Soit \( A = (a_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \) et \( B= (b_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \) deux matrices de \( \mathcal{M}_{n,p}( \mathbb{R} ) \) (donc de même format).

On définit la matrice \( A+B \) par : \[ A+B = (a_{i,j} + b_{i,j} )_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \]

Soit \( A = (a_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \) une matrice appartenant à \( \mathcal{M}_{n,p}( \mathbb{R} ) \) et \( \lambda \) un réel.

On définit la matrice \( \lambda A \) par : \[ \lambda A = ( \lambda a_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \]

Soit \( A = (a_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \) une matrice appartenant à \( \mathcal{M}_{n,p}( \mathbb{R} ) \) et \( B= (b_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant p \\ 1 \leqslant j \leqslant q }} \) une matrice appartenant à \( \mathcal{M}_{n,q}( \mathbb{R} ) \) (donc le nombre de colonnes de \( A \) est égal au nombre de lignes de \( B \)).

On définit la matrice \( AB \) par : \[ AB = ( c_{i,j} )_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant q }} \quad \text{avec} \quad c_{i,j} = \sum_{k=1}^p a_{i,k} b _{k,j} \]

Pour toutes matrices \( A,B,C \) de formats compatibles avec les opérations utilisées et pour tout réels \( \lambda \) et \( \mu \), on a :

• \( (A+B) + C = A + (B+C) \) (l’addition est commutative),
• \( A+B = B + A \) (l’addition est commutative),
• \( \lambda \left( A+ B \right) = \lambda A + \lambda B \),
• \( \left( \lambda + \mu \right) A = \lambda A + \mu A \),
• \( \left( \lambda \mu \right) A = \lambda \left( \mu A \right) \),
• \( \left( AB \right) C =A \left( BC \right) \) (la multiplication est associative),
• \( \left( A+B \right) C = AC + BC \) et \( A \left( B+C \right) =AB+AC \)

Soit \( A = (a_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \) une matrice appartenant à \( \mathcal{M}_{n,p}( \mathbb{R} ) \). On appelle transposée de \( A \) la matrice notée \( {}^t \! A \) de \( \mathcal{M}_{p,n}( \mathbb{R} ) \) définie par : \[ {}^t \! A = (a_{i,j}’)_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant p \\ 1 \leqslant j \leqslant n }} \quad \text{avec} \quad a_{i,j}’= a_{j,i} \]

Soit \( A,B \) deux matrices et \( \lambda, \mu \) deux réels. Si les formats des matrices sont compatibles avec les opérations utilisées :

• \( {}^t \! \left( \lambda A+ \mu B \right) = \lambda \, {}^t \! A + \mu \, {}^t \! B \)
• \( {}^t \! \left( AB \right) = {}^t \! B \, \, {}^t \! A \)

Soit \( A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \).

• On dit que \( A \) est triangulaire supérieure si : \[ \forall (i,j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ i > j \Rightarrow a_{i,j} = 0 \]
• On dit que \( A \) est triangulaire supérieure si : \[ \forall (i,j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ i < j \Rightarrow a_{i,j} = 0 \]

Soit \( A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \). On dit que \( A \) est diagonale si : \[ \forall (i,j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ i \neq j \Rightarrow a_{i,j} = 0 \]

Une matrice diagonale est donc à la fois triangulaire inférieure et triangulaire supérieure.

Soit \( A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \).

On dit que \( A \) est diagonale si : \[ \forall (i,j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ a_{j,i} = a_{i,j} \]

c’est-à-dire si \( {}^t \! A = A \).

Soit \( A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \).

On dit que \( A \) est antisymétrique si : \[ \forall (i,j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ a_{j,i} = – a_{i,j} \]

c’est-à-dire si \( {}^t \! A = -A \).

On dit que deux matrices \( A \) et \( B \) commutent si elles sont carrées et si \( AB=BA \).

Soit \( A \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) et \( P \) un polynôme à coefficients réels tel que : \[ P(X) = \sum_{k=0}^d a_k X^k = a_d X^d + a_{d-1} X^{d-1} + \cdots + a_1 X + a_0 \]

On note \( P(A) \) la matrice définie par : \[ P(A) = \sum_{k=0}^d a_k A^k = a_d A^d + a_{d-1} A^{d-1} + \cdots + a_1 A + a_0 \mathrm{I}_n \]

Soit \( A \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \), \( X \) un vecteur de \( \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \), \( P,Q \) deux polynômes et \( \lambda \) un réel.

• \( ( \lambda P)(A) = \lambda P(M) \),
• \( (P+Q)(A) = P(A) + Q(A) \),
• \( (PQ)(A) = P(A) \times Q(A) = Q(A) \times P(A) \),
• Si \( AX=\lambda X \) alors \( P(A)\, X = P(\lambda)\, X \)

Soit \( A \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \).

• On dit que \( A \) est inversible s’il existe une matrice \( B \) de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) telle que \( AB=BA= \mathrm{I}_n \).

Lorsqu’elle existe, une telle matrice \( B \) est appelée inverse de \( A \) et notée \( A^{-1} \).

Si \( A \) est une matrice carrée d’ordre \( n \), \( A \) est inversible si et seulement s’il existe une matrice \( B \) de de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) telle que \( AB = \mathrm{I}_n \) ou \( BA = \mathrm{I}_n \).

Soit \( A \) et \( B \) deux matrices de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \).

• Si \( A \) est inversible, alors \( A^{-1} \) est inversible et \( (A^{-1})^{-1} = A \)
• Si \( A \) est inversible, alors \( {}^t \! A \) est inversible et \( ( {}^t \! A)^{-1} = {}^t (A^{-1}) \)
• Si \( A \) et \( B \) sont inversibles, alors \( AB \) est inversible et \( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \)
• Si \( AB \) est inversible, alors \( A \) et \( B \) sont inversibles
• Si \( A \) est inversible, alors \( AB=AC \Rightarrow B=C \)