Applications linéaires (Appro)
Généralités
Application linéaire : définition et propriétés élémentaires
Définition
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels.
On dit qu’une application \( f \) de \( E \) dans \( F \) est linéaire si elle vérifie :
- \( \forall(x, y) \in E^2, \ f(x+y)=f(x)+f(y) \)
- \( \forall x \in E, \ \forall \lambda \in \mathbb{R}, \ f(\lambda x)=\lambda f(x) \).
Propriétés élémentaires
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels et \( f \) une application de \( E \) dans \( F \).
- \( f \) est une application linéaire si et seulement si : \[ \forall(x, y) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \ f(\lambda x+y)=\lambda f(x)+f(y) \]
- Si \( f \) est une application linéaire de \( E \) dans \( F \), alors : \[ \forall n \in \mathbb{N}^*, \ \forall\left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in E^n, \ \forall\left(\lambda_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{R}^n, \ f \! \left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right)=\sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \]
- Si \( f \) est une application linéaire de \( E \) dans \( F \), alors : \[ f(0_E)=0_F \quad \text { et } \quad \forall x \in E, f(-x)=-f(x) \]
- Si \( E \) est de dimension finie non nulle admettant une base \( \mathcal{B}=\left(e_1, \ldots, e_n\right)\) et si \( f \) est une application linéaire de \( E \) dans \( F \), alors \( f \) est entièrement définie par la donnée des images des vecteurs de \( \mathcal{B} \). Plus précisément, si \( f \) et \( g \) sont deux applications linéaires de \( E \) dans \( F \) telles que \( f(e_i)=g(e_i) \) pour tout \( i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), alors \( f=g \).
Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme, forme linéaire : définitions
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels. On appelle :
- Endomorphisme de \( E \) toute application linéaire \( f \) de \( E \) dans \( E \),
- Isomorphisme de \( E \) dans \( F \) toute application linéaire bijective de \( E \) dans \( F \),
- Automorphisme de \( E \) tout endomorphisme bijectif de \( E \),
- Forme linéaire de \( E \) toute application linéaire de \( E \) dans \( \mathbb{R} \).
Opérations sur les applications linéaires
Somme, multiplication par un réel, composition
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels.
- Si \( f \) et \( g \) sont deux applications linéaires de \( E \) dans \( F \) et si \( \lambda \) est un réel, alors \( f+ g \) et \( \lambda f \) sont des applications linéaires de \( E \) dans \( F \).
- Plus précisément, l’ensemble \( \mathcal{L}(E, F) \) des applications linéaires de \( E \) dans \( F \) est un espace vectoriel, ainsi que l’ensemble \( \mathcal{L}(E) \) des endomorphismes de \( E \).
- Si \( f \) est une application linéaire de \( E \) dans \( F \) et si \( g \) est une application linéaire de \( f \) dans \( G \), alors \( g \circ f \) est une application linéaire de \( E \) dans \( G \).
- Si \( f \) est un isomorphisme de \( E \) dans \( F \), alors \( f^{-1} \) est un isomorphisme de \( F \) dans \( E \).
Propriétés de la composition
Soit \( E \) un espace vectoriel et \( f, g, h \) des endomorphismes de \( E \). On a :
- \( (f+g) \circ h=f \circ h+g \circ h \)
- \( f \circ(g+h)=f \circ g+g \circ h \)
Quand dit-on que deux endomorphismes commutent ?
On dit que deux endomorphismes \( f \) et \( g \) de \( E \) commutent si \( f \circ g=g \circ f \).
Sous-espace stable par un endomorphisme, endomorphisme induit
Soit \( E \) un espace vectoriel, \( f \) un endomorphisme de \( E \) et \( F \) un sous-espace vectoriel de \( E \).
- On dit que \( F \) est stable par \( f \) (ou que \( f \) stabilise \( F \)) si \( f(F) \) est inclus dans \( F \), c’est-à-dire si : \[ \forall x \in F, \ f(x) \in F \]
- Si \( F \) est stable par \( f \), la restriction \( \widehat{f} \) de \( f \) à \( F \) est un endomorphisme de \( F \), appelé endomorphisme induit par \( f \) sur \( F \).
Noyau et image
Noyau d’une application linéaire : définition et propriétés
Définition
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels et \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \).
On appelle noyau de \( f \) l’ensemble \[ \operatorname{Ker}(f)=\left\{x \in E,\ f(x)=0_F\right\} \]
Propriétés
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels et \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \).
\( \operatorname{Ker}(f) \) est un sous-espace vectoriel de \( E \).
Image d’une application linéaire : définition et propriétés
Définition
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels et \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \).
On appelle image de \( f \) l’ensemble \[ \operatorname{Im}(f)=\left\{f(x),\ x \in E\right\} =\left\{ y \in F \ \vert \ \exists x \in E,\ y= f(x)\right\} \]
Propriétés
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels et \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \).
- \( \operatorname{Im}(f) \) est un sous-espace vectoriel de \( F \).
- Si \( E \) est de dimension finie et si \( \left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) est une famille génératrice de \( E \), alors \( \operatorname{Im}(f) \) est de dimension finie et \( \left(f\left(x_i\right)\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} \) est une famille génératrice de \( \operatorname{Im}(f) \) ; autrement dit :
- \( E=\operatorname{Vect}\left(\left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}\right) \Rightarrow \operatorname{Im}(f)=\operatorname{Vect}\left(\left(f\left(x_i\right)\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}\right) \)
Théorème du rang
Soit \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \). Si \( E \) est de dimension finie, alors \( \operatorname{Ker}(f) \) et \( \operatorname{Im}(f) \) sont de dimensions finies et : \[ \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(f))+\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(f))=\operatorname{dim}(E) \]
L’entier \( \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(f)) \) est alors appelé rang de \( f \) et noté \( \operatorname{rg}(f) \).
Noyau des formes linéaires : propriété
Soit \( E \) un espace vectoriel de dimension finie et non nulle et \( H \) un sous-espace vectoriel de \( E \).
\( H \) est un hyperplan de \( E \) si et seulement si \( H \) est le noyau d’une forme linéaire non nulle sur \( E \).
Applications linéaires injectives, bijections, surjectives
Applications linéaires injectives : caractérisation et propriété
Caractérisation
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels et \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \).
\( f \) est injective sur \( E \) si et seulement si \( \operatorname{Ker}(f)=\left\{0_E\right\} \).
Propriété
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels et \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \).
Si \( f \) est injective et si \( (x_1,\dots,x_n) \) est une famille libre d’éléments de \( E \) alors \( ( f(x_1),\dots, f(x_n)) \) est une famille libre d’éléments de \( F \).
Applications linéaires surjectives : caractérisation et propriété
Caractérisation
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels et \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \).
\( f \) est surjective de \( E \) dans \( F \) si et seulement si : \( \operatorname{Im}(f)=F \).
Propriété
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels et \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \).
Si \( f \) est surjective et si \( (x_1,\dots,x_n) \) est une famille génératrice de \( E \) alors \( ( f(x_1),\dots, f(x_n)) \) est une famille génératrice de \( F \).
Applications linéaires bijections : propriétés
Soit \( F,G \) et \( H \) trois espaces vectoriels.
- Si \( f \) est un isomorphisme de \( E \) sur \( F \) et si \( g \) est un isomorphisme de \( F \) sur \( G \) alors \( f \circ g \) est un isomorphisme de \( E \) sur \( G \) et : \[(f \circ g)^{-1}=g^{-1} \circ f^{-1}\]
- Si \( f \) est un isomorphisme de \( E \) sur \( F \) et si \( (x_1,\dots,x_n) \) est une base de \( E \) alors \( ( f(x_1),\dots, f(x_n)) \) est une base de \( F \).
Caractérisation des isomorphismes en dimension finie
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels de même dimension finie et \( f \) une application linéaire de \( E \) dans \( F \). Les assertions suivantes sont équivalentes :
- \( f \) est injective sur \( E \)
- \( f \) est surjective de \( E \) sur \( F \)
- \( f \) est bijective de \( E \) sur \( F \)
Soit \( E \) un espace vectoriel de dimension finie et \( f \) est un endomorphisme de \( E \). On a : \[ f \in \mathrm{GL}(E) \Leftrightarrow \exists g \in \mathcal{L}(E) ,\ g \circ f=\operatorname{id}_E \text { ou } f \circ g=\operatorname{id}_E \]
De plus, si \( g \circ f=\operatorname{id}_E \) ou \( f \circ g=\operatorname{id}_E \), alors \( f \) et \( g \) sont réciproques l’une de l’autre.
Espaces isomorphes : définition et propriétés
Définition
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels.
On dit que \( E \) et \( F \) sont isomorphes s’il existe un isomorphisme \( f \) de \( E \) sur \( F \).
Propriétés
Soit \( E \) et \( F \) deux espaces vectoriels.
- Si \( E \) et \( F \) sont isomorphes alors \( E \) est de dimension finie si et seulement si \( F \) est de dimension finie et, dans ce cas : \[ \operatorname{dim}(E)=\operatorname{dim}(F) \]
- \( E \) est de dimension \( n \) non nulle si et seulement si \( E \) est isomorphe à \( \mathbb{R}^n \).
Polynômes d’endomorphismes
Définitions
Soit \( E \) un espace vectoriel et \( f \) un endomorphisme de \( E \).
- On définit la suite d’endomorphisme \( \left(f^n\right)_{n \in \mathbb{N}} \) de \( E \) par : \[ f^0=\operatorname{id}_E \quad \text { et } \quad \forall n \in \mathbb{N}, \ f^{n+1}=f \circ f^n \]
- Étant donné un polynôme \( P \) de \( \mathbb{R}[x] \) tel que \( \displaystyle P(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k \), on définit plus généralement l’endomorphisme \( P(f) \) par : \[ P(f)=\sum_{k=0}^n a_k f^k \]
- Soit \( P \in \mathbb{R}[x] \). On dit que \( P \) est un polynôme annulateur de \( f \) si \( P \) est un polynôme non nul et : \( P(f)=0 \).
Opérations sur les polynômes d’endomorphismes
Soit \( E \) un espace vectoriel et \( f \) un endomorphisme de \( E \).
Soit \( P \) et \( Q \) deux polynômes à coefficients dans \( \mathbb{R} \) et \( \lambda \) un élément de \( \mathbb{R} \). On a :
- \( (\lambda P)(f)=\lambda P(f) \)
- \( (P+Q)(f)=P(f)+Q(f) \)
- \( (P Q)(f)=P(f) \circ Q(f)=Q(f) \circ P(f) \)
Formule du binôme de Newton
Soit \( f \) et \( g \) deux endomorphismes de \( E \). Si \( f \) et \( g \) commutent, alors : \[ \forall p \in \mathbb{N}, \ (f+g)^p=\sum_{k=0}^p\binom{p}{k} f^k \circ g^{p-k}=\sum_{k=0}^p\binom{p}{k} g^k \circ f^{p-k} \]