Endomorphismes symétriques, matrices symétriques
Dans tout ce chapitre, \( E \) désigne un espace euclidien de dimension \( n \geqslant 1 \), \( f \) est un endomorphisme de \( E \) et \( M \) est une matrice de \( \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R} \).
Endomorphismes symétriques
Définition
On dit que \(f\) est un endomorphisme symétrique de \(E\) s’il vérifie : \[ \forall(x, y) \in E^2, \ \langle f(x), y\rangle=\langle x, f(y)\rangle \]
Propriété des sous-espaces stables
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Si \(f\) est un endomorphisme symétrique de \(E\) et si \(F\) est stable par \(f\), alors \(F^{\perp}\) est stable par \(f\).
Premières propriétés des sous-espaces propres
Si \( f \) est un endomorphisme symétrique de \( E \) alors :
- ses sous-espaces propres orthogonaux deux à deux,
- si \( u_1,\dots,u_p \) sont des vecteurs propres de \( f \) associés à des valeurs propres deux à deux distinctes, la famille \( (u_i)_{1 \leqslant i \leqslant p} \) est une famille orthogonale.
Lien entre endomorphisme symétrique et matrice symétrique
\(f\) est un endomorphisme symétrique de \(E\) si et seulement si sa matrice représentative dans une base orthonormale de \(E\) est symétrique réelle.
Théorème spectral
Si \( f \) est un endomorphisme symétrique de \( E \), alors :
- \( f \) est diagonalisable,
- il existe une base orthonormale de \( E \) formée de vecteurs propres de \( f \).
Matrices symétriques
Théorème spectral
Si \( M \) est une matrice symétrique de \( \mathcal{M}_n(\mathbb{R} \), alors :
- \( M \) est diagonalisable,
- les sous-espaces propres de \( M \) sont orthogonaux deux à deux,
- il existe une base orthonormale de \( \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R} \) formée de vecteurs propres de \( M \),
- il existe une matrice diagonale \( D \) et une matrice orthogonale \( P \) telles que \( A=PD\,{}^t\! P \).
Forme quadratique associée à une matrice symétrique
Définition
Si \(A\) est une matrice symétrique réelle de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), l’application \(q: X \mapsto\langle A X, X\rangle={ }^t \! X A X\) (définie sur \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\)) est appelée forme quadratique associée à \(\boldsymbol{A}\).
Signe d’une forme quadratique
Soit \(A\) une matrice symétrique réelle de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On note \(q\) la forme quadratique associée à \(A\).
- \(q\) est positive sur \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) si et seulement si les valeurs propres de \(A\) sont toutes positives ou nulles,
- \(q\) est définie positive sur \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) si et seulement si les valeurs propres de \(A\) sont toutes strictement positives,
- \(q\) est négative sur \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) si et seulement si les valeurs propres de \(A\) sont toutes négatives ou nulles,
- \(q\) est définie négative sur \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) si et seulement si les valeurs propres de \(A\) sont toutes strictement négatives.
Projections orthogonales
Définition
Soit \(F\) un sous espace vectoriel de \(E\). On appelle projection orthogonale de \(E\) sur \(F\) la projection, notée \(p_F\), de \(E\) sur \(F\) dans la direction \(F^{\perp}\). Ainsi, pour tout \(x \in E\), on a : \[ y=p_F(x) \Leftrightarrow \begin{cases} y \in F \\ x-y \in F^{\perp} \end{cases} \]
Propriétés
- Si \(p\) est un endomorphisme de \(E\), alors : \[ p \text { est une projection orthogonale } \Leftrightarrow \begin{cases} p^2=p \\ \operatorname{Im}(p) \perp \operatorname{Ker}(p) \end{cases} \]
- Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) et \(\left(u_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant k}\) une base orthonormale de \(F\). Si \(p_F\) est la projection orthogonale de \(E\) sur \(F\), alors : \[ \forall x \in E, \ p_F(x)=\sum_{i=1}^k\left\langle x, u_i\right\rangle u_i \]
- Si \(p\) est un projecteur de \(E\), alors \(p\) est un projecteur orthogonal si et seulement si \(p\) est un endomorphisme symétrique de \(E\).
Théorème de minimisation
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) et \(x\) un élément de \(E\). L’application \(z \mapsto\|z-x\|\) admet un minimum sur \(F\), atteint uniquement en \(p_F(x)\); autrement dit : \[ \forall z \in F, \ \left\|p_F(x)-x\right\| \leqslant\|z-x\| \] et : \[ forall z \in F,\ \left(\|z-x\|=\left\|p_F(x)-x\right\| \Rightarrow z=p_F(x)\right) \]On dit aussi que \(p_F(x)\) est la meilleure approximation de \(z\) dans \(F\).
Problème des moindres carrés (hors programme)
On munit \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) est muni de son produit scalaire canonique et la norme euclidienne associée est notée \( \left\| \cdot \right\| \). Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R})\), de rang \( p \).
L’application \(X \mapsto\|A X-B\|\) admet un minimum sur \(\mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\), atteint en un unique vecteur \(X_0\), solution de l’équation \({ }^t A A X_0={ }^t A B\) ; autrement dit : \[ \left\|A X_0-B\right\|=\min _{X \in \mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})}\|A X-B\| \Leftrightarrow X_0=\left({ }^t \! A A\right)^{-1 } \, {}^t \! A B \]