Fonctions : comparaisons (Appro)

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Négligeabilité

Négligeabilité d’une fonction devant une autre en un point : définition

Définition

On dit qu’une fonction $f$ est négligeable devant une fonction $g$ au voisinage de $a$ s’il existe une fonction $\varepsilon$ définie au voisinage de $a$ telle que, lorsque $x$ est au voisinage de $a$ : $f(x)=g(x) \, \varepsilon(x) \quad \text { et } \quad \lim _{x \rightarrow a} \varepsilon(x)=0$

Dans ce cas, on note $\displaystyle f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} \circ(g(x))$ ou plus simplement $\displaystyle f \underset{a}{=} \circ(g)$ .

Proposition

Si la fonction $g$ ne s’annule pas au voisinage de $a$ , alors : $f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} \circ(g(x)) \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=0$

Opérations compatibles avec la négligeabilité

Soit $f, g, h, i$ et $j$ des fonctions définies au voisinage de $a$ .

Si $f \underset{a}{=} \circ(g)$ et $g \underset{a}{=} \circ(h)$ , alors : $f \underset{a}{=} \circ(h)$ .
Si $f \underset{a}{=} \circ(g)$ et $i \underset{a}{=} \circ(j)$ , alors : $f \times i \underset{a}{=} \circ(g \times j)$ .
Si $f \underset{a}{=} \circ(h)$ et $g \underset{a}{=} \circ(h)$ , alors : $f+g \underset{a}{=} \circ(h)$ .
Si $f \underset{a}{=} \circ(g)$ , alors : $f \times h \underset{a}{=} \circ(g \times h)$ .

Négligeabilités de référence

Négligeabilités de référence en

$+\infty$

Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

Si $a<b$ , alors : $x^a \underset{+\infty}{=} \circ(x^b)$
$x^a=\circ(\mathrm{e}^{x^b})$
$(\ln (x))^a \underset{+\infty}{=} \circ(x^b)$
$(\ln (x))^a \underset{+\infty}{=} \circ(\mathrm{e}^{x^b})$

Négligeabilités de référence en 0

Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

Si $a>b$ , alors : $x^a \underset{0}{=} \circ(x^b)$
$(\ln (x))^a \underset{0}{=} \circ \! \left(\dfrac{1}{x^b} \right)$

Équivalence

Équivalence de deux fonctions en un point : définition

Définition

On dit qu’une fonction $f$ est équivalente à une fonction $g$ au voisinage de $a$ s’il existe une fonction $h$ définie au voisinage de $a$ telle que, lorsque $x$ est au voisinage de $a$ : $f(x)=g(x) \, h(x) \quad \text { et } \quad \lim _{x \rightarrow a} h(x)=1$

Dans ce cas, on note $f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x)$ ou plus simplement $f \underset{a}{\sim} g$ .

Propriété

Si la fonction $g$ ne s’annule pas au voisinage de $a$ , alors : $f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x) \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=1$

Opérations compatibles avec l’équivalence

Soit $f, g, h, i$ et $j$ des fonctions définies au voisinage de $a$ .

Si $f \underset{a}{\sim} g$ et $g \underset{a}{\sim} h$ , alors : $f \underset{a}{\sim} h$ .
Si $f \underset{a}{\sim} g$ et $i \underset{a}{\sim} j$ , alors : $f \times i \underset{a}{\sim} g \times j$ .
Si $f \underset{a}{\sim} g$ et si $f$ et $g$ ne s’annulent pas au voisinage de $a$ : $\displaystyle \dfrac{1}{f} \underset{a}{\sim} \dfrac{1}{g}$ .
Si $f \underset{a}{\sim} g$ , alors : $\forall n \in \mathbb{N}, \ f^n \underset{a}{\sim} g^n$ .
Si $f \underset{a}{\sim} g$ et si $f$ et $g$ sont strictement positives au voisinage de $a$ , alors : $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \ f^\alpha \underset{a}{\sim} g^\alpha$ .

Liens entre équivalence de deux fonctions et calcul de limite

Si la fonction $g$ ne s’annule pas au voisinage de $a$ , alors : $f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x) \Longleftrightarrow \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=1$
Si $f \underset{a}{\sim} g$ et si $\ell$ est un élément de $\overline{\mathbb{R}}$ , alors : $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\ell \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\ell$
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions équivalentes en $a$ , il existe un voisinage de $a$ sur lequel $f$ et $g$ sont de même signe.
Si $\ell$ est un réel non nul et si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\ell$ , alors : $f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} \ell$

Équivalents usuels

Une fonction polynôme non nulle est équivalente en $+\infty$ et en $-\infty$ à son monôme de plus haut degré et en $0$ à son monôme de plus base degré ; autrement dit, si $(n, p)$ est un couple d’entiers naturels tel que $p<n$ et si $\displaystyle P: x \mapsto \sum_{k=p}^n a_k x^k$ est une fonction polynôme telle que $a_p \neq 0$ et $a_n \neq 0$ , alors : $\sum_{k=p}^n a_k x^k \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim} a_n x^n$ $\sum_{k=p}^n a_k x^k \underset{x \rightarrow-\infty}{\sim} a_n x^n$ $\sum_{k=p}^n a_k x^k \underset{x \rightarrow 0}{\sim} a_p x^p$
$\sin (x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x$
$1-\cos (x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \frac{x^2}{2}$
$\tan (x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x$
$\mathrm{e}^x-1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x$
$\ln (1+x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x$
$\ln (x) \underset{x \rightarrow 1}{\sim} x-1$
$\forall \alpha \in \mathbb{R},\ (1+x)^\alpha-1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \alpha x$

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