Matrices représentatives d’une application linéaire
Matrice d’une application linéaire relativement à des bases : définition et propriétés
Définition
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels de dimension finie, \( \mathcal{B} \) une base de \( E \) et \( \mathcal{C} \) une base de \( F \).
Soit \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \). On envisage les familles \( \left(m_{i, 1}\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}, \dots,\left(m_{i, p}\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) de réels telles que : \[ \forall j \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right], \ f(e_j)=\sum_{i=1}^n m_{i, j} \varepsilon_i \]
Avec ces notations, la matrice \( M=\left(m_{i, j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p}} \) de \( \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R}) \) est appelée matrice de \( f \) relativement aux base \( \mathcal{B} \) et \( \mathcal{C} \) (ou matrice représentative de \( f \) de \( \mathcal{B} \) à \( \mathcal{C} \)) et notée \( \operatorname{mat}_{\mathcal{C}, \mathcal{B}}(f) \).
Propriétés
Soit \( E, F \) et \( G \) trois espaces vectoriels sur \( \mathbb{R} \), de dimensions respectives \( p, n \) et \( r \) non nulles. Soit \( \mathcal{B}_E, \mathcal{B}_F \) et \( \mathcal{B}_G \) des bases respectives de \( E, F \) et \( G \). On a :
- \( \forall(f, g) \in(\mathcal{L}(E, F))^2, \ \operatorname{mat}_{\mathcal{B}_F, \mathcal{B}_E}(f+g)=\operatorname{mat}_{\mathcal{B}_F, \mathcal{B}_E}(f)+\operatorname{mat}_{\mathcal{B}_F, \mathcal{B}_E}(g) \)
- \( \forall f \in \mathcal{L}(E, F), \forall \lambda \in \mathbb{R}, \ \operatorname{mat}_{\mathcal{B}_F, \mathcal{B}_E}(\lambda \cdot f)=\lambda \cdot \operatorname{mat}_{\mathcal{B}_F, \mathcal{B}_E}(f) \)
- \( \forall(f, g) \in \mathcal{L}(E, F) \times \mathcal{L}(F, G), \ \operatorname{mat}_{\mathcal{B}_G, \mathcal{B}_E}(g \circ f)=\operatorname{mat}_{\mathcal{B}_G, \mathcal{B}_F}(g) \times \operatorname{mat}_{\mathcal{B}_F, \mathcal{B}_E}(f) \)
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels de même dimension finie non nulle, \( \mathcal{B} \) et \( \mathcal{C} \) des bases respectives de \( E \) et \( F\), \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \).
- \( f \) est bijective si et seulement si \( \mathrm{mat}_{\mathcal{C}, \mathcal{B}}(f) \) est inversible et, dans ce cas :\[ \left[\operatorname{mat}_{\mathcal{C}, \mathcal{B}}(f)\right]^{-1}=\operatorname{mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}} (f^{-1}) \]
Liens entre opérations sur les applications linéaires et opérations matricielles
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels de dimensions finies non nulles, respectivement égales à \( p \) et \( n \). Soit \( \mathcal{B} \) une base de \( E \) et \( \mathcal{C} \) une base de \( F \).
Soit \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \) et \( M \) sa matrice relativement aux bases \( \mathcal{B} \) et \( \mathcal{C} \).
- Pour tout vecteur \( \displaystyle x=\sum_{i=1}^p x_i e_i \) de \( E \), en notant \( X=\left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant p} \) la colonne des coordonnées de \( x \) dans \( \mathcal{B} \), \( M X \) est la colonne des coordonnées de \( f(x) \) dans la base \( \mathcal{C} \) ; autrement dit :
- \( \displaystyle \text { Si } M X=\left(y_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \text {, alors : } f(x)=\sum_{i=1}^n y_i \varepsilon_i\)
Soit \( E \) un espace vectoriel de dimension finie non nulle, \( \mathcal{B} \) une base de \( E\), \( f \) et \( g \) deux endomorphismes de \( E \), de matrices représentatives respectives \( M_f \) et \( M_g \) dans la même base \( \mathcal{B} \). \( f \) et \( g \) commutent si et seulement si \( M_f \) et \( M_g \) commutent ; autrement dit :
\[ f \circ g=g \circ f \Leftrightarrow M_f M_g=M_g M_f \]
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels de dimensions finies non nulles, \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \) et \( M \) la matrice représentative de \( f \) relativement à deux bases quelconques de \( E \) et \( F \). On a:\[ \operatorname{rg}(f)=\operatorname{rg}(M) \]
Matrice de passage, matrices semblables : définition et propriétés
Définition
Soit \( E \) un espace vectoriel et \( \mathcal{B}=\left(e_1, \ldots, e_n\right), \mathcal{B}^{\prime}=\left(e_1^{\prime}, \ldots, e_n^{\prime}\right) \) deux bases de \( E \). La matrice de l’application identité \( \operatorname{Id}_E \) relativement aux bases \( \mathcal{B}^{\prime} \) et \( \mathcal{B} \) est appelée matrice de passage de \( \mathcal{B} \) à \( \mathcal{B}^{\prime} \) et notée \( P_{\mathcal{B}, \mathcal{B}^{\prime}} \).
Plus simplement, la matrice \( P_{\mathcal{B}, \mathcal{B}^{\prime}} \) est obtenue en écrivant, en colonne et dans cet ordre, les coordonnées de \( e_1′,\dots,,e_n’ \) dans la base \( \left(e_1, \ldots, e_n\right) \).
Propriétés
Soit \( E \) un espace vectoriel de dimension non nulle. Si \( P_{\mathcal{B}, \mathcal{C}} \) est la matrice de passage de la base \( \mathcal{B} \) à la base \( \mathcal{C} \) de \( E \), alors \( P_{\mathcal{B}, \mathcal{C}} \) est inversible et \( P_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}^{-1} \) est la matrice de passage de la base \( \mathcal{C} \) à la base \( \mathcal{B} \) :\[ P_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}^{-1}=P_{\mathcal{C}, \mathcal{B}} \]
Formules de changement de base
Coordonnées d’un vecteur
Soit \( E \) un espace vectoriel de dimension finie non nulle. On considère deux bases \( \mathcal{B} \) et \( \mathcal{C} \) de \( E \) et on note \( P_{\mathcal{B}, \mathcal{C}} \) la matrice de passage de \( \mathcal{B} \) à \( \mathcal{C} \).
Pour tout vecteur \( x \) de \( E \), en notant \( X_{\mathcal{B}} \) la colonne des coordonnées de \( x \) dans \( \mathcal{B} \) et \( X_{\mathcal{C}} \) la colonne des coordonnées de \( x \) dans la base \( \mathcal{C} \), on a :
\[ X_{\mathcal{B}}=P_{\mathcal{B}, \mathcal{C}} X_{\mathcal{C}} \]
Matrice représentative d’une application linéaire
Soit \( E \) un espace vectoriel, \( \mathcal{B} \) et \( \mathcal{C} \) deux bases de \( E \) et \( f \) un endomorphisme de \( E \). En notant \( P_{\mathcal{B}, \mathcal{C}} \) la matrice de passage de \( \mathcal{B} \) à \( \mathcal{C} \), on a :
\[ \operatorname{Mat}_{\mathcal{C}}(f)=P_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}^{-1} \operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(f) P_{\mathcal{B}, \mathcal{C}} =P_{\mathcal{C}, \mathcal{B}} \operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(f) P_{\mathcal{B}, \mathcal{C}} \]
Matrices semblables : définition et propriétés
Définition
Soit \( A \) et \( B \) deux matrices de \( \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \). On dit que \( A \) et \( B \) sont semblables s’il existe une matrice \( P \) inversible de \( \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) telle que : \[ A=P B P^{-1} \]
Propriétés
Soit \( E \) un espace vectoriel de dimension \( n, A \) et \( B \) deux matrices de \( \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \). \( A \) et \( B \) sont semblables si et seulement s’il existe un endomorphisme \( f \) de \( E \) et deux bases \( \mathcal{B} \) et \( \mathcal{C} \) de \( E \) telles que:
\[ A=\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(f) \quad \text { et } \quad B=\operatorname{Mat}_{\mathcal{C}}(f) \]
Deux matrices semblables ont le même rang.
Dimensions de \( \mathcal{L}(E,F) \) et \( \mathcal{L}(E) \)
L’application \( \varphi \) de \( \mathcal{L}(E, F) \) dans \( \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R}) \) qui à une application \( f \) associe sa matrice \( \operatorname{mat}_{\mathcal{C}, \mathcal{B}}(f) \) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Si \( E \) et \( F \) sont des espaces vectoriels de dimensions finies, alors on a : \[ \operatorname{dim}(\mathcal{L}(E, F))=\operatorname{dim}(E) \times \operatorname{dim}(F) \]
En particulier, si \( E \) est un espace vectoriel de dimension finie, alors : \[ \operatorname{dim}(\mathcal{L}(E))=[\operatorname{dim}(E)]^2 \]