• Soit \( ( X, Y \) ) un couple de-variables aléatoires discrètes. Déterminer la loi de probabilité (ou loi conjointe) de \( (X, Y) \), c’est déterminer les probabilités \( \mathbb{P}(X=x, Y=y) \) pour tout \( (x, y) \) appartenant à \( (\Omega) \times Y(\Omega) \).
• Soit \( (X, Y) \) un couple de variables aléatoires discrètes. La loi de \( X \) (respectivement de \( Y \)) est aussi appelée loi marginale de \( X \) (resp. de \( Y ) \).
• Soit \( (X, Y) \) un couple de variables aléatoires discrètes. On a : \[ \forall x \in X(\Omega), \ \mathbb{P}(X=x)=\sum_{y \in Y(\Omega)} \mathbb{P}(X=x, Y=y) \]
• et : \[ \forall y \in Y(\Omega), \ \mathbb{P}(Y=y)=\sum_{x \in X(\Omega)} \mathbb{P}(X=x, Y=y) \]

• Soit \( (X, Y) \) un couple de variables aléatoires discrètes. La famille \( ([X=x] \cap[Y=y])_{(x, y) \in(X, Y)(\Omega)} \) est un système complet d’événements, appelé système complet d’événements associé à \( (X, Y) \).
• Soit \( (X, Y) \) un couple de variables aléatoires discrètes. On a : \[ \sum_{(x, y) \in X(\Omega) \times y \in Y(\Omega)} \mathbb{P}(X=x, Y=y)=1 \]

Soit \( (X, Y) \) un couple de variables aléatoires discrètes.

• Si \( g \) est une application de \( (X, Y)(\Omega) \) dans \( \mathbb{R} \) et \( Z=g(X, Y) \), alors \( Z \) est une variable aléatoire discrète et : \[ Z(\Omega)=\{g(x, y),(x, y) \in(X, Y)(\Omega)\} \]
• et : \[ \forall z \in Z(\Omega), \ \mathbb{P}(Z=z)=\sum_{\substack{(x, y) \in(X, Y)(\Omega) \\ g(x, y)=z}} \mathbb{P}(X=x, Y=y) \]

Soit \( g \) une application de \( (X, Y)(\Omega) \) dans \( \mathbb{R} \). Soit \( \left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \) et \( \left(y_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \) deux suites réelles telles que \( (X, Y) \) prenne ses valeurs dans \( \left\{\left(x_i, y_j\right),(i, j) \in \mathbb{N}^2\right\} \).

\( g(X, Y) \) admet une espérance si et seulement si la somme double \( \sum_{(i, j)}\left|g(x_i, y_j) \, \mathbb{P}(X=x_i, Y=y_j)\right| \) existe et, dans ce cas : \[ \mathbb{E}(g(X, Y))=\sum_{i \in \mathbb{N}, j \in \mathbb{N}} g\left(x_i, y_j\right) \mathbb{P}(X=x_i, Y=y_j)=\sum_{(x, y) \in(X, Y)(\Omega)} g(x, y) \mathbb{P}(X=x, Y=y) \]

Si \( X \) et \( Y \) admettent une espérance, alors :

• Pour tout couple \( (a, b) \) de réels, \( a X+b Y \) admet une espérance et : \[ \mathbb{E}(a X+b Y)=a \, \mathbb{E}(X)+b \, \mathbb{E}(Y) \]
• Si \( \leqslant Y \) presque sûrement alors : \( \mathbb{E}(X) \leqslant \mathbb{E}(Y) \).
• Plus généralement, si \( n \) est un entier naturel supérieur ou égal à 2, si \( X_1, \ldots, X_n \) sont \( n \) variables aléatoires discrètes admettant une espérance, alors, pour tout \( n \)-uplet \( \left(a_1, \ldots, a_n\right) \) de réels, \( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k X_k \) admet une espérance et : \[ \mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^n a_k X_k\right)=\sum_{k=1}^n a_k \mathbb{E}\left(X_k\right) \]

Soit \( (X, Y) \) un couple de variables aléatoires tel que, presque sûrement, \( |X| \leqslant Y \).

Si \( Y \) admet une espérance, alors \( X \) admet une espérance et : \[ |\mathbb{E}(X)| \leqslant \mathbb{E}(Y) \]

Deux variables aléatoires discrètes \( X \) et \( Y \) sont dites indépendantes si : \[ \forall(x, y) \in \mathbb{R}^2, \ \mathbb{P}([X=x] \cap[Y=y])=\mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y=y) \]

• Soit \( (X, Y) \) un couple de variables aléatoires admettant un moment d’ordre 2. \(X +Y \) admet une variance et : \[ \mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)+2 \operatorname{Cov}(X, Y) \]
• Si de plus \( X \) et \( Y \) sont indépendantes alors : \[ \mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y) \]

Si \( X \) et \( Y \) sont indépendantes et admettent un moment d’ordre 2, alors : \[ X \text { et } Y \text { sont indépendantes } \Rightarrow \operatorname{Cov}(X, Y)=0 \]

Si \( X \) et \( Y \) sont indépendantes et admettent une espérance, alors \( Y \) admet une espérance et : \[ \mathbb{E}(X Y)=\mathbb{E}(X) \, \mathbb{E}(Y) \]

Si \( (X, Y) \) est un couple de variables aléatoires discrètes indépendantes, alors \( X+Y \) est une variable aléatoire discrète et sa loi est caractérisée par : \[ \forall z \in \mathbb{R}, \ \mathbb{P}(X+Y=z)=\sum_{\substack{x \in X(\Omega) \\ z-x \in Y(\Omega)}} \mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y=z-x) \]

Soit \( n \) et \( m \) deux entiers naturels non nuls et \( p \) un réel appartenant à \(] 0,1[ \).

• Si \( X \) et \( Y \) sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois binomiales \( \mathcal{B}(n, p) \) et \( \mathcal{B}(m, p) \) alors \( X+Y \) suit la loi binomiale \( \mathcal{B}(n+m, p) \).
• Plus généralement, si \( n_1, \ldots, n_i \) sont des entiers naturels non nuls, \( p \) un réel appartenant à \( ] 0,1 [ \) et \( X _1, \ldots, X_i \) des variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois binomiales \( \mathcal{B}\left(n_1, p\right), \ldots, \mathcal{B}\left(n_i, p\right) \), alors \( X_1+\cdots+X_i \) est une variable aléatoire sur \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \) suivant la loi binomiale de paramètres \( n_1+\cdots+n_i \) et \( p \).

Soit \( \lambda \) et \( \mu \) deux réels strictement positifs.

• Si \( X \) et \( Y \) sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois de Poisson \( \mathcal{P}(\lambda) \) et \( \mathcal{P}(\mu) \) alors \( X+Y \) suit la loi de Poisson \( \mathcal{P}(\lambda+\mu) \).
• Plus généralement, si \( n \) est un entier naturel supérieur ou égal à \( 2 \), \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) des réels strictement positifs et \(X _1, \ldots, X_n \) des variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \) et suivant respectivement les lois de Poisson \( \mathcal{P}\left(\lambda_1\right), \dots, \mathcal{P}\left(\lambda_n\right) \), alors \( X_1+\cdots+X_n \) est une variable aléatoire sur \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \) suivant la loi de Poisson de paramètre \( \lambda_1+\cdots+\lambda_n \).