Polynômes (Appro)
Généralités
Coefficients d’un polynôme : définition, coefficients de la somme et du produit de deux polynômes
Définition
On appelle fonction polynôme, ou polynôme, à coefficients dans \( \mathbb{R} \) toute fonction \( P :\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) pour laquelle il existe un entier naturel \( n \) et une famille \( (a_k)_{0\leqslant k\leqslant n} \) de réels tels que :
\[ \forall x\in\mathbb{R},\ P(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k \]
Les réels \( a_0,\dots,a_n \) sont appelés coefficients de \( P\).
Somme de polynômes
Soit \( P\) et \( Q\) deux polynômes à coefficients réels, tel que :
\[ P(x) =\sum_{k=0}^n a_kx^k \quad \text{et} \quad Q(x) =\sum_{k=0}^n b_kx^k \]
On appelle somme des polynômes \( P\) et \( Q \) le polynôme \( P+Q \) défini par :
\[ \forall x\in\mathbb{R},\ (P+Q)(x) = P(x) + Q(x) =\sum_{k=0}^n \left(a_k+b_k\right) x^k \]
Produit de polynômes
Soit \( P\) et \( Q\) deux polynômes à coefficients réels, tel que :
\[ P(x) =\sum_{k=0}^n a_kx^k \quad \text{et} \quad Q(x) =\sum_{k=0}^n b_kx^k \]
On appelle produit des polynômes \( P \) et \( Q \) le polynôme \( P \times Q \), plus simplement noté \( PQ \), défini par :
\[ \forall x\in\mathbb{R},\ (PQ)(x)= P(x)\,Q(x) = \sum_{k=0}^{2n} c_k x^k \]
où l’on a posé :
\[ \forall k\geqslant n+1,\ a_k=b_k=0 \quad \text{et} \quad \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,2n} \right]\kern-0.15em\right],\ c_k=\sum_{i=0}^k a_ib_{k-i} \]
Degré d’un polynôme : définition et propriétés
Définition
Soit \( P : x \mapsto \displaystyle \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k \) un polynôme dont l’un au moins des coefficients \( a_0,a_1,\dots,a_n \) n’est pas nul.
On appelle degré de \( P \) le plus grand entier naturel \( k \) tel que \( a_k\neq 0 \) ; le degré de \( P \) est noté \( \deg(P) \).
Par convention, on convient de noter : \( \deg(0)=-\infty\).
Propriétés
Soient \( P \) et \( Q \) deux polynômes non nuls. On a :
- \( \deg(PQ) = \deg(P)+\deg(Q) \),
- \( \deg(P+Q) \leqslant \max(\deg(P),\deg(Q)) \),
- \( \forall \lambda \in\mathbb{R}^\ast,\ \deg(\lambda P)=\deg(P) \).
Formule du binôme de Newton
Pour tout couple \( (P,Q) \) de polynômes et pour tout entier naturel \( n \) : \[(P+Q)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk P^k Q^{n-k}\]
Donner la dérivée \( k^{\grave{e}me} \) du polynôme \( X^n \)
\[ (X^n)^{(k)} = \begin{cases} \dfrac{n!}{(n-k)!}\, X^{n-k} & \text{si } 0 \leqslant k \leqslant n \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } k >n \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases} \]
Énoncer la formule de Taylor pour les polynômes
Soit \( P \) un polynôme appartenant à \( \mathbb{R}_n[x] \) et \( a \) un réel. \[ \forall x \in \mathbb{R},\ P(x) = \sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(a)}{k!} \left( x-a \right)^k \]
Énoncer le théorème de division euclidienne
Soit \( A \) et \( B \) deux polynômes. On suppose que \( B \) n’est pas le polynôme nul. Il existe un unique couple \( (Q,R) \) de polynômes tel que :
\[ A=BQ+R \quad \text{avec} \quad \deg(R)< \deg(B) \]
On dit alors que \( Q \) est le quotient et que \( R \) est le reste de la division euclidienne (ou de la division suivant les puissances décroissantes) de \( A \) par \( B \).
Racines d’un polynôme
Racine d’un polynôme : définition et propriété
Définition
Soit \( P \) un polynôme et \( \lambda \) un réel. On dit que \( \lambda \) est racine de \( P \) si \( P(\lambda)=0 \).
Propriétés
Soit \( P \) un polynôme.
- Le réel \( \lambda \) est racine de \( P \) si et seulement si le polynôme \( X- \lambda \) divise \( P\).
- Si \( P \) est un polynôme de degré \( n \), \( P \) possède au plus \( n \) racines distinctes.
Ordre de multiplicité d’une racine d’un polynôme : définition et propriétés
Définition
Soit \( P \) un polynôme, \( \lambda \) un réel et \( k \) un entier naturel non nul. On dit que \( \lambda \) est racine d’ordre \( k \) de \( P \) si \( P(\lambda)=P'(\lambda)= \cdots = P^{(k-1)}(\lambda)= 0 \) et \( P^{(k)}(\lambda) \neq 0 \).
Propriétés
Soit \( P \) un polynôme, \( \lambda \) un réel et \( k \) un entier naturel non nul.
- \( \lambda \) est racine d’ordre \( k \) de \( P \) si et seulement si le polynôme \( (X- \lambda )^k \) divise le polynôme \( P \) et le polynôme \( (X-\lambda)^{k+1} \) ne divise pas \( P \).
- \( \lambda \) est racine d’ordre \( k \) de \( P \) si et seulement s’il existe un polynôme \( Q \) tel que : \[\forall x\in \mathbb{R},\ P(x) = \left( x- \lambda \right)^k Q(x) \quad \text{et} \quad Q( \lambda) \neq 0 \]
Donner un exemple de polynôme non constant n’ayant pas de racine réelle
Le polynôme \( X^2+1 \) n’est pas constant et n’a pas de racine réelle.
Un polynôme de degré impair peut-il ne pas avoir de racine réelle ?
Non. C’est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires, une fonction polynôme de degré impair étant continue et ayant des limites infinies de signes opposés en \( -\infty \) et \( +\infty \).
Que peut-on peut-on dire d’un polynôme de \( \mathbb{R}_n[x] \) admettant plus de \( n \) racines ?
Si \( P \) est un polynôme de \( \mathbb{R}_n[x] \) admettant plus de \( n \) racines, alors \( P \) est le polynôme nul.
Donner deux méthodes pour montrer que deux polynômes sont égaux
Pour montrer que deux polynômes \( P \) et \( Q \) sont égaux, on peut :
- montrer que \( P \) et \( Q \) ont les mêmes coefficients,
- montrer que le polynôme \( P-Q \) est le polynôme nul en montrant qu’il a strictement plus de racines que le degré de \( P \) et de \( Q \).
Que peut-on dire des ordres de multiplicité des racines d’un polynôme de \( \mathbb{R}_n[x] \) ?
La somme des ordres de multiplicité des racines d’un polynôme \( P \) de \( \mathbb{R}_n[x] \) est toujours inférieure ou égal au degré de \( P \), donc à \( n \).
Racines des polynômes de degré \( 2 \)
Soit \( P(X) = aX^2 + bX + c \) un polynôme de degré \( 2 \) (donc \( a \neq 0 \)). On note \( \Delta = b^2 – 4ac \) le discriminant du polynôme \( P \).
- Si \( \Delta > 0\), le polynôme \( P \) admet deux racines réelles, qui sont : \[ x_1 = \dfrac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 =\dfrac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a} \]
- Si \( \Delta = 0 \), le polynôme \( P \) admet une unique racine réelle, d’ordre de multiplicité \( 2 \), qui est : \[ – \dfrac{b}{2a} \]
- Si \( \Delta < 0 \), le polynôme \( P \) n’admet aucune racine réelle.
Donner des relations entre les racines d’un polynôme de degré \( 2 \) et ses coefficients
Soit \( P(X) = aX^2 + bX + c \) un polynôme de degré \( 2 \). Si \( P \) admet deux racines réelles \( \lambda \) et \( \mu \) (éventuellement égales) alors : \[ \lambda + \mu = – \frac{b}{a} \quad \text{et} \quad \lambda \mu = \frac{c}{a} \]