Comparaison de suites (Appro)
Négligeabilité
Suite négligeable devant une autre : définition et propriétés
Définition
Soit \( u \) et \( v \) deux suites réelles.
On dit que \( u \) est négligeable devant \( v \) (ou que \( u_n \) est négligeable devant \( v_n \) quand \( n \) tend vers \( +\infty \)) s’il existe une suite \( \left(\varepsilon_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \) et un entier naturel \( p \) tels que : \[ \forall n \geqslant p, \ u_n=\varepsilon_n v_n \quad \text{et} \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} \varepsilon_n=0 \]
Dans ce cas, on note \( u_n \underset{n\to +\infty}{=} (v_n) \), ou plus simplement \( u_n=\circ(v_n) \).
Propriétés
Soit \( u \) et \( v \) deux suites réelles. Si les termes de la suite \( v \) sont tous non nuls à partir d’un certain rang, alors : \[ u_n=\circ(v_n) \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{u_n}{v_n}=0 \]
Soit \( u, v, w, u^{\prime} \) et \( v^{\prime} \) des suites réelles.
- Si \( u_n=\circ(v_n) \) et \( v_n=\circ(w_n) \), alors : \( u_n=\circ(w_n) \).
- Si \( u_n=\circ(v_n) \) et \( u_n^{\prime}=\circ(v_n^{\prime}) \), alors : \( u_n u_n^{\prime}=\circ(v_n v_n^{\prime}) \).
- Si \( u_n=\circ(v_n) \) et \( u_n^{\prime}=\circ(v_n) \), alors : \( u_n+u_n^{\prime}=\circ(v_n) \).
- Si \( u_n=\circ(v_n) \), alors : \( u_n u_n^{\prime}=\circ(v_n u_n^{\prime}) \).
Négligeabilités usuelles
Soit \( a \) et \( b \) deux réels.
- Si \( a<b \), alors : \( n^a=\circ(n^b) \)
- Si \( |a|<|b| \), alors : \( a^n=\circ(b^n) \)
- Si \( b>0 \), alors : \( (\ln n)^a=\circ(n^b) \)
- Si \( b>0 \), alors : \( n^a=\circ(\mathrm{e}^{b n}) \) \( a^n=\circ(n!) \)
Équivalence
Suites équivalentes : définition et propriétés
Définition
Soit \( u \) et \( v \) deux suites réelles.
On dit que \( u \) est équivalente à \( v \) s’il existe une suite \( \left(h_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \) et un entier naturel \( p \) tels que : \[ \forall n \geqslant p, \ u_n=v_n h_n \quad \text { et } \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} h_n=1 \]
Dans ce cas, on note \( u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} v_n \), ou plus simplement \( u_n \sim v_n \).
Propriétés
Soit \( u \) et \( v \) deux suites réelles.
- Si les termes de la suite \( v \) sont tous non nuls à partir d’un certain rang, alors : \[ u_n \sim v_n \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{u_n}{v_n}=1 \]
- \( u_n=\circ(v_n) \Rightarrow u_n+v_n \sim v_n \)
Opérations compatibles avec l’équivalence
Soit \( u, v, w, u^{\prime} \) et \( v^{\prime} \) des suites réelles.
- Si \( u_n \sim v_n \) et \( v_n \sim w_n \), alors : \( u_n \sim w_n \).
- Si \( u_n \sim v_n \) et \( u_n^{\prime} \sim v_n^{\prime} \), alors : \( u_n u_n^{\prime} \sim v_n v_n^{\prime} \).
- Si \( u_n \sim v_n \) et si les termes des suites \( u \) et \( v \) sont tous non nuls à partir d’un certain rang, alors : \( \displaystyle \frac{1}{u_n} \sim \frac{1}{v_n} \).
- Si \( u_n \sim v_n \), alors : \( \forall p \in \mathbb{N}, \ u_n^p \sim v_n^p \).
- Si les termes de la suite \( u \) sont tous non nuls à partir d’un certain rang, alors : \( \forall p \in \mathbb{Z}, \ u_n^p \sim v_n^p \).
- Si \( u \) est strictement positive à partir d’un certain rang, alors : \( \forall \alpha \in \mathbb{R}, \ u_n^\alpha \sim v_n^\alpha \).
Liens entre équivalence de suites et limite
Soit \( u \) et \( v \) deux suites réelles.
- Si les termes de la suite \( v \) sont tous non nuls à partir d’un certain rang, alors : \[ u_n \sim v_n \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{u_n}{v_n}=1 \]
- Si \( u_n \sim v_n \) et si \( \ell \) est un élément de \( \overline{\mathbb{R}} \), alors : \[ \lim _{n \rightarrow+\infty} v_n=\ell \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=\ell \]
- Si \( \ell \) est un réel non nul et si \( \displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=\ell \), alors : \( u_n \sim \ell \).
Équivalents de référence
Soit \( u \) une suite convergeant vers 0.
- \( \ln (1+u_n) \sim u_n \)
- \( \mathrm{e}^{u_n}-1 \sim u_n \)
- \( \forall \alpha \in \mathbb{R}, \ \left(1+u_n\right)^\alpha-1 \sim \alpha \, u_n \)
- \( \sin (u_n) \sim u_n \)
- \( \displaystyle 1-\cos (u_n) \sim \frac{u_n^2}{2} \)