On appelle projection (ou projecteur) de $E$ sur $F$ dans la direction $G$ (ou parallèlement à $G$) l’application $p$ vérifiant : $$\forall x \in E \ / \ x=x_F+x_G \text { avec }\left(x_F, x_G\right) \in F \times G, \ p(x)=x_F$$

Si $p$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$, alors :

• $p$ est un endomorphisme de $E$
• $\operatorname{Im}(p) = F$
• $\operatorname{Ker}(p) = G$
• $p \circ p = p$
• $\operatorname{Im}(p)= \mathrm{Ker}(p- \mathrm{id}_E) = \{x \in E,\ p(x)=x\}$
• $E =\operatorname{Ker}(p) \oplus \operatorname{Im}(p)$

Si $p$ est la projection sur $F$ dans la direction $G$ et si $q$ est la projection sur $G$ dans la direction $F$, alors : $$p+q=\operatorname{id}_E \quad \text { et } \quad p \circ q=q \circ p=0$$

On dit que $p$ et $q$ sont les projecteurs associés aux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$.

$p$ est un projecteur de $E$ si et seulement si $p$ est un endomorphisme de $E$ tel que $p \circ p = p$.

On appelle symétrie de $E$ par rapport à $F$ dans la direction $G$ (ou parallèlement à $G$) l’application $s$ vérifiant : $$\forall x \in E \ / \ x=x_F+x_G \text { avec }\left(x_F, x_G\right) \in F \times G, \ s(x)=x_F – x_G$$

Si $s$ est la symétrie de $E$ par rapport à $F$ dans la direction $G$, alors :

• $s$ est un endomorphisme de $E$
• $s \circ s = \mathrm{id}_E$
• $F = \mathrm{Ker}(s- \mathrm{id}_E) = \{x \in E,\ s(x)=x\}$
• $G = \mathrm{Ker}(s + \mathrm{id}_E) = \{x \in E,\ s(x)= -x\}$
• $E = \mathrm{Ker}(s- \mathrm{id}_E) \oplus \mathrm{Ker}(s + \mathrm{id}_E)$
• $s= 2p – \mathrm{id}_E$ où $p$ est la projection sur $F$ dans la direction $G$.

$s$ est une symétrie de $E$ si et seulement si $s$ est un endomorphisme de $E$ tel que $s \circ s = \mathrm{id}_E$.