Fonctions : comparaisons (Appro)
Négligeabilité
Négligeabilité d’une fonction devant une autre en un point : définition
Définition
On dit qu’une fonction \( f \) est négligeable devant une fonction \( g \) au voisinage de \( a \) s’il existe une fonction \( \varepsilon \) définie au voisinage de \( a \) telle que, lorsque \( x \) est au voisinage de \( a \) : \[ f(x)=g(x) \, \varepsilon(x) \quad \text { et } \quad \lim _{x \rightarrow a} \varepsilon(x)=0 \]
Dans ce cas, on note \( \displaystyle f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} \circ(g(x)) \) ou plus simplement \( \displaystyle f \underset{a}{=} \circ(g) \).
Proposition
Si la fonction \( g \) ne s’annule pas au voisinage de \( a \), alors : \[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} \circ(g(x)) \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=0 \]
Opérations compatibles avec la négligeabilité
Soit \( f, g, h, i \) et \( j \) des fonctions définies au voisinage de \( a \).
- Si \( f \underset{a}{=} \circ(g) \) et \( g \underset{a}{=} \circ(h) \), alors : \( f \underset{a}{=} \circ(h) \).
- Si \( f \underset{a}{=} \circ(g) \) et \( i \underset{a}{=} \circ(j) \), alors : \( f \times i \underset{a}{=} \circ(g \times j) \).
- Si \( f \underset{a}{=} \circ(h) \) et \( g \underset{a}{=} \circ(h) \), alors : \( f+g \underset{a}{=} \circ(h) \).
- Si \( f \underset{a}{=} \circ(g) \), alors : \( f \times h \underset{a}{=} \circ(g \times h) \).
Négligeabilités de référence
Négligeabilités de référence en \( +\infty \)
Soit \( a \) et \( b \) deux réels strictement positifs.
- Si \( a<b \), alors : \( x^a \underset{+\infty}{=} \circ(x^b) \)
- \( x^a=\circ(\mathrm{e}^{x^b}) \)
- \( (\ln (x))^a \underset{+\infty}{=} \circ(x^b) \)
- \( (\ln (x))^a \underset{+\infty}{=} \circ(\mathrm{e}^{x^b}) \)
Négligeabilités de référence en 0
Soit \( a \) et \( b \) deux réels strictement positifs.
- Si \( a>b \), alors : \( x^a \underset{0}{=} \circ(x^b) \)
- \( (\ln (x))^a \underset{0}{=} \circ \! \left(\dfrac{1}{x^b} \right) \)
Équivalence
Équivalence de deux fonctions en un point : définition
Définition
On dit qu’une fonction \( f \) est équivalente à une fonction \( g \) au voisinage de \( a \) s’il existe une fonction \( h \) définie au voisinage de \( a \) telle que, lorsque \( x \) est au voisinage de \( a \) : \[ f(x)=g(x) \, h(x) \quad \text { et } \quad \lim _{x \rightarrow a} h(x)=1 \]
Dans ce cas, on note \( f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x) \) ou plus simplement \( f \underset{a}{\sim} g \).
Propriété
Si la fonction \( g \) ne s’annule pas au voisinage de \( a \), alors : \[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x) \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=1 \]
Opérations compatibles avec l’équivalence
Soit \( f, g, h, i \) et \( j \) des fonctions définies au voisinage de \( a \).
- Si \( f \underset{a}{\sim} g \) et \( g \underset{a}{\sim} h \), alors : \( f \underset{a}{\sim} h \).
- Si \( f \underset{a}{\sim} g \) et \( i \underset{a}{\sim} j \), alors : \( f \times \underset{a}{\sim} g \times j \).
- Si \( f \underset{a}{\sim} g \) et si \( f \) et \( g \) ne s’annulent pas au voisinage de \( a \) : \( \displaystyle \dfrac{1}{f} \underset{a}{\sim} \dfrac{1}{g} \).
- Si \( f \underset{a}{\sim} g \), alors : \( \forall n \in \mathbb{N}, \ f^n \underset{a}{\sim} g^n \).
- Si \( f \underset{a}{\sim} g \) et si \( f \) et \( g \) sont strictement positives au voisinage de \( a \), alors : \( \forall \alpha \in \mathbb{R}, \ f^\alpha \underset{a}{\sim} g^\alpha \).
Liens entre équivalence de deux fonctions et calcul de limite
- Si la fonction \( g \) ne s’annule pas au voisinage de \( a \), alors : \[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x) \Longleftrightarrow \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=1 \]
- Si \( f \underset{a}{\sim} g \) et si \( \ell \) est un élément de \( \overline{\mathbb{R}} \), alors : \[ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\ell \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\ell \]
- Si \( f \) et \( g \) sont deux fonctions équivalentes en \( a \), il existe un voisinage de \( a \) sur lequel \( f \) et \( g \) sont de même signe.
- Si \( \ell \) est un réel non nul et si \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\ell \), alors : \[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} \ell \]
Équivalents usuels
- Une fonction polynôme non nulle est équivalente en \( +\infty \) et en \( -\infty \) à son monôme de plus haut degré et en \(0 \) à son monôme de plus base degré ; autrement dit, si \( (n, p) \) est un couple d’entiers naturels tel que \( p<n \) et si \( \displaystyle P: x \mapsto \sum_{k=p}^n a_k x^k \) est une fonction polynôme telle que \( a_p \neq 0 \) et \( a_n \neq 0 \), alors : \[ \sum_{k=p}^n a_k x^k \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim} a_n x^n \] \[ \sum_{k=p}^n a_k x^k \underset{x \rightarrow-\infty}{\sim} a_n x^n \] \[ \sum_{k=p}^n a_k x^k \underset{x \rightarrow 0}{\sim} a_p x^p \]
- \( \sin (x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
- \( 1-\cos (x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \frac{x^2}{2} \)
- \( \tan (x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
- \( \mathrm{e}^x-1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
- \( \ln (1+x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
- \( \ln (x) \underset{x \rightarrow 1}{\sim} x-1 \)
- \( \forall \alpha \in \mathbb{R},\ (1+x)^\alpha-1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \alpha x \)