Sommes de sous-espaces vectoriels (Appro)
Somme de sous-espaces vectoriels : définition et propriété
Définition
Soit \( E \) un espace vectoriel.
- Si \( F \) et \( G \) sont deux sous-espaces vectoriels de \( E \), on appelle somme des sous-espaces vectoriels \( F \) et \( G \) de \( E \) et on note \( F+G \) l’ensemble défini par : \[ F+G=\{x+y, \ (x, y) \in F \times G\} \]
- Plus généralement, si \( F_1, \ldots, F_p \) sont \( p \) sous-espaces vectoriels de \( E \), on définit la somme \( \displaystyle \sum_{k=1}^p F_k \) par : \[ \sum_{k=1}^p F_k=\left\{\sum_{k=1}^p x_k, \ \left(x_k\right)_{1 \leqslant k \leqslant p} \in F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_p\right\} \]
Propriété
Si \( E \) est un espace vectoriel et si \( F_1, \ldots, F_p \) sont \( p \) sous-espaces vectoriels de \( E \), alors \( \displaystyle \sum_{k=1}^p F_k \) est un sous-espace vectoriel de \( E \), contenant \( F_1, \ldots, F_p \).
Somme directe de deux sous-espaces vectoriels : définition et propriétés
Définition
Soit \( E \) un espace vectoriel, \( F \) et \( G \) deux sous-espaces vectoriels de \( E \).
On dit que \( F \) et \( G \) sont en somme directe si : \[ \forall x \in E,\ \exists ! (x_F,x_G) \in F \times G,\ x= x_F + x_G \]
c’est-à-dire si pour tout vecteur \( x \) de \( F+G \) la décomposition de \( x \) comme somme d’un vecteur de \( F \) et d’un vecteur de \( G \) est unique.
Lorsque \( F \) et \( G \) sont en somme directe, la somme \( F+G \) est aussi notée \( F+G = F\oplus G \).
Propriétés
Soit \( E \) un espace vectoriel, \( F \) et \( G \) deux sous-espaces vectoriels de \( E \).
- Si \( \left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant p} \) est une famille libre d’éléments de \( F \) et si \( \left(x_i\right)_{p+1 \leqslant i \leqslant q} \) est une famille libre d’éléments de \( G \), alors la famille \( \left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant q} \) est libre dans \( F \oplus G \).
- Si \( F \) et \( G \) sont de dimensions finies et en somme directe, alors : \[\operatorname{dim}(F \oplus G)=\operatorname{dim}(F)+\operatorname{dim}(G) \]
- \( F+G=F \oplus G \Leftrightarrow F \cap G=\left\{0_E\right\} \)
Somme directe de plus de deux sous-espaces vectoriels : définition et propriétés
Définition
Soit \( E \) un espace vectoriel et \( F_1, \ldots, F_p \) des sous-espaces vectoriels de \( E \).
On dit que la somme \( F_1+\cdots+F_p \) est directe ou que \( F_1, \ldots, F_p \) sont en somme directe, et on la note alors \( F \oplus \cdots \oplus F_p \) si : \[ \forall x \in \sum_{k=1}^p F_k, \ \exists!\left(x_k\right)_{1 \leqslant k \leqslant p} \in F_1 \times \cdots \times F_p,\ x=\sum_{k=1}^p x_k \]
Propriétés
Soit \( E \) un espace vectoriel et \( F_1, \ldots, F_p \) des sous-espaces vectoriels de \( E \).
- Si \( F_1, \ldots, F_p \) sont en somme directe, la concaténation de familles libres dans \( F_1, \dots,F_p \) est une famille libre dans \( F_1 \oplus \cdots \oplus F_p \).
- Si \( F_1, \ldots, F_p \) sont en somme directe, tous de dimension finie, alors : \[ \operatorname{dim}\left(F_1 \oplus \cdots \oplus F_p\right)=\sum_{k=1}^p \operatorname{dim}\left(F_k\right) \]
- La somme \( \displaystyle \sum_{k=1}^p F_k \) est directe si et seulement si : \[ \forall\left(x_k\right) \in F_1 \times \cdots \times F_p, \ \left(\sum_{k=1}^p x_k=0 \Rightarrow \forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right], \ x_k=0\right) \]
Formule de Grassmann
Soit \( E \) un espace vectoriel, \( F \) et \( G \) deux sous-espaces vectoriels de \( E \). Si \( F \) et \( G \) sont de dimensions finies, alors : \[ \operatorname{dim}(F+G)=\operatorname{dim}(F)+\operatorname{dim}(G)-\operatorname{dim}(F \cap G) \]
Sous-espaces vectoriels supplémentaires : définition
Soit \( E \) un espace vectoriel, \( F \) et \( G \) deux sous-espaces vectoriels de \( E \). On dit que \( F \) et \( G \) sont supplémentaires dans \( E \) si : \[ E=F+G=F \oplus G \]
autrement dit si : \[ \forall x \in E, \ \exists!(y, z) \in F \times G,\ x=y+z \]
Donner trois méthodes pour montrer que deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel \( E \) sont supplémentaires.
Soit \( E \) un espace vectoriel de dimension finie et \( F, G \) deux sous-espaces vectoriels de \( E \).
Pour montrer que \( F \) et \( G \) sont supplémentaires dans \( E \), on peut (par ordre de priorité) :
- Montrer que \( F\cap G = \{ 0_E \} \) et \( \operatorname{dim}(F)+\operatorname{dim}(G)=\operatorname{dim}(E) \).
- Utiliser la définition et montrer (par analyse-synthèse le plus souvent) que : \[ \forall x \in E,\ \exists ! (x_F,x_G) \in F \times G,\ x = x_F+ x_G \]
- Montrer que la concaténation de bases de \( F \) et \( G \) est une base de \( E \).
Plus généralement, si \( F_1, \ldots, F_p \) sont des sous-espaces vectoriels de \( E \), alors pour montrer que \( F_1 \oplus \cdots \oplus F_p = E \), on peut :
- Utiliser la définition (le plus souvent en raisonnant par analyse-synthèse).
- Montrer que la somme \( F_1+\cdots + F_p \) est directe (en montrant que si \( x_1,\dots,x_p \) sont des vecteurs appartenant respectivement à \( F_1,\dots,F_p \), alors \( x_1 + \cdots + x_p = 0 \Rightarrow x_1 = \cdots = x_p = 0 \)) et que la somme de leurs dimensions est égale à la dimension de \( E \).
- Montrer que la concaténation \( \mathcal{B} \) de bases de \( F_1,\dots,F_p \) est une base de \( E \).