Formules de Taylor (Appro)
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \), à valeurs dans \( \mathbb{R} \), et \( (a, b) \) est un couple d’éléments de \( I \).
Formule de Taylor avec reste intégral
Si \( f \) est de classe \( \mathcal{C}^{n+1} \) sur \( I \) alors : \[ f(b)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d} t \]
Formule de Taylor pour les polynômes
Si \( P \) est une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à \( n \), alors : \[ \forall x \in \mathbb{R}, P(x)=\sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \]
Inégalité de Taylor-Lagrange
Si \( f \) est de classe \( \mathcal{C}^{n+1} \) sur \( I \) alors : \[ \left|f(b)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k\right| \leqslant \frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!} \sup _{[a, b]}\left|f^{(n+1)}\right| \]
Formule de Taylor-Young
Si \( f \) est de classe \( \mathcal{C}^n \) sur \( I \) alors : \[ f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\circ\left((x-a)^n\right) \]