Intégration (Appro)

Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \).

On dit qu’une fonction \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( I \) si \( F \) est dérivable sur \( I \) et si : \( F^{\prime}=f \).

Dans le tableau suivant, \( f \) est une fonction continue sur \(I \), \( F \) désigne une primitive de \(f \), \( n \) est un entier relatif et \(\alpha \) est un réel strictement positif. Ces résultats découlent directement des dérivées usuelles.

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline f & F & I \\ \hline x \mapsto x^n(n \geqslant 0) & x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1} & \mathbb{R} \\ \hline x \mapsto x^n(n \leqslant-2) & x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1} & \mathbb{R}_{+}^* \text{ ou } \mathbb{R}_{-}^* \\ \hline x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} & x \mapsto 2 \sqrt{x} & \mathbb{R}_{+}^* \\ \hline x \mapsto x^\alpha & x \mapsto \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} & \mathbb{R}_{+}^* \\ \hline x \mapsto \dfrac{1}{x} & x \mapsto \ln |x| & \mathbb{R}_{+}^* \text{ ou } \mathbb{R}_{-}^* \\ \hline x \mapsto \mathrm{e}^x & x \mapsto \mathrm{e}^x & \mathbb{R} \\ \hline \cos & \sin & \mathbb{R} \\ \hline \sin & -\cos & \mathbb{R} \\ \hline x \mapsto \dfrac{1}{1+x^2} & \arctan & \mathbb{R} \\ \hline \end{array} \]

Soit \( f, g, F \) et \( G \) des fonctions définies sur \( I \), à valeurs dans \( \mathbb{R} \), \( \lambda, \mu \) deux réels, \( \alpha \) un réel différent de 1 . Si \( F \) est une primitive de \( f \) et si \( G \) est une primitive de \( g \), alors :

• \( f \) admet une infinité de primitives sur \( I \) et l’ensemble des primitives de \( f \) est \( \{F+k, k \in \mathbb{R}\} \) ; par conséquent, si \( f \) est une primitive de \( f \) sur \( I \) et si \( a \in I \), alors \( f \) admet une unique primitive s’annulant en \( a \), qui est la fonction \( x \mapsto F(x)-F(a) \).
• \( \lambda F \) est une primitive de \( \lambda f \) sur \( I \),
• \( F+G \) est une primitive de \( f+g \) sur \( I \),
• si \( \lambda \neq 0 \), \( x \mapsto \dfrac{1}{\lambda} \, F(\lambda x+\mu) \) est une primitive de \( x \mapsto f(\lambda x+\mu) \) sur \( I \),
• \( F \times G \) est une primitive de \( f \times G+F \times g \) sur \( I \).

Si \( f \) une fonction dérivable sur \( I \), à valeurs dans un intervalle \( J \) de \( \mathbb{R} \), et si \( G \) une fonction dérivable sur \( J \), alors \( G \circ F \) est une primitive de \( F^{\prime} \times G^{\prime} \circ F \) sur \( I \).

• Théorème. Si \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( ]a,b[ \), le réel \( F(b)-F(a) \) est indépendant du choix de la primitive \( F \).
• Définition. Si \( f \) est une primitive de \( f \) sur \( [a,b] \), le réel \( F(b)-F(a) \) est appelé intégrale de \( f \) de \( a \) à \( b \) et on note : \[ F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b=\int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x \]
• La fonction \( f \) est appelée intégrande de l’intégrale \( \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x \).

Toute fonction continue sur un intervalle \( I \) admet une primitive. Plus précisément, si \( f \) est continue sur \( I \), la fonction \( \displaystyle F: x \mapsto \int_a^x f(t) \, \mathrm{d} t \) est l’unique primitive de \( f \) qui s’annule en \( a \) et c’est une fonction de classe \(\mathcal{C}^1 \) sur \( I \).

Soit \( a \) et \( b \) deux réels tels que \(a < b \). Si \( f \) est une fonction continue et positive sur \( [a,b] \), alors \( \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x \) est égale à l’aire du domaine du plan délimité par les droites d’équation \( y=0 \), \(x=a \) et \( x=b \) et la courbe représentative de \( f \).

Si \( a \) est un réel positif ou nulle et si \( f \) est une fonction continue sur \( [-a, a] \), alors :

• Si \( f \) est impaire : \( \displaystyle \int_{-a}^a f(x) \, \mathrm{d} x=0 \)
• Si \( f \) est paire : \( \displaystyle \int_{-a}^a f(x) \, \mathrm{d} x=2 \int_0^a f(x) \, \mathrm{d} x \)

Si \( f \) et \( g \) sont continues sur \( I \), on a, pour tout \( (a, b) \in I^2 \) et pour tout \( (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2 \) : \[ \int_a^b[\lambda f(x)+\mu g(x)] \, \mathrm{d} x=\lambda \int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x+\mu \int_a^b g(x) \, \mathrm{d} x \]

Si \( f \) est continue sur \( I \), on a, pour tout \( (a, b, c) \in I^3 \) : \[ \int_a^c f(x) \, \mathrm{d} x=\int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x+\int_b^c f(x) \, \mathrm{d} x \]

On considère les suites \( \left(S_n\right)_{n \in \mathbb{N}^*} \) et \( \left(S_n^{\prime}\right)_{n \in \mathbb{N}^*} \) définies par : \[ \forall n \in \mathbb{N}^*, S_n=\dfrac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \! \left(a+k \dfrac{b-a}{n}\right) \quad \text { et } \quad S_n^{\prime}=\dfrac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f \! \left(a+k \dfrac{b-a}{n}\right) \]

Pour tout \( n \in \mathbb{N}^*, S_n \) et \( S_n^{\prime} \) sont appelées sommes de Riemann à pas constant de \( f \) sur \( [a,b] \).

Si \( f \) est continue sur \( [a,b] \), on a: \[ \lim _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \! \left(a+k \dfrac{b-a}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f \! \left(a+k \dfrac{b-a}{n}\right)=\int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x \]

Si \( f \) et \( g \) sont de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( I \) alors, pour tout \( (a, b) \in I^2 \) : \[ \int_a^b f^{\prime}(x) g(x) \, \mathrm{d} x=[f(x) g(x)]_a^b-\int_a^b f(x) g^{\prime}(x) \, \mathrm{d} x \]

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \), \( \varphi \) une fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur un intervalle \( J \) de \( \mathbb{R} \) tel que \( \varphi(J) \subset I \). Pour tout couple \( (a, b) \) d’éléments de \( J \), on a: \[ \int_a^b f \circ \varphi(x) \varphi^{\prime}(x) \, \mathrm{d} x=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t) \, \mathrm{d} t \]

Pour justifier cette égalité, on dit qu’on a effectué le changement de variable \( t=\varphi(x) \).