Si \( X \) est une variable aléatoire telle que \( X(\Omega)=\left\{x_1, \ldots, x_n\right\} \) (où \( n \) est un entier naturel non nul), on appelle espérance de \( \boldsymbol{X} \) le réel noté \( \mathbb{E}(X) \) défini par : \[ \mathbb{E}(X)=\sum_{i=1}^n x_i \mathbb{P}(X=x_i)=\sum_{x_i \in X(\Omega)} x_i \mathbb{P}\left(X=x_i\right) \]

Si \( X \) est une variable aléatoire finie alors :

• Si \( X \) est positive : \( \mathbb{E}(X) \geqslant 0 \) (positivité de l’espérance),
• Pour tout couple \( (a, b) \) de réels, on a : \[ \mathbb{E}(a X+b)=a \mathbb{E}(X)+b \quad \text { (linéarité de l’espérance) } \]

Soit \( X \) une variable aléatoire finie. On appelle variance de \( X \) le réel noté \( \mathbb{V}(X) \) défini par : \[ \mathbb{V}(X)=\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))^2\right)=\sum_{x \in X(\Omega)}(x-\mathbb{E}(X))^2 \mathbb{P}(X=x) \]

• Formule de Koenig-Huygens. Si \( X \) est une variable aléatoire discrète finie, alors :\[ \mathbb{V}(X)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-[\mathbb{E}(X)]^2 \]
• Si \( X \) est une variable aléatoire finie, alors, pour tout couple \( (a, b) \) de réels : \[ \mathbb{V}(a X+b)=a^2 \mathbb{V}(X)\]

Si \( X \) est une variable aléatoire finie, on appelle écart-type de \( X \) le réel \[ \sigma(X)=\sqrt{\mathbb{V}(X)} \]

Si \( X \) est une variable aléatoire finie, alors, pour tout couple \( (a, b) \) de réels : \[ \sigma(a X+b)=|a| \sigma(X) \]

Une variable aléatoire \( X \) est-dite constante (ou certaine) s’il existe un réel \( a \) tel que : \( X(\Omega)=\{a\} \).

Si \( a \in \mathbb{R} \) et si \( X \) est une variable aléatoire certaine égale à \( a \), alors : \[ \mathbb{E}(X)=a \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=0 \]

Si \( p \) est un élément de \( ] 0,1[ \), on dit qu’une variable aléatoire \( X \) suit la loi de Bernoulli de paramètre \( p \) si \( X \) prend ses valeurs dans \( \{0,1\} \) et si : \[ \mathbb{P}(X=1)=p \quad \text { et } \quad \mathbb{P}(X=0)=1-p \]

Si \( p \in \left] 0,1 \right[ \) et si \( X \) est une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre \( p \), alors : \[ \mathbb{E}(X)=p \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=p(1-p) \]

On dit que \( X \) suit la loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p \) si \( X \) prend ses valeurs dans \( \left[\kern-0.15em\left[ { 0,n} \right]\kern-0.15em\right] \) et si : \[ \forall k \in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \]

• Si \( X \) est la variable aléatoire égale au nombre de succès dans une suite de \( n \) épreuves de Bernoulli de paramètre \( p \in \left] 0,1 \right[ \) indépendantes, alors \( X \) suit la loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p \).
• Si \( X \) est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p \), alors \( X \) admet une espérance et une variance et : \[ \mathbb{E}(X)=n p \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=n p \left( 1-p \right) \]

• On dit que \( X \) suit la loi uniforme sur \( \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right] \) si \( X \) prend ses valeurs dans \( \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right] \) et : \[ \forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{n}\]
• Plus généralement, si \( a \) et \( b \) sont deux entiers relatifs tels que \( a<b \), on dit que \( X \) suit la loi uniforme sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {a,b} \right]\kern-0.15em\right] \) si \( X \) prend ses valeurs dans \( \left[\kern-0.15em\left[ {a,b} \right]\kern-0.15em\right] \) et si : \[ \forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {a,b} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{b-a+1} \]

Si \( X \) est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \( \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right] \), alors \( X \) admet une espérance et une variance et : \[ \mathbb{E}(X)=\frac{n+1}{2} \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=\frac{n^2-1}{12} \]