Soit \( a \) un réel.

• Si \( f \) une fonction continue sur \( [a,+\infty [ \), on dit que l’intégrale \( \displaystyle \int_a^{+ \infty} f(t) \,\mathrm{d}t \) est convergente si la fonction \( \displaystyle x\mapsto \int_a^{x} f(t)\, \,\mathrm{d}t \) admet une limite finie en \( +\infty \) et on note, dans ce cas : \[ \int_a^{+ \infty} f(t) \,\mathrm{d}t = \lim_{x \to +\infty} \int_a^{x} f(t)\, \,\mathrm{d}t \]
• Si \( f \) une fonction continue sur \( ]-\infty, a ] \), on dit que l’intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^a f(t) \,\mathrm{d}t \) est convergente si la fonction \( \displaystyle x\mapsto \int_x^{a} f(t)\, \,\mathrm{d}t \) admet une limite finie en \( -\infty \) et on note, dans ce cas : \[ \int_{- \infty}^a f(t) \,\mathrm{d}t = \lim_{x \to -\infty} \int_{-\infty}^{a} f(t)\, \,\mathrm{d}t \]

Soit \( a \) et \( b \) deux éléments de \( \overline{\mathbb{R}} \).

• Si \( -\infty<a<b \leqslant+\infty \) et si \( f \) une fonction continue sur \( [a, b[ \), on dit que l’intégrale impropre \( \int_a^b f(t) \mathrm{d} t \) converge (ou que l’intégrale existe) si la fonction \( \displaystyle x \mapsto \int_a^x f(t) \mathrm{d} t \) admet une limite finie quand \( x \) tend vers \( b \) par valeurs inférieures; dans ce cas, on note : \[ \int_a^b f(t) \mathrm{d} t=\lim _{x \rightarrow b^{-}} \int_a^x f(t) \mathrm{d} t \]
• Si \( -\infty \leqslant a<b<+\infty \) et si \( f \) une fonction continue sur \( ] a, b ] \), on dit que l’intégrale impropre \( \int_a^b f(t) \mathrm{d} t \) converge (ou que l’intégrale existe) si la fonction \( x \mapsto \int_x^b f(t) \mathrm{d} t \) admet une limite finie quand \( x \) tend vers \( a \) par valeurs supérieures; dans ce cas, on note : \[ \int_a^b f(t) \mathrm{d} t=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \int_x^b f(t) \mathrm{d} t \]

Dans les deux cas, lorsque l’intégrale \( \int_a^b f(t) \mathrm{d} t \) ne converge pas, on dit qu’elle est divergente.

Soit \( a \) et \( b \) deux éléments de \( \overline{\mathbb{R}} \) tels que \( -\infty \leqslant a<b \leqslant+\infty \) et \( f \) une fonction continue sur \( ] a, b[ \).

S’il existe un réel \( c \) appartenant à \( ]a, b[ \) tel que les intégrales \( \displaystyle \int_a^c f(t) \, \mathrm{d} t \) et \( \int_c^b f(t) \mathrm{d} t \) soient convergentes, alors la somme \(\displaystyle \int_a^c f(t) \, \mathrm{d} t+\int_c^b f(t) \, \mathrm{d} t \) est indépendante de \( c \). On dit dans ce cas que l’intégrale impropre \( \displaystyle \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t \) converge et on note : \[ \int_a^b f(t) \mathrm{d} t=\int_a^c f(t) \, \mathrm{d} t+\int_c^b f(t) \, \mathrm{d} t \]

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale \(\displaystyle \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t \) diverge.

Soit \( a \) et \( b \) deux réels tels que \( a<b \) ou \( a>b \) et \( f \) une fonction continue sur \( [a, b[ \).

Si \( f \) est prolongeable par continuité en \( b \), alors l’intégrale \( \displaystyle \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t \) converge.

Soit \( \alpha \in \mathbb{R} \).

L’intégrale impropre \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha t} \, \mathrm{~d} t \) est convergente si et seulement si \( \alpha>0 \) et : \[ \forall \alpha \in \mathbb{R}_{+}^*, \ \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{\alpha} \]

Soit \( \alpha \) un réel quelconque.

• L’intégrale \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^\alpha} \) converge si et seulement si : \( \alpha>1 \).
• L’intégrale \( \displaystyle \int_0^1 \frac{\mathrm{d} t}{t^\alpha} \) converge si et seulement si : \( \alpha<1 \).
• Pour tout couple \( (a, b) \) de réels tels que \( a<b \), les intégrales \( \displaystyle \int_a^b \frac{\mathrm{d} t}{(t-a)^\alpha} \) et \( \displaystyle \int_a^b \frac{\mathrm{d} t}{(b-t)^\alpha} \) convergent si et seulement si : \( \alpha<1 \).

Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur \( ] a, b[ \), sauf peut-être en un nombre fini de points et \( (\lambda, \mu) \) un couple de réels.

Si les intégrales \( \displaystyle \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t \) et \( \displaystyle \int_a^b g(t) \, \mathrm{d} t \) convergent, alors l’intégrale \( \displaystyle \int_a^b \left[ \lambda f(t)+\mu g(t) \right] \mathrm{d} t \) est convergente et :

\[ \int_a^b \left[ \lambda f(t)+\mu g(t) \right] \mathrm{d} t=\lambda \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t+\mu \int_a^b g(t) \, \mathrm{d} t \]

Soit \( f \) une fonction continue sur \( ] a, b[ \) sauf peut-être en un nombre fini de points et \( c \) un élément de \( ] a, b [ \).

Si l’intégrale \( \displaystyle \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t \) converge, alors :

\[ \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t=\int_a^c f(t) \, \mathrm{d} t+\int_c^b f(t) \, \mathrm{d} t \]

Soit \( f \) une fonction continue sur \( ] a, b[ \) telle que l’intégrale \( \displaystyle \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t \) converge.

• Si \( f \) est positive sur \( ]a,b[ \) et si \( a \leqslant b \), alors : \[ \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t \geqslant 0 \]
• Si \( f \) est positive, non constante nulle sur \( ] a, b[ \) et si \( a<b \), alors : \[ \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t>0 \]
• Si \( f \) est de signe constant et si \( a \neq b \), alors : \[ \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t=0 \Rightarrow \forall t \in\left] a, b \right[, \ f(t)=0 \]

Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur \( ] a, b[ \) telles que : \[ \forall t \in \left] a, b \right[, \ f(t) \leqslant g(t) \]

Si les intégrales \( \displaystyle \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t \) et \( \displaystyle \int_a^b g(t) \, \mathrm{d} t \) convergent et si \( a \leqslant b \), alors : \[ \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t \leqslant \int_a^b g(t) \, \mathrm{d} t \]

Soit \( f \) une fonction continue sur \( ] a, b [ \).

Si \( \varphi \) est une fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \) et bijective de \( ] \alpha, \beta[ \) sur \( ] a, b[ \) avec : \[ \lim _{t \rightarrow \alpha} \varphi(t)=a \quad \text { et } \quad \lim _{t \rightarrow \beta} \varphi(t)=b \] alors les intégrales \( \displaystyle \int_a^b f(u) \, \mathrm{d} u \) et \( \displaystyle \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \, \varphi^{\prime}(t) \, \mathrm{d} t \) sont de même nature et, en cas de convergence : \[ \int_a^b f(u) \, \mathrm{d} u=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \, \varphi^{\prime}(t) \, \mathrm{d} t \]

Soit \( a \) un élément de \( \overline{\mathbb{R}} \) tel que \( 0<a \leqslant+\infty \) et \( f \) une fonction continue sur \( ]-a, a[ \), sauf peut-être en un nombre fini de points.

• Si \( f \) est paire, l’intégrale \( \displaystyle \int_{-a}^a f(t) \, \mathrm{d} t \) converge si et seulement si l’intégrale \( \displaystyle \int_0^a f(t) \, \mathrm{d} t \) converge et, dans ce cas : \[ \int_{-a}^a f(t) \, \mathrm{d} t=2 \int_0^a f(t) \, \mathrm{d} t \]
• Si \( f \) est impaire, l’intégrale \(\displaystyle \int_{-a}^a f(t) \, \mathrm{d} t \) converge si et seulement si l’intégrale \( \displaystyle \int_0^a f(t) \, \mathrm{d} t \) converge et, dans ce cas: \[ \int_{-a}^a f(t) \, \mathrm{d} t=0 \]

• Si \( f \) est une fonction continue et positive sur \( [a, b[ \) (\( -\infty < a < b \leqslant +\infty \)), alors l’intégrale \( \displaystyle \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t \) converge si et seulement si la fonction \( \displaystyle x \mapsto \int_a^x f(t) \, \mathrm{d} t \) est majorée sur \( [a, b[ \).
• Si \( f \) est une fonction continue et positive sur \( ]a, b] \) (\( -\infty \leqslant a < b <+\infty \)), alors l’intégrale \( \displaystyle \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t \) converge si et seulement si la fonction \( \displaystyle x \mapsto \int_x^b f(t) \, \mathrm{d} t \) est majorée sur \( ]a, b] \).