^k+(x-a)^n \varepsilon(x) \quad \text { et } \quad \lim _{x \rightarrow a} \varepsilon(x)=0 \]
autrement dit telles que :
\[f(x) \underset{a}{=} \sum_{k=0}^n \alpha_k(x-a)^k+\circ\left((x-a)^n\right) \]
Dans ce cas, la fonction polynôme \( \displaystyle x \mapsto \sum_{k=0}^n \alpha_k(x-a)^k \) est appelée partie régulière et la fonction \( x \mapsto(x-a)^n \varepsilon(x) \) est appelée reste du développement limité à l’ordre \( n \).
Développements limités : propriétés
Condition suffisante d’existence d’un développement limité
Si \( f \) est de classe \( \mathcal{C}^n \) sur \( I \), alors \( f \) admet un développement limité en tout point de \( I \).
Unicité du développement limité
Si \( f \) admet un développement limité à l’ordre \( n \) en \( a \), sa partie régulière et son reste sont uniques; autrement dit, s’il existe deux familles \( \left(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n\right) \) et \( \left(\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_n\right) \) de réels tels que :\[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} \sum_{k=0}^n \alpha_k(x-a)^k+\circ\left((x-a)^n\right) \underset{x \rightarrow a}{=} \sum_{k=0}^n \beta_k(x-a)^k+\circ\left((x-a)^n\right) \]
alors :
\[ \forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \alpha_k=\beta_k \]
Troncature
Si \( f \) admet un développement limité à l’ordre \( n \) en \( a \) et si celui-ci est :
\[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} \sum_{k=0}^n \alpha_k(x-a)^k+\circ\left((x-a)^n\right) \]
alors, pour tout \( p \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \( f \) admet un développement limité à l’ordre \( p \) en \( a \) et :
\[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} \sum^p \alpha_k(x-a)^k+\circ\left((x-a)^p\right) \]
Application des développements limités
Si \( P \) est une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à \( n \) et si \( f \) admet un développement limité en \( a \) de la forme :
\[ f(x) \underset{a}{=} P(x-a)+\circ\left((x-a)^n\right) \]
alors :
- \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} P(x-a)=P(0) \)
- Si \(P \) n’est pas le polynôme nul : \( f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} P(x-a) \)
Opérations sur les développements limités
Si \( f \) et \( g \) sont deux fonctions admettant un développement limité à l’ordre \( n \) en \( a \) et si leurs parties régulières respectives sont \( \operatorname{Reg}_n(f) \) et \( \operatorname{Reg}_n(g) \), alors :
- \( f+g \) admet un développement limité à l’ordre \( n \) en \( a \), dont la partie régulière est :\[ \displaystyle \operatorname{Reg}_n(f+g)=\operatorname{Reg}_n(f)+\operatorname{Reg}_n(g) \]
- \( f g \) admet un développement limité à l’ordre \( n \) en \( a \), dont la partie régulière \( \displaystyle \operatorname{Reg}_n(f g) \) est la troncature à l’ordre \( n \) de \( \displaystyle \operatorname{Reg}_n(f) \times \operatorname{Reg}_n(g) \) (i.e. la fonction polynôme obtenue en ne conservant que les monômes de degré inférieur ou égal à \( n \)).
Lien entre développement limité et continuité, dérivabilité
- Si \( f \) est définie sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \) contenant \( a \), \( f \) admet un développement limité à l’ordre \( 0 \) en \( a \) si et seulement si elle est continue en \( a \) et dans ce cas : \[ f(x) \underset{a}{=} f(a)+\circ(1) \]
- Si \( f \) est définie sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \) contenant \( a \), \( f \) admet un développement limité à l’ordre \( 1 \) en \( a \) si et seulement si elle est dérivable en \( a \) et dans ce cas : \[ f(x) \underset{a}{=} f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\circ(x-a) \]
Développements limités en \( 0 \) des fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), la fonction exponentielle admet un développement limité à l’ordre \( n \) en \( 0 \) et :
\[ \mathrm{e}^x \underset{0}{=} \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}+\circ\left(x^n\right) \underset{0}{=}1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\circ\left(x^n\right) \]
Les fonctions \( \displaystyle x \mapsto \frac{1}{1-x} \) et \( \displaystyle x \mapsto \frac{1}{1+x} \)
Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), les fonctions \( \displaystyle x \mapsto \frac{1}{1+x} \) et \( \displaystyle x \mapsto \frac{1}{1-x} \) admettent un développement limité à l’ordre \( n \) en 0 et :
\[ \begin{gathered} \frac{1}{1-x} \underset{0}{=} \sum_{k=0}^n x^k+\circ\left(x^n\right) \underset{0}{=} 1+x+x^2+\cdots+x^n+\circ\left(x^n\right) \\ \frac{1}{1+x} \underset{0}{=}\sum_{k=0}^n(-x)^k+\circ\left(x^n\right)=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+\circ\left(x^n\right) \end{gathered} \]
La fonction \( x \mapsto(1+x)^\alpha \)
Pour tout \( \alpha \in \mathbb{R} \) et pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), la fonction \( x \mapsto(1+x)^\alpha \) admet un développement limité à l’ordre \( n \) en \( 0 \) et :\[ \begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^*, \ (1+x)^\alpha & \underset{0}{=}1+\sum_{k=1}^n \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-k+1)}{k!} \, x^k+\circ\left(x^n\right) \\ & \underset{0}{=}1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} \, x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!} \, x^n+\circ\left(x^n\right) \end{aligned} \]
La fonction \( x \mapsto \ln (1+x) \)
Pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), la fonction \( x \mapsto \ln (1+x) \) admet un développement limité à l’ordre \( n \) en \( 0 \) et:
\[ \ln (1+x) \underset{0}{=} \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1} \frac{x^k}{k}+\circ\left(x^n\right) \underset{0}{=} x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+\circ\left(x^n\right) \]
Les fonctions \( \cos \) et \( \sin \)
Les fonctions cos et sin admettent un développement limité à tout ordre en \( 0 \) et, pour tout \( n \in \mathbb{N} \) :
\[ \begin{gathered} \cos (x) \underset{0}{=} \sum_{0=0}^n(-1)^k \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}+\circ\left(x^{2 n}\right) \underset{0}{=} 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}+\circ\left(x^{2 n+1}\right) \\ \sin (x) \underset{0}{=} \sum_{k=0}^n(-1)^k \frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1)!}+\circ\left(x^{2 n+1}\right) \underset{0}{=} x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}+\circ\left(x^{2 n+1}\right) \end{gathered} \]