Espaces probabilisés (Appro)
Événement, probabilité
Propriétés de l’ensemble des événements
Étant donné un ensemble \( \Omega \) non vide, on se donne un ensemble \( \mathcal{A} \) de parties de \( \Omega \), appelé ensemble des événements, et qui vérifie :
- \( \Omega \in \mathcal{A} \)
- \( \forall A \in \mathcal{P}(\Omega),(A \in \mathcal{A} \Rightarrow \overline{A} \in \mathcal{A}) \)
- \( \displaystyle \forall\left(A_i\right)_{i \in I} \in \mathcal{A}^I / I \) est une partie dénombrable de \( \displaystyle \mathbb{N}, \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathcal{A} \).
Le couple \( (\Omega, \mathcal{A}) \) est appelé espace probabilisable.
Événements incompatibles : définition
Soit \( (\Omega, \mathcal{A}) \) un espace probabilisable.
On dit que deux événements \( A \) et \( B \) sont incompatibles (ou disjoints) si \( A \cap B=\varnothing \) (autrement dit s’ils ne peuvent se réaliser en même temps),
On dit que les événements de la famille \( \left(A_i\right)_{i \in I} \) d’éléments de \( \mathcal{A} \) sont deux à deux incompatibles si, pour tout couple \( (i, j) \) d’éléments distincts de \( I \), \( A_i \) et \( A_j \) sont incompatibles.
Système complet d’événements : définition
Soit \( (\Omega, \mathcal{A}) \) un espace probabilisable.
On appelle système complet d’événements toute famille \( \left(A_i\right)_{i \in I} \) (où \( I \) est une partie quelconque de \( \mathbb{N} \) ) formée d’éléments de \( \mathcal{A} \) et vérifiant :
- \( \forall(i, j) \in I^2, \ i \neq j \Rightarrow A_i \cap A_j=\varnothing \)
- \( \displaystyle \bigcup_{i \in I} A_i=\Omega \)
Probabilité : définition et propriétés élémentaires
Définition
On appelle probabilité sur \( (\Omega, \mathcal{A}) \) toute application \( \mathbb{P}: \mathcal{A} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \) telle que :
- \( \mathbb{P}(\Omega)=1 \)
- \( \mathbb{P} \) est une application \( \sigma \)-additive, c’est-à-dire que, pour tout famille finie ou dénombrable \( \left(A_i\right)_{i \in I} \) d’événements deux à deux disjoints, on a : \[ \mathbb{P} \! \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right)=\sum_{i \in I} \mathbb{P}(A_i)\]
- Une telle probabilité \( \mathbb{P} \) étant fixée, le triplet \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \) est appelé espace probabilisé.
Propriétés élémentaires
Soit \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \) un espace probabilisé.
- \( \mathbb{P}(\varnothing)=0 \)
- \( \forall(A, B) \in \mathcal{A}^2, \ A \subset B \Rightarrow \mathbb{P}(A) \leqslant \mathbb{P}(B) \) et \( \mathbb{P}(B \backslash A)=\mathbb{P}(B \cap \overline{A})=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A) \)
- \( \forall A \in \mathcal{A}, \ \mathbb{P}(A) \in[0,1] \)
- \( \forall A \in \mathcal{A}, \ \mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}(A) \)
Probabilité uniforme : définition
Si \( \Omega=\left\{\omega_1, \ldots, \omega_n\right\} \) est un ensemble fini non vide constitué de \( n \) éléments et si on note \( \mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega) \), il existe une unique probabilité \( \mathbb{P} \) telle que : \( \mathbb{P}(\left\{\omega_1\right\})=\mathbb{P}(\left\{\omega_2\}\right)=\cdots=\mathbb{P}(\left\{\omega_n\right\}) \).
Cette application \( \mathbb{P} \) est appelée probabilité uniforme \( \operatorname{sur}(\Omega, \mathcal{A}) \) et vérifie : \[ \forall A \in \mathcal{A}, \ \mathbb{P}(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)} \]
Lorsque l’espace probabilisé \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \) est muni de cette probabilité uniforme, on dit que les événements élémentaires sont équiprobables (ou plus simplement qu’il y a équiprobabilité).
Formule de Poincaré
Si \( A, B \) et \( C \) sont trois événements, on a : \[ \mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A \cap B) \]
et : \[ \mathbb{P}(A \cup B \cup C)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(A \cap B)-\mathbb{P}(A \cap C)-\mathbb{P}(B \cap C)+\mathbb{P}(A \cap B \cap C) \]
Théorème de la limite monotone et corollaires
Théorème de la limite monotone
Pour toute suite \( \left(A_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \) d’événements :
- Si \( \left(A_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \) est croissante au sens de l’inclusion (i.e. si : \( \forall n \in \mathbb{N}, \ A_n \subset A_{n+1} \)) : \[ \mathbb{P} \! \left(\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_n\right)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}(A_n) \]
- Si \( \left(A_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \) est décroissante au sens de l’inclusion (i.e. si : \( \forall n \in \mathbb{N}, \ A_{n+1} \subset A_n \)) : \[ \mathbb{P} \! \left(\bigcap_{n=1}^{+\infty} A_n\right)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}(A_n) \]
Corollaire
Pour toute suite \( \left(A_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \) d’événements : \[ \mathbb{P} \! \left(\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_n\right)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P} \! \left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \quad \text { et } \mathbb{P} \! \left(\bigcap_{n=1}^{+\infty} A_n\right)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P} \! \left(\bigcap_{k=1}^n A_k\right) \]
Probabilité conditionnelle
Probabilité conditionnelle : définition et propriétés fondamentales
Définition
Soit \( A \) un événement de probabilité non nulle.
Si \( B \) est un événement, on appelle probabilité de \( B \) conditionnée par \( A \), ou probabilité conditionnelle de \( B \) sachant \( A \) le nombre \( \mathbb{P}_A(B) \) défini par : \[ \mathbb{P}_A(B)=\frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)} \]
Propriétés fondamentales
Si \( A \) est un événement de probabilité non nulle, l’application \( B \mapsto \mathbb{P}_A(B) \) est une probabilité sur \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \), appelée probabilité conditionnelle sachant \( A \) (ou aussi probabilité conditionnelle à l’événement \( A \)), et \( \left(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}_A\right) \) est un espace probabilisé.
Si \( A \) est un événement de probabilité non nulle, on a :
- \( \mathbb{P}_A(A)=1 \)
- \( \forall B \in \mathcal{A}, \ \mathbb{P}_A(\overline{B})=1-\mathbb{P}_A(B) \)
- \( \forall(B, C) \in \mathcal{A}^2, \ \mathbb{P}_A(B \cup C)=\mathbb{P}_A(B)+\mathbb{P}_A(C)-\mathbb{P}_A(B \cap C) \)
Formule des probabilités composées
Si \( A \) et \( B \) sont deux événements tels que \( \mathbb{P}(A) \neq 0 \), alors : \[ \mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(A) \mathbb{P}_A(B) \]
Plus généralement, si \( \left(A_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}(n \geqslant 2) \) est une famille d’événements telle que \( \displaystyle \mathbb{P} \! \left(\bigcap_{i=1}^{n-1} A_i\right) \neq 0 \), alors : \[ \mathbb{P} \! \left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)=\mathbb{P} \! \left(A_1\right) \mathbb{P}_{A_1}\left(A_2\right) \mathbb{P}_{A_1 \cap A_2}\left(A_3\right) \cdots \mathbb{P}_{A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{n-1}}\left(A_n\right) \]
Formule de Bayes
Si \( A \) et \( B \) sont deux événements de probabilité non nulle, alors : \[ \mathbb{P}_A(B)=\frac{\mathbb{P}(B) \, \mathbb{P}_B(A)}{\mathbb{P}(A)} \]
Formule des probabilités totales
Si \( \left(A_i\right)_{i \in I} \) est un système complet d’événements, alors, en notant \( J=\left\{i \in I ,\ \mathbb{P} \! \left(A_i\right) \neq 0\right\} \) : \[ \forall A \in \mathcal{A}, \ \mathbb{P}(A)=\sum_{i \in I} \mathbb{P} \! \left(A \cap A_i\right)=\sum_{i \in J} \mathbb{P} \! \left(A_i\right) \mathbb{P}_{A_i}(A) \]
Événements indépendants
Événements indépendants : définition et propriétés
Définition
Deux événements \( A \) et \( B \) sont dits indépendants si : \[ \mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \]
Propriétés
Si \( A \) et \( B \) sont deux événements et si \( \mathbb{P}(A) \neq 0, A \) et \( B \) sont indépendants si et seulement si : \[ \mathbb{P}_A(B)=\mathbb{P}(B) \]
Si \( A \) et \( B \) sont deux événements, les propositions suivantes sont équivalents :
- \( A \) et \( B \) sont indépendants,
- \( A \) et \( \overline{B} \) sont indépendants,
- \( \overline{A} \) et \( B \) sont indépendants,
- \( \overline{A} \) et \( \overline{B} \) sont indépendants.
Familles d’événements indépendants : définition et propriétés
Définition
Soit \( I \) une partie non vide de \( \mathbb{N} \) et \( \left(A_i\right)_{i \in I} \) une famille d’événements.
- On dit que les événements de la famille \( \left(A_i\right)_{i \in I} \) sont deux à deux indépendants si : \[ \forall(i, j) \in I^2, i \neq j \Rightarrow \mathbb{P} \! \left(A_i \cap A_j\right)=\mathbb{P} \! \left(A_i\right) \mathbb{P} \! \left(A_j\right) \]
- On dit que les événements de la famille \( \left(A_i\right)_{i \in I} \) sont mutuellement indépendants (ou plus simplement indépendants) si, pour toute partie finie \( J \) de \( I \), on a : \[ \mathbb{P} \! \left(\bigcap_{i \in J} A_i\right)=\prod_{i \in J} \mathbb{P} \! \left(A_i\right) \]
- En particulier, si la famille est finie, les événements de la famille \( \left(A_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) sont mutuellement indépendants si : \[ \forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right] , \ \forall\left(i_j\right)_{1 \leqslant j \leqslant k} \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^k\ / \ 1 \leqslant i_1<\cdots<i_k \leqslant n, \ \mathbb{P} \! \left(\bigcap_{j=1}^k A_{i_j}\right)=\prod_{j=1}^k \mathbb{P} \! \left(A_{i_j}\right) \]
Propriétés
\( \mathrm{Si}\left(A_i\right)_{i \in I} \) est une famille d’événements mutuellement indépendants et si \( I_1 \) et \( I_2 \) sont deux parties disjointes de \( I \) telles que \( I_1=I_2=I \), on définit une famille \( \left(B_i\right)_{i \in I} \) d’événements mutuellement indépendants en posant : \[\forall i \in I_1, \ B_i=A_i \quad \text { et } \quad \forall i \in I_2, \ B_i=\overline{A_i} \]