Fonctions de plusieurs variables (appro)
Dans tout ce cours, \( n \) désigne un entier naturel non nul et \( f \) une fonction de \( \mathbb{R}^n \) dans \( \mathbb{R} \). On note \( \mathcal{O} \) l’ensemble de définition de \( f \).
\( \mathbb{R}^n \) est muni du produit scalaire canonique noté \( \left \langle \cdot, \cdot \right \rangle \) et de la norme euclidienne canonique notée \( \left\| \cdot \right\| \).
Notions de topologie
Boule ouverte, boule fermée
Soit \( a \in \mathbb{R}^n \) et \( r \in \mathbb{R}_+ \).
- On appelle boule ouverte de centre \( a \) et de rayon \( r \) l’ensemble \( \mathcal{B}_O(a,r) \) défini par : \[ \mathcal{B}_O(a,r) = \{ x \in \mathbb{R}^n,\ \left\| x-a \right\| < r \} \]
- On appelle boule fermée de centre \( a \) et de rayon \( r \) l’ensemble \( \mathcal{B}_F(a,r) \) défini par : \[ \mathcal{B}_F(a,r) = \{ x \in \mathbb{R}^n,\ \left\| x-a \right\| \leqslant r \} \]
Partie ouverte, partie fermée de \( \mathbb{R}^n \)
Définitions
- On dit qu’une partie \( \mathcal{O} \) de \( \mathbb{R}^n \) est ouverte si tout élément de \( \mathcal{O} \) est le centre d’une boule ouverte non vide incluse dans \( \mathcal{O} \), c’est-à-dire si : \[ \forall a \in \mathcal{O},\ \exists r \in \mathbb{R}_+^\ast,\ \mathcal{B}_O(a,r) \subset \mathcal{O} \]
- On dit qu’une partie \( \mathcal{F} \) de \( \mathbb{R}^n \) est fermée si son complémentaire \( \mathbb{R}^n \setminus \mathcal{F} \) est une partie ouverte.
Exemples fondamentaux
- \( \emptyset \), \( \mathbb{R}^n \), \( ( \mathbb{R}_+^*)^n \), \( ]a,b[^n \) (où \( a \) et \( b \) sont des réels tels que \( a<b \)) sont des parties ouvertes de \( \mathbb{R}^n \).\( \emptyset \),
- \( \mathbb{R}^n \), \( ( \mathbb{R}_+)^n \), \( [ a,b]^n \) (où \( a \) et \( b \) sont des réels tels que \( a \leqslant b \)) sont des parties ouvertes de \( \mathbb{R}^n \).
- Si \( \varphi \) est une fonction continue sur \( \mathbb{R}^n \) et si \( a \) est un réel, les ensembles \( \{ x\in \mathbb{R}^n \ \mid \ \varphi(x) < a \} \) et \( \{ x\in \mathbb{R}^n \ \mid \ \varphi(x) > a \} \) sont des parties ouvertes.
- Si \( \varphi \) est une fonction continue sur \( \mathbb{R}^n \) et si \( a \) est un réel, les ensembles \( \{ x\in \mathbb{R}^n \ \mid \ \varphi(x) \leqslant a \} \) et \( \{ x\in \mathbb{R}^n \ \mid \ \varphi(x) \geqslant a \} \) sont des parties fermées.
Quelques propriétés hors programme
- Si \( \mathcal{O}_1,\dots,\mathcal{O}_p \) sont des parties ouvertes de \( \mathbb{R}^n \), alors \( \bigcap\limits_{k=1}^n \mathcal{O}_k \), \( \bigcup\limits_{k=1}^n \mathcal{O}_k \) et \( \mathcal{O}_1 \times \cdots \times \mathcal{O}_p \) sont des parties ouvertes.
- Si \( \mathcal{F}_1,\dots,\mathcal{F}_p \) sont des parties ouvertes de \( \mathbb{R}^n \), alors \( \bigcap\limits_{k=1}^n \mathcal{F}_k \), \( \bigcup\limits_{k=1}^n \mathcal{F}_k \) et \( \mathcal{F}_1 \times \cdots \times \mathcal{F}_p \) sont des parties ouvertes.
Parties bornées de \( \mathbb{R}^n \)
On dit qu’une partie \(E\) de \(\mathbb{R}^n\) est bornée s’il existe un réel \(M\) positif ou nul tel que : \[ \forall x \in E,\|x\| \leqslant M \]
Parties convexes de \( \mathbb{R}^n \)
On dit qu’une partie \( P \) de \( \mathbb{R}^n \) est convexe si, pour tout couple \( (a,b) \) d’éléments de \( P \), le segment \( [a,b] \) est inclus dans \( P \), c’est-à-dire si : \[ \forall (a,b) \in P^2,\ \forall \lambda \in [0,1],\ \lambda a + \left( 1- \lambda \right) b \in P \]
Généralités
Fonctions affines, fonctions polynômes définies sur \( \mathbb{R}^n \)
Fonctions affines
On appelle fonction affine définie sur \(\mathbb{R}^n\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\) toute fonction \(f\) de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) de la forme \[ f:\left(x_1, \ldots, x_n\right) \mapsto a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots+a_n x_n+c \] où \(a_1, \ldots, a_n\) et \(c\) sont des constantes réelles.
Fonctions polynômes
On appelle fonction polynôme définie sur \(\mathbb{R}^n\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\) toute fonction \(f\) de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) combinaison linéaire finie de fonctions de la forme \[ \left(x_1, \ldots, x_n\right) \mapsto x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n} \] où \(k_1, \ldots, k_n\) sont des entiers naturels quelconques.
Graphe d’une fonction
Définition
Soit \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}^n\). On appelle graphe de \(f\) l’ensemble \[ G(f)=\left\{\left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n+1} \in \mathbb{R}^{n+1} / x_{n+1}=f(x_1, \ldots, x_n)\right\} \]
Cas des fonctions affines
- Si \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) est une fonction affine définie sur \(\mathbb{R}^n\) telle que \(f(0)=0\), alors son graphe est un hyperplan vectoriel de \(\mathbb{R}^{n+1}\).
- On dit qu’un sous-ensemble \(A\) de \(\mathbb{R}^{n+1}\) est un hyperplan affine de \(\mathbb{R}^{n+1}\) si \(A\) est le graphe d’une fonction affine définie sur \(\mathbb{R}^n\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Lignes de niveau
Pour tout réel \(k\), l’ensemble \[ \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} / f(x)=k\right\} \] est appelé ligne de niveau \(k\) de \(f\).
Extremums
Extremum global
Soit \( P \) une partie de \( \mathbb{R}^n \) sur laquelle \( f \) est définie et \(x_0\) un élément de \(P\).
- On dit que \( f(x_0) \) est un minimum global (ou absolu) de \(f\) sur \( P \) si : \[ \forall x \in P, \ f(x) \geqslant f(x_0) \]
- On dit que \( f(x_0) \) est un maximum global (ou absolu) de \(f\) si : \[ \forall x \in P, \ f(x) \leqslant f(x_0) \]
- On dit que \( f(x_0) \) est un extremum global de \(f\) si c’est un minimum global ou un maximum global.
Extremum local
Soit \( P \) une partie de \( \mathbb{R}^n \) sur laquelle \( f \) est définie et \(x_0\) un élément de \(P\).
- On dit que \( f(x_0) \) est un minimum local (ou relatif) de \(f\) s’il existe un réel \(\alpha\) strictement positif tel que : \[ \forall x \in P \ \mid \ \left\|x-x_0\right\|<\alpha, \ f(x) \geqslant f(x_0) \]
- On dit que \( f(x_0) \) est un maximum local (ou relatif) de \(f\) s’il existe un réel \(\alpha\) strictement positif tel que : \[ \forall x \in P \ \mid \ \left\|x-x_0\right\|<\alpha, \ f(x) \leqslant f(x_0) \]
- On dit que \( f(x_0) \) est un extremum local (ou relatif) de \(f\) si c’est un minimum local ou un maximum local.
Continuité
Définition
- Soit \(a \in \mathcal{O} \). On dit que \(f\) est continue en \(a\) si : \[ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^*, \ \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}^* \ \mid \ \forall x \in \mathcal{O}, \ \|x-a\|<\alpha \Rightarrow|f(x)-f(a)|<\varepsilon \]
- On dit que \(f\) est continue sur \( \mathcal{O} \) si \(f\) est continue en tout point de \( \mathcal{O} \).
Fonctions de référence
- Les fonctions polynômes définies sur \(\mathbb{R}^n\) sont continues sur \(\mathbb{R}^n\).
- Les fonctions rationnelles (quotient de fonctions polynômes) sont continues sur leur ensemble de définition.
Opérations sur les fonctions continues
Somme, produit, quotient
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \( \mathcal{O} \), à valeurs dans \( \mathbb{R} \).
- Si \( f \) et \( g \) sont continues sur \( \mathcal{O} \), alors \( f+g \) et \( f \times g \) sont continues sur \( \mathcal{O} \).
- Si \( f \) et \( g \) sont continues sur \( \mathcal{O} \) et si \( g \) ne s’annule pas, alors \( \dfrac{f}{g} \) est continue sur \( \mathcal{O} \).
Composition
Si \(f\) est une fonction continue sur \( \mathcal{O} \), prenant ses valeurs dans un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et si \(g\) est une fonction continue sur \( I \) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\), alors \(g \circ f\) est continue sur \( \mathcal{O} \).
Théorème des bornes atteintes
Si \( f \) est une fonction continue sur une partie fermée, bornée et non vide \( K \) de \( \mathbb{R}^n \), alors \( f \) est bornée et atteint ses bornes, autrement dit admet un minimum global et un maximum global sur \( K \).
Calcul différentiel : ordre 1
Fonctions partielles
Soit \(x=(x_1, \ldots, x_n)\) un élément de \(\mathcal{O}\).
Pour tout \(i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1 , n} \right]\kern-0.15em\right] \), la fonction \[f_{x, i}: t \mapsto f(x_1, \ldots, x_{i-1}, t, x_{i+1}, \dots, x_n) \] est appelée \(i^{\text{ème}}\) fonction partielle de \(f\) en \(x\); c’est une fonction d’une variable définie sur \[ \left\{t \in \mathbb{R} \ \mid \ \left(x_1, \ldots, x_{i-1}, t, x_{i+1}, \ldots, x_n\right) \in \mathcal{O}\right\} \]
Dérivées partielles d’ordre 1, gradient
Dérivées partielles d’ordre 1
Soit \(i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1 , n} \right]\kern-0.15em\right]\).
- Pour tout \( x \in \mathcal{O} \), on dit que \(f\) admet une \(i^{\text {ème }}\) dérivée partielle d’ordre 1 en \(x\) si la \(i^{\text {ème }}\) fonction partielle \(f_{x, i}\) est dérivable en \(x_i\) et, dans ce cas, on note : \[ \partial_i f(x)=f_{x, i}^{\prime}(x_i) \]
- On dit que \(f\) admet une \(i^{\text {ème }}\) dérivée partielle d’ordre 1, notée \( \partial_i f \) sur \(\mathcal{O}\) si \(f\) admet une \(i^{\text {ème }}\) dérivée partielle d’ordre 1 en tout point de \(\mathcal{O}\).
Gradient
Soit \(x\) un élément de \(\mathcal{O}\). Si \(\partial_i f(x)\) existe pour tout \(i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1 , n} \right]\kern-0.15em\right]\), alors le vecteur de \(\mathbb{R}^n\) \[ \nabla f(x)=\left(\partial_1 f(x), \ldots, \partial_n f(x)\right) \] est appelé gradient de \(f\) en \(x\).
Fonctions de classe \( \mathcal{C}^1 \)
Définition
On dit que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathcal{O}\) si les fonctions \(\partial_1 f, \ldots, \partial_n f\) sont définies et continues sur \(\mathcal{O}\).
Fonctions de référence
- Les fonctions polynômes définies sur \(\mathbb{R}^n\) sont de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \(\mathbb{R}^n\).
- Les fonctions rationnelles (quotient de fonctions polynômes) sont de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur leur ensemble de définition.
Opérations
Somme, produit, quotient
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \( \mathcal{O} \), à valeurs dans \( \mathbb{R} \).
- Si \( f \) et \( g \) sont de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathcal{O} \), alors \( f+g \) et \( f \times g \) sont de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathcal{O} \).
- Si \( f \) et \( g \) sont de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathcal{O} \) et si \( g \) ne s’annule pas, alors \( \dfrac{f}{g} \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathcal{O} \).
Composition
Si \(f\) est une fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathcal{O} \), prenant ses valeurs dans un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et si \(g\) est une fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( I \) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\), alors \(g \circ f\) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathcal{O} \).
Dérivées directionnelles d’ordre 1
On suppose que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathcal{O}\) et que \( \mathcal{O} \) est ouvert.
- Pour tout \(x \in \mathcal{O}\) et tout \(h \in \mathbb{R}^n\), la fonction \(g: t \mapsto f(x+t h)\) est dérivable sur \(I=\{t \in \mathbb{R} \ \mid \ x+t h \in \mathcal{O}\}\) et : \[ \forall t \in I, \ g^{\prime}(t)=\langle\nabla f(x+t h), h\rangle \]
- En particulier, si le nombre dérivé en 0 de la fonction \(g: t \mapsto f(x+t h)\) est appelé dérivée directionnelle de \(f\) en \(x\) dans la direction \(h\) et noté \(\partial_h f(x)\) : \[ \partial_h f(x)=\langle\nabla f(x), h\rangle \]
Développement limité à l’ordre 1
Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur l’ouvert \(\mathcal{O}\) de \(\mathbb{R}^n\) et \(x \in \mathcal{O}\), il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(\mathbb{R}^n\), continue et nulle en 0 telle que : \[ \forall h \in \mathbb{R}^n \ \mid \ x+h \in \mathcal{O}, f(x+h)=f(x)+\langle\nabla f(x), h\rangle+\|h\| \varepsilon(h) \] Cette égalité est appelée développement limité de \(f\) à l’ordre 1 en \(x\).
Calcul différentiel : ordre 2
Dérivées partielles d’ordre 2
Soit \(x \) un élément de \(\mathcal{O}\) et \((i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1 , n} \right]\kern-0.15em\right]^2\). Si \(f\) admet une \(j^{\text {ème }}\) dérivée partielle sur \(\mathcal{O}\) et si \(\partial_j f\) admet une \(i^{\text {ème }}\) dérivée partielle en \(x\), alors on note : \[ \partial_{i, j}^2 f(x)=\partial_i(\partial_j f)(x) \] Les fonctions \(\partial_{i, j}^2 f\), lorsqu’elles existent, sont appelée dérivées partielles d’ordre 2 de \(f\).
Matrice hessienne
Soit \(f\) une fonction définie sur un ouvert \(\mathcal{O}\) de \(\mathbb{R}^n\) et \(x\) un élément de \(\mathcal{O}\). Si, pour tout \((i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1 , n} \right]\kern-0.15em\right]^2\), \(\partial_{i, j}^2 f(x)\) existe, alors la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) \[ \nabla^2 f(x)=\left(\partial_{i, j}^2 f(x)\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \] est appelé matrice hessienne de \(f\) en \(x\).
Fonctions de classe \( \mathcal{C}^2 \)
Définition
On dit que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathcal{O}\) si les fonctions \(\partial_{i,j}^2 \) (\( (i,j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1 , n} \right]\kern-0.15em\right]^2 \)) sont définies et continues sur \(\mathcal{O}\).
Fonctions de référence
- Les fonctions polynômes définies sur \(\mathbb{R}^n\) sont de classe \( \mathcal{C}^2 \) sur \(\mathbb{R}^n\).
- Les fonctions rationnelles (quotient de fonctions polynômes) sont de classe \( \mathcal{C}^2 \) sur leur ensemble de définition.
Opérations
Somme, produit, quotient
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \( \mathcal{O} \), à valeurs dans \( \mathbb{R} \).
- Si \( f \) et \( g \) sont de classe \( \mathcal{C}^2 \) sur \( \mathcal{O} \), alors \( f+g \) et \( f \times g \) sont de classe \( \mathcal{C}^2 \) sur \( \mathcal{O} \).
- Si \( f \) et \( g \) sont de classe \( \mathcal{C}^2 \) sur \( \mathcal{O} \) et si \( g \) ne s’annule pas, alors \( \dfrac{f}{g} \) est de classe \( \mathcal{C}^2 \) sur \( \mathcal{O} \).
Composition
Si \(f\) est une fonction de classe \( \mathcal{C}^2 \) sur \( \mathcal{O} \), prenant ses valeurs dans un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et si \(g\) est une fonction de classe \( \mathcal{C}^2 \) sur \( I \) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\), alors \(g \circ f\) est de classe \( \mathcal{C}^2 \) sur \( \mathcal{O} \).
Théorème de Schwarz
- Si \(f\) est une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert \(\mathcal{O}\) de \(\mathbb{R}^n\), alors : \[ \forall(i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1 , n} \right]\kern-0.15em\right]^2, \ \partial_{i, j}^2 f=\partial_{j, i}^2 f \]
- Ainsi, si \(f\) est une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert \(\mathcal{O}\) de \(\mathbb{R}^n\), alors en tout point sa matrice hessienne est symétrique.
Dérivées directionnelles secondes
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert \(\mathcal{O}\) de \(\mathbb{R}^n\), \( x \) un élément de \(\mathcal{O}\) et \( h \) un élément de \( \mathbb{R}^n \).
- La fonction \(g: t \mapsto f(x+t h)\) est deux fois dérivable sur \(I=\{t \in \mathbb{R} / x+t h \in \mathcal{O}\}\) et : \[ \forall t \in I, g^{\prime \prime}(t)=q_{x+t h}(h) \]
- En particulier, le nombre dérivé en \( 0 \) de la fonction \(g: t \mapsto f(x+t h)\) est appelé dérivée seconde directionnelle de \(f\) en \(x\) dans la direction \(h\) et noté \(\partial_h^2 f(x)\) : \[ \partial_h^2 f(x)=q_x(h) \]
Développement limité à l’ordre 2
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert \(\mathcal{O}\) de \(\mathbb{R}^n\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\) et \(x \in \mathcal{O}\).
- Il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(\mathbb{R}^n\), continue et nulle en \( 0 \) telle que : \[ \forall h \in \mathbb{R}^n \ \mid \ x+h \in \mathcal{O}, \ f(x+h)=f(x)+\langle\nabla f(x), h\rangle+\frac{1}{2} \, q_x(h)+\|h\|^2 \varepsilon(h) \] Cette égalité est appelée développement limité de \(f\) à l’ordre 2 en \(x\).
- Le développement limité de \(f\) à l’ordre 2 en \(x\) est unique; autrement dit, s’il existe un réel \(\alpha\), un vecteur \(v\) de \(\mathbb{R}^n\), une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et une fonction \(\eta\) définie sur \(\mathbb{R}^n\), continue et nulle en 0 telle que, en notant \(H\) la colonne des coordonnées de \(h\) dans la base canonique : \[\forall h \in \mathbb{R}^n \ \mid \ x+h \in \mathcal{O}, \ f(x+h)=\alpha+\langle v, h\rangle+\frac{1}{2} \, \langle M H, H\rangle+\|h\|^2 \eta(h) \] alors : \(\alpha=f(x) \), \( v=\nabla f(x)\) et \(M=\nabla^2 f(x)\).
Recherche d’extremums sur un ouvert
Condition nécessaire d’ordre 1 d’extremum local
Théorème
Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un ouvert \(\mathcal{O}\) de \(\mathbb{R}^n\) et si \(f\) admet un extremum local en \(x\), alors : \[ \nabla f(x)=0\]
Point critique, point selle : définitions
Soit \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un ouvert \(\mathcal{O}\) de \(\mathbb{R}^n\).
- Point critique. On appelle point critique de \(f\) tout élément \(x\) de \(\mathcal{O}\) tel que \(\nabla f(x)=0\).
- Point selle (ou point col). On dit que \( x \) est un point selle (ou un point col) de \( f \) si \( x \) est un point critique de \( f \) et si \( f \) n’admet pas d’extremum en \( x \).
Conditions suffisantes d’ordre 2 d’extremum local
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert \(\mathcal{O}\) de \(\mathbb{R}^n\) et \(x_0\) un point critique de \(f\).
- Si les valeurs propres de \(\nabla^2 f\left(x_0\right)\) sont toutes strictement positives, alors \(f\) admet un minimum local en \(x_0\).
- Si les valeurs propres de \(\nabla^2 f\left(x_0\right)\) sont toutes strictement négatives, alors \(f\) admet un maximum local en \(x_0\).
- Si \(\nabla^2 f\left(x_0\right)\) admet au moins une valeur propre strictement positive et une valeur propre strictement négative, alors \(f\) n’admet pas d’extremum en \(x_0\).
Conditions suffisantes d’ordre 2 d’extremum global
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert convexe \(\mathcal{O}\) de \(\mathbb{R}^n\) et \(x_0\) un point critique de \(f\).
Si, pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\), les valeurs propres de \(\nabla^2 f(x)\) sont positives ou nulles (respectivement toutes négatives ou nulles), alors \(f\) admet en \(x_0\) un minimum global (respectivement un maximum global).
Recherche d’extremums sous contrainte d’égalités linéaires
Extremum sous contrainte linéaire : définition
Soit \(\mathcal{O}\) désigne un ouvert de \(\mathbb{R}^n\) et \(f\) une fonction définie sur \(\mathcal{O}\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\), on convient de noter \(X\) la colonne des coordonnées de \(x\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^n\).
De plus, \(p\) est un entier naturel non nul, \(g_1, \ldots, g_p\) sont des applications linéaires (i.e. des fonctions affines s’annulant en 0) définies sur \(\mathbb{R}^n, b_1, \ldots, b_p\) sont des réels et \(\mathcal{C}\) désigne l’ensemble des solutions du système linéaire \[ \left\{\begin{array}{c} g_1(x)=b_1 \\ \vdots \\ g_p(x)=b_p \end{array}\right. \] Ce système linéaire peut être écrit sous la forme \(A X=B\) où \(A\) est une matrice de \(\mathcal{M}_{p, n}(\mathbb{R})\) et \(B\) est une matrice de \(\mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\). On note \(\mathcal{H}\) l’ensemble des solutions du système homogène associé, c’est-à-dire l’ensemble des solutions du système \[ \left\{\begin{array}{c} g_1(x)=0 \\ \vdots \\ g_p(x)=0 \end{array}\right. \]
On dit que \(f\) admet un extremum (local ou global) sous la contrainte \(A X=B\) si \(f\) admet un extremum (local ou global) sur \(\mathcal{C}\).
Point critique sous contrainte linéaire
On suppose que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathcal{O}\).
- Si \(f\) admet un extremum en \(x_0\) sur \(\mathcal{C}\) (i.e. sous la contrainte \(A X=B\)), alors :\[\nabla f(x_0) \in \mathcal{H}^{\perp}\]
- Un élément de \(x_0\) sur \(\mathcal{C}\) tel que \( \nabla f(x_0) \in \mathcal{H}^{\perp} \) est appelé point critique de \( f \) sous la contrainte linéaire \(A X=B\).