On appelle variable aléatoire réelle sur $(\Omega, \mathcal{A})$ toute application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $[X \leqslant x]$ appartient à $\mathcal{A}$ (i.e. est un événement).

Tout intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ pouvant s’écrire comme union et intersection finies d’ensembles de la forme $]-\infty, x]$ et de leurs complémentaires, si $X$ est une variable aléatoire réelle sur $(\Omega, \mathcal{A})$, alors $[X \in I]$ est un événement pour tout intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Si $X_1, \ldots, X_n$ sont des variables aléatoires $\operatorname{sur}(\Omega, \mathcal{A})$, alors :

• pour tous réels $\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \lambda_1 X_1+\cdots+\lambda_n X_n$ est une variable aléatoire sur $(\Omega, \mathcal{A})$,
• $X_1 X_2 \cdots X_n$ est une variable aléatoire sur $(\Omega, \mathcal{A})$,
• l’application $Y=\inf (X_1, \ldots, X_n)$ définie par, pour tout $\omega \in \Omega, Y(\omega)=\min (X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega))$ est une variable aléatoire $\operatorname{sur}(\Omega, \mathcal{A})$,
• l’application $Z=\sup (X_1, \ldots, X_n)$ définie par, pour tout $\omega \in \Omega, \ Z(\omega)=\max (X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega))$ est une variable aléatoire sur $(\Omega, \mathcal{A})$.

Soit $X$ une variable aléatoire. On appelle fonction de répartition de $X$ la fonction $F_X$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\forall x \in \mathbb{R}, \ F_X(x)=\mathbb{P}(X \leqslant x)$$

Soit $X$ une variable aléatoire et $F_X$ sa fonction de répartition.

• $F_X$ est croissante sur $\mathbb{R}$,
• $F_X$ tend vers $0$ en $-\infty$ et vers $1$ en $+\infty$,
• $F_X$ est continue à droite en tout point,
• $F_X$ est continue en tout point $a$ tel que $\mathbb{P}(X=a)=0$.

Pour tout couple $(a, b)$ de réels tels que $a<b$, on a :

• $\mathbb{P}(X>a)=1-F_X(a)$
• $\mathbb{P}(a<X \leqslant b)=F_X(b)-F_X(a)$
• $\displaystyle \mathbb{P}(X<a)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} F_X(x)$
• $\displaystyle \mathbb{P}(a \leqslant X \leqslant b)=F_X(b)-\lim _{x \rightarrow a^{-}} F_X(x)$
• $\displaystyle \mathbb{P}(a \leqslant X<b)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} F_X(x)-\lim _{x \rightarrow a^{-}} F_X(x)$
• $\displaystyle \mathbb{P}(a<X<b)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} F_X(x)-F_X(a)$
• $\displaystyle \mathbb{P}(X=a)=F_X(a)-\lim _{x \rightarrow a^{-}} F_X(x)$

On appelle vecteur aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ tout $n$-uplet $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ de variables aléatoires réelles. Si de plus $X_1, \ldots, X_n$ sont des variables aléatoires discrètes, on dit que le vecteur $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ est un vecteur aléatoire discret.

Soit $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ et $\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)$ deux vecteurs aléatoires.

Si $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ et $\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)$ ont la même loi alors, pour toute fonction $g$ continue sur $\mathbb{R}^n$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$, $g(X_1, \ldots, X_n)$ et $g(Y_1, \ldots, Y_n)$ ont la même loi.

On dit que $X_1, \ldots, X_n$ sont mutuellement indépendantes si : $$\forall\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n, \ F_{\left(X_1, \ldots, X_n\right)}\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\prod_{k=1}^n F_{X_k}\left(x_k\right)$$

Soit $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ un vecteur aléatoire.

• $X_1, \ldots, X_n$ sont mutuellement indépendantes si et seulement si on a, pour tous intervalles $I_1, \ldots, I_n$ : $$\mathbb{P} \! \left(\bigcap_{k=1}^n\left[X_k \in I_k\right]\right)=\prod_{k=1}^n \mathbb{P}(X_k \in I_k)$$
• Si $X_1, \ldots, X_n$ est un vecteur aléatoire discret, alors $X_1, \ldots, X_n$ sont mutuellement indépendantes si et seulement si : $$\forall\left(x_k\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{R}^n, \ \mathbb{P} \! \left(\bigcap_{k=1}^n\left[X_k=x_k\right]\right)=\prod_{k=1}^n \mathbb{P} (X_k=x_k )$$

• Si $X_1, \ldots, X_n$ sont mutuellement indépendantes et si $p$ est un entier tel que $2 \leqslant p \leqslant n-1$, alors toute variable aléatoire fonction de $X_1, \ldots, X_p$ est indépendante de toute variable aléatoire fonction de $X_{p+1}, \ldots, X_n$.
• Plus généralement, si $X_1, \ldots, X_n$ sont mutuellement indépendantes alors, pour toute permutation $\sigma$ de $\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]$ et pour toute famille $\left(i_1, \ldots, i_p\right)$ d’entiers vérifiant $1 \leqslant i_1<i_2<\cdots<i_p \leqslant n$, toute famille de variables aléatoires de la forme $\left( f_1(X_{\sigma(1)}, \ldots, X_{\sigma( i_1 )}), \ldots, f_p(X_{\sigma (i_{p-1}+1)}), \ldots, X_{\sigma(i_p)})\right)$ est formée de variables aléatoires mutuellement indépendantes.

Soit $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ un vecteur aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}^n$. Si $X_1, \ldots, X_n$ admettent une espérance, alors $X_1+\cdots+X_n$ admet une espérance et : $$\mathbb{E} \! \left(\sum_{k=1}^n X_k\right)=\sum_{k=1}^n \mathbb{E}(X_k)$$

Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires admettant une espérance. Si, presque sûrement, $X \leqslant Y$, alors : $\mathbb{E}(X) \leqslant \mathbb{E}(Y)$.

Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires tel que, presque sûrement, $|X| \leqslant Y$. Si $Y$ admet une espérance, alors $X$ admet une espérance et : $$|\mathbb{E}(X)| \leqslant \mathbb{E}(Y)$$

Soit $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ un vecteur aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}^n$. Si $X_1, \ldots, X_n$ sont mutuellement indépendantes et admettent une espérance, alors $X_1 X_2 \cdots X_n$ admet une espérance et : $$\mathbb{E} \! \left(\prod_{k=1}^n X_k\right)=\prod_{k=1}^n \mathbb{E}(X_k)$$

Si $X$ et $Y$ admettent un moment d’ordre 2, on appelle covariance de $(X, Y)$ le réel $$\operatorname{Cov}(X, Y)=\mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y)))$$

Si $X$ et $Y$ admettent un moment d’ordre 2, alors : $$\operatorname{Cov}(X, Y)=\mathbb{E}(X Y)-\mathbb{E}(X) \, \mathbb{E}(Y)$$

La covariance est une forme bilinéaire symétrique et positive sur l’espace vectoriel des variables aléatoires discrètes définies $\operatorname{sur}(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ et admettant un moment d’ordre 2.

Autrement dit, si $X, Y$ et $Z$ sont trois variables aléatoires discrètes sur $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ admettant un moment d’ordre 2 et si $a$ et $b$ sont deux réels, alors :

• $\operatorname{Cov}(X, Y)=\operatorname{Cov}(Y, X)$,
• $\operatorname{Cov}(a X+b Y, Z)=a \operatorname{Cov}(X, Z)+b \operatorname{Cov}(Y, Z)$,
• $\operatorname{Cov}(X, a Y+b Z)=a \operatorname{Cov}(X, Y)+b \operatorname{Cov}(X, Z)$,
• $\operatorname{Cov}(X, X) \geqslant 0$.

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent un moment d’ordre 2, alors : $$X \text { et } Y \text { sont indépendantes } \Longrightarrow \operatorname{Cov}(X, Y)=0$$

Si $X$ et $Y$ admettent toutes deux une variance non nulle, on appelle coefficient de corrélation linéaire de $(X, Y)$ le réel $$\rho(X, Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma(X) \sigma(Y)}$$

Si $X$ et $Y$ admettent chacune une variance non nulle, alors :

• $|\rho(X, Y)| \leqslant 1$ (inégalité de Cauchy-Schwarz),
• $|\rho(X, Y)|=1 \Longleftrightarrow \exists(a, b) \in \mathbb{R} / \mathbb{P}(Y=a X+b)=1$.

Si $X$ et $Y$ admettent chacune une variance non nulle, alors : $$X \text { et } Y \text { sont indépendantes } \Longrightarrow \rho(X, Y)=0$$