Projecteurs et symétries (Appro)

On appelle projection (ou projecteur) de \( E \) sur \( F \) dans la direction \( G \) (ou parallèlement à \( G \)) l’application \( p \) vérifiant : \[\forall x \in E \ / \ x=x_F+x_G \text { avec }\left(x_F, x_G\right) \in F \times G, \ p(x)=x_F \]

Si \( p \) est le projecteur sur \( F \) parallèlement à \( G \), alors :

• \( p \) est un endomorphisme de \( E \)
• \( \operatorname{Im}(p) = F \)
• \( \operatorname{Ker}(p) = G \)
• \( p \circ p = p \)
• \( \operatorname{Im}(p)= \mathrm{Ker}(p- \mathrm{id}_E) = \{x \in E,\ p(x)=x\} \)
• \( E =\operatorname{Ker}(p) \oplus \operatorname{Im}(p) \)

Si \( p \) est la projection sur \( F \) dans la direction \( G \) et si \( q \) est la projection sur \( G \) dans la direction \( F \), alors : \[ p+q=\operatorname{id}_E \quad \text { et } \quad p \circ q=q \circ p=0 \]

On dit que \( p \) et \( q \) sont les projecteurs associés aux sous-espaces vectoriels \( F \) et \( G \).

\( p \) est un projecteur de \( E \) si et seulement si \( p \) est un endomorphisme de \( E \) tel que \( p \circ p = p \).

On appelle symétrie de \( E \) par rapport à \( F \) dans la direction \( G \) (ou parallèlement à \( G \)) l’application \( s \) vérifiant : \[\forall x \in E \ / \ x=x_F+x_G \text { avec }\left(x_F, x_G\right) \in F \times G, \ s(x)=x_F – x_G \]

Si \( s \) est la symétrie de \( E \) par rapport à \( F \) dans la direction \( G \), alors :

• \( s \) est un endomorphisme de \( E \)
• \( s \circ s = \mathrm{id}_E \)
• \( F = \mathrm{Ker}(s- \mathrm{id}_E) = \{x \in E,\ s(x)=x\} \)
• \( G = \mathrm{Ker}(s + \mathrm{id}_E) = \{x \in E,\ s(x)= -x\} \)
• \( E = \mathrm{Ker}(s- \mathrm{id}_E) \oplus \mathrm{Ker}(s + \mathrm{id}_E) \)
• \( s= 2p – \mathrm{id}_E \) où \( p \) est la projection sur \( F \) dans la direction \( G \).

\( s \) est une symétrie de \( E \) si et seulement si \( s \) est un endomorphisme de \( E \) tel que \( s \circ s = \mathrm{id}_E \).