Séries numériques (Appro)
Généralités
Définitions
Soit \( u \) une suite réelle. On note \( (S_n)_{n \in \mathbb{N}} \) la suite définie par : \[\forall n \in\mathbb{N},\ S_n = \sum_{k=0}^n u_k \]
Notion de série
- Le couple \( ((u_n)_{n \in \mathbb{N}}, ( S_n)_{n \in \mathbb{N}} \) est appelé série de terme général \( u_n \).
- La série de terme général \( u_n \) est notée \( \sigma u_n \)..
- \( S_n \) est appelé somme partielle d’ordre \( n \) de la série de terme général \( u_n \).
- La suite \( (S_n)_{n \in \mathbb{N}} \) est appelée suite des sommes partielles de la série de terme général \( u_n \).
Nature d’une série
- On dit que la série de terme général \( u_n \) est convergente si la suite \( ( S_n)_{n \in \mathbb{N}} \) est convergente et dans ce cas on appelle somme de la série \( \sum u_n \) le réel défini par : \[ \sum_{k=0}^{+\infty} u_k = \lim\limits_{n\to +\infty} \sum_{k=0}^{n} u_k \]
- On dit que la série de terme général \( u_n \) est divergente si elle n’est pas convergente.
Un critère nécessaire de convergence
Si la série \( \sum u_n \) converge, alors : \( \displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = 0 \).
Propriétés de l’ensemble des séries convergentes
Soit \( u \) et \( v \) deux suites réelles, \( \lambda \) un réel.
- Si la série \( \sum u_n \) converge, alors la série \( \sum \lambda u_n \) converge et : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} \lambda u_n=\lambda \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \]
- Si la série \( \sum u_n \) diverge et si \( \lambda \neq 0 \), alors la série \( \sum \lambda u_n \) diverge.
- Si les séries \( \sum u_n \) et \( \sum v_n \) convergent, alors la série \( \sum u_n+v_n \) converge et : \[ \sum_{n=0}^{+\infty}\left(u_n+v_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} u_n+\sum_{n=0}^{+\infty} v_n \]
- Si la série \( \sum u_n \) converge et si la série \( \sum v_n \) diverge, alors la série \( \sum\left(u_n+v_n\right) \) diverge.
Reste d’une série convergente : définition et propriété
On suppose que la série \( \sum u_n \) converge et on note \( S \) sa somme.
- Définition. Pour tout entier naturel \( n \), on appelle reste d’ordre \( n \) de la série de terme général \( \sum u_n \) le réel \( R_n \) défini par : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \ R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k=S-S_n \]
- Propriété. Si la série \( \sum u_n \) converge, alors la suite des restes converge vers \( 0 \) : \[ \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k=0 \]
Séries de référence
Séries de Riemann
Soit \( \alpha \) un réel.
- La série \( \sum \dfrac{1}{n^\alpha} \) converge si et seulement si \( \alpha>1 \).
Séries géométriques et géométriques dérivées
Soit \( q \) un réel.
- La série \( \sum q^n \) converge si et seulement si \( \left| q \right| < 1 \) et : \[ \forall q \in \left] -1,1\right[, \ \sum_{k=0}^{+\infty} q^k=\frac{1}{1-q} \]
- La série \( \sum n q^{n-1} \) converge si et seulement si : \( \left| q \right| < 1 \) et : \[ \forall q \in \left] -1,1 \right[, \ \sum_{k=1}^{+\infty} k \, q^{k-1}=\frac{1}{(1-q)^2}\]
- La série \( \sum n(n-1) q^{n-2} \) converge si et seulement si : \( \left| q \right| < 1 \) et : \[ \forall q \in \left] -1,1 \right[, \ \sum_{k=2}^{+\infty} k \left( k-1 \right) q^{k-2}=\frac{2}{(1-q)^3} \]
Séries exponentielles
Pour tout réel \( x \), la série \( \sum \dfrac{x^n}{n!} \) converge et : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}=\mathrm{e}^x \]
Comparaison de séries à termes positifs
Soit \( u \) et \( v \) deux suites réelles.
Comparaison par équivalence
On suppose que \( u \) et \( v \) sont positives à partir d’un certain rang telles que : \[ u_n \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} v_n \]
Les séries \( \sum u_n \) et \( \sum v_n \) sont de même nature; autrement dit, la série \( \sum u_n \) converge si et seulement si la série \( \sum v_n \) converge.
Comparaison par majoration
On suppose qu’il existe un entier naturel \( p \) tel que : \[ \forall n \geqslant p, \ 0 \leqslant u_n \leqslant v_n \]
- Si la série \( \sum v_n \) converge, alors la série \( \sum u_n \) converge également.
- Si la série \( \sum u_n \) diverge, alors la série \( \sum v_n \) diverge également.
Comparaison par négligeabilité
On suppose que \( v \) est positive à partir d’un certain rang et que : \[ u_n=\circ\left(v_n\right) \]
- Si la série \( \sum v_n \) converge, alors la série \( \sum u_n \) converge également.
- Si la série \( \sum u_n \) diverge, alors la série \( \sum v_n \) diverge également.
Critère de Riemann
Si \( u \) est une suite positive (au moins à partir d’un certain rang), pour étudier la nature de la série \( \sum u_n \), on peut étudier la limite de la suite \( \left(n^\alpha u_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \).
- S’il existe un réel \( \alpha > 1 \) tel que : \( \displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n^\alpha u_n=0 \) (en général on essaie avec \( \alpha=2 \), alors : \[ u_n=\circ \! \left(\frac{1}{n^\alpha}\right) \] ce qui permettra de prouver que la série \( \sum u_n \) converge.
- S’il existe un réel \( \alpha \leqslant 1 \) tel que : \( \displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n^\alpha u_n=+\infty \) (en général on essaie avec \( \alpha=1 \) ou \( \alpha=\frac{1}{2} \), alors : \[ \frac{1}{n^\alpha}=\circ \!\left(u_n\right) \] ce qui permettra de prouver que la série \( \sum u_n \) diverge.
Absolue convergence
Définition
On dit que la série \( \sum u_n \) est absolument convergente (ou qu’elle converge absolument) si, et seulement si, la série \( \sum\left|u_n\right| \) converge.
Propriétés
Si la série \( \sum u_n \) est absolument convergente, alors elle est convergente et : \[ \left|\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right| \leqslant \sum_{n=0}^{+\infty}\left|u_n\right| \]