Comparaison de suites (Appro)

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Négligeabilité

Suite négligeable devant une autre : définition et propriétés

Définition

Soit $u$ et $v$ deux suites réelles.

On dit que $u$ est négligeable devant $v$ (ou que $u_n$ est négligeable devant $v_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ) s’il existe une suite $\left(\varepsilon_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ et un entier naturel $p$ tels que : $\forall n \geqslant p, \ u_n=\varepsilon_n v_n \quad \text{et} \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} \varepsilon_n=0$

Dans ce cas, on note $u_n \underset{n\to +\infty}{=} (v_n)$ , ou plus simplement $u_n=\circ(v_n)$ .

Propriétés

Soit $u$ et $v$ deux suites réelles. Si les termes de la suite $v$ sont tous non nuls à partir d’un certain rang, alors : $u_n=\circ(v_n) \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{u_n}{v_n}=0$

Soit $u, v, w, u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ des suites réelles.

Si $u_n=\circ(v_n)$ et $v_n=\circ(w_n)$ , alors : $u_n=\circ(w_n)$ .
Si $u_n=\circ(v_n)$ et $u_n^{\prime}=\circ(v_n^{\prime})$ , alors : $u_n u_n^{\prime}=\circ(v_n v_n^{\prime})$ .
Si $u_n=\circ(v_n)$ et $u_n^{\prime}=\circ(v_n)$ , alors : $u_n+u_n^{\prime}=\circ(v_n)$ .
Si $u_n=\circ(v_n)$ , alors : $u_n u_n^{\prime}=\circ(v_n u_n^{\prime})$ .

Négligeabilités usuelles

Soit $a$ et $b$ deux réels.

Si $a<b$ , alors : $n^a=\circ(n^b)$
Si $|a|<|b|$ , alors : $a^n=\circ(b^n)$
Si $b>0$ , alors : $(\ln n)^a=\circ(n^b)$
Si $b>0$ , alors : $n^a=\circ(\mathrm{e}^{b n})$ $a^n=\circ(n!)$

Équivalence

Suites équivalentes : définition et propriétés

Définition

Soit $u$ et $v$ deux suites réelles.

On dit que $u$ est équivalente à $v$ s’il existe une suite $\left(h_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ et un entier naturel $p$ tels que : $\forall n \geqslant p, \ u_n=v_n h_n \quad \text { et } \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} h_n=1$

Dans ce cas, on note $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n$ , ou plus simplement $u_n \sim v_n$ .

Propriétés

Soit $u$ et $v$ deux suites réelles.

Si les termes de la suite $v$ sont tous non nuls à partir d’un certain rang, alors : $u_n \sim v_n \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{u_n}{v_n}=1$
$u_n=\circ(v_n) \Rightarrow u_n+v_n \sim v_n$

Opérations compatibles avec l’équivalence

Soit $u, v, w, u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ des suites réelles.

Si $u_n \sim v_n$ et $v_n \sim w_n$ , alors : $u_n \sim w_n$ .
Si $u_n \sim v_n$ et $u_n^{\prime} \sim v_n^{\prime}$ , alors : $u_n u_n^{\prime} \sim v_n v_n^{\prime}$ .
Si $u_n \sim v_n$ et si les termes des suites $u$ et $v$ sont tous non nuls à partir d’un certain rang, alors : $\displaystyle \frac{1}{u_n} \sim \frac{1}{v_n}$ .
Si $u_n \sim v_n$ , alors : $\forall p \in \mathbb{N}, \ u_n^p \sim v_n^p$ .
Si les termes de la suite $u$ sont tous non nuls à partir d’un certain rang, alors : $\forall p \in \mathbb{Z}, \ u_n^p \sim v_n^p$ .
Si $u$ est strictement positive à partir d’un certain rang, alors : $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \ u_n^\alpha \sim v_n^\alpha$ .

Liens entre équivalence de suites et limite

Soit $u$ et $v$ deux suites réelles.

Si les termes de la suite $v$ sont tous non nuls à partir d’un certain rang, alors : $u_n \sim v_n \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{u_n}{v_n}=1$
Si $u_n \sim v_n$ et si $\ell$ est un élément de $\overline{\mathbb{R}}$ , alors : $\lim _{n \rightarrow+\infty} v_n=\ell \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=\ell$
Si $\ell$ est un réel non nul et si $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=\ell$ , alors : $u_n \sim \ell$ .

Équivalents de référence

Soit $u$ une suite convergeant vers 0.

$\ln (1+u_n) \sim u_n$
$\mathrm{e}^{u_n}-1 \sim u_n$
$\forall \alpha \in \mathbb{R}, \ \left(1+u_n\right)^\alpha-1 \sim \alpha \, u_n$
$\sin (u_n) \sim u_n$
$\displaystyle 1-\cos (u_n) \sim \frac{u_n^2}{2}$

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