Réduction des endomorphismes
On considère un espace vectoriel \( E \) de dimension finie \( n \) non nulle et un endomorphisme \( f \) de \( E \).
Valeur propre d’un endomorphisme : définition et propriétés
Définition
Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \).
On dit que \( \lambda \) est valeur propre de \( f \) s’il existe un vecteur \( x \neq 0_E \) tel que : \( f(x)=\lambda x \).
L’ensemble des valeurs propres de \( f \) est appelé spectre de \( f \) et noté \( \operatorname{Sp}(f) \).
Propriétés
- Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \). \( \lambda \) est valeur propre de \( f \) si et seulement si \( f-\lambda \operatorname{Id}_E \) n’est pas injectif.
- Si \( E \) est de dimension \( n \), alors \( f \) possède au plus \( n \) valeurs propres distinctes.
Propriétés
- Si \( \lambda \) est valeur propre de \( f \), alors \( E_\lambda(f) \) est un sous-espace vectoriel de \( E \) et : \[ \operatorname{Ker}\left(f-\lambda \operatorname{Id}_E\right) \]
- Les sous-espaces propres de \( f \) sont en somme directe.
- La concaténation des bases des sous-espaces propres de \( f \) est une famille libre dans \( E \).
- La somme des dimensions des sous-espaces propres de \( f \) est toujours inférieure ou égale à la dimension de \( E \).
Vecteurs propres d’un endomorphisme : définition et propriété
Définition
Soit \( x \in E \).
On dit que \( x \) est vecteur propre de \( f \) s’il existe un réel \( \lambda \) tel que : \( f(x)=\lambda x \).
Propriétés
- Si \( x \) et \( y \) sont des vecteurs propres de \( f \) associés à des valeurs propres distinctes, alors la famille \( (x,y) \) est libre.
- Plus généralement, si \( x_1,\dots,x_p \) sont des vecteurs propres de \( f \) associés à des valeurs propres distinctes, alors la famille \( ( x_1,\dots,x_p ) \) est libre.
Sous-espaces propres d’un endomorphisme : définition et propriétés
Définition
Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \).
Si \( \lambda \) est valeur propre de \( f \), l’ensemble \( E_\lambda(f)=\{x \in E ,\ f(x)=\lambda x\} \) est appelé sous-espace propre de \( f \) associé à la valeur propre \( \lambda \).
Propriétés
- Si \( \lambda \) est valeur propre de \( f \), alors \( E_\lambda(f) \) est un sous-espace vectoriel de \( E \) et : \[E_\lambda(f) = \operatorname{Ker}\left(f-\lambda \operatorname{Id}_E\right) \]
- Les sous-espaces propres de \( f \) sont en somme directe.
- La concaténation des bases des sous-espaces propres de \( f \) est une famille libre dans \( E \).
- La somme des dimensions des sous-espaces propres de \( f \) est toujours inférieure ou égale à la dimension de \( E \).
Lien entre valeurs propres de \( f \) et celles de \( f^k \)
- Soit \( \lambda \in \mathbb{R} \). Si \( \lambda \) est valeur propre de \( f \) alors, pour tout \( k \in \mathbb{N}, \lambda^k \) est valeur propre de \( f^k \) et : \[ \forall k \in \mathbb{N}, \ E_\lambda(f) \subset E_{\lambda^k}\left(f^k\right) \]
- Plus généralement, si \( Q \) est un polynôme à coefficients dans \( \mathbb{R} \) et si \( \lambda \) est valeur propre de \( f \), alors \( Q(\lambda) \) est valeur propre de \( Q(f) \) et : \[ \forall x \in E, \ f(x)=\lambda x \Rightarrow Q(f)(x)=Q(\lambda) \, x \]
Lien entre valeurs propres d’un endomorphisme et polynôme annulateur
Si \( P \) est un polynôme annulateur de \( f \), alors les racines de \( P \) sont les seules valeurs propres possibles de \( f \); autrement dit : \[ \operatorname{Sp}(f) \subset\{\lambda \in \mathbb{R} / P(\lambda)=0\} \]
Donner quatre conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un endomorphisme soit diagonalisable
- Pour que \( f \) soit diagonalisable, il faut et il suffit que l’une des conditions suivantes soient remplie :
- Il existe une base de \( E \) formée de vecteurs propres de \( f \).
- La somme des dimensions des sous-espaces propres de \( f \) est égale à la dimension de \( E \).
- La somme des sous-espaces propres de \( f \) est égale à \( E \).
- La concaténation des bases des sous-espaces propres de \( f \) est une base de \( E \).
On retiendra également que, pour que \( f \) soit diagonalisable, il suffit (mais n’est pas nécessaire) que \( f \) possède \( n= \mathrm{dim}( E ) \) valeurs propres distinctes.
Lien entre les valeurs propres d’un endomorphisme et les valeurs propres d’une matrice représentative
Les valeurs propres de \( f \) sont les valeurs propres de sa matrice représentative dans une base quelconque de \( E \).
Lien entre les vecteurs propres d’un endomorphisme et les valeurs propres d’une matrice représentative
Soit \( \mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n) \) une base de \( E \) et \( A \) la matrice représentative de \( f \) dans la base \( \mathcal{B} \).
Soit \( \lambda \) une valeur propre de \( f \), \( x = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i e_i \) un vecteur de \( E \) et \( X = (x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n } \) le vecteur colonne des coordonnées de \( x \) dans \( \mathcal{B} \).
\( x \) est un vecteur propre de \( f \) associé à la valeur propre \( \lambda \) si et seulement si \( X \) est un vecteur propre de \( A \) associé à \( \lambda \).
On a donc en particulier : \[ \forall \lambda \in \mathrm{Sp}(f), \ \mathrm{dim}( E_\lambda(f) ) = \mathrm{dim}( (E_\lambda(A) ) \]