Une semaine, un classique : 2026-W07 - stephanepreteseille.com

Trois questions de cours pour te lancer

Teste ton cours en répondant aux questions suivantes, à l’oral ou en écrivant ta réponse sur une feuille. Ensuite, envoie une photo de ta réponse et demande à l’IA d’analyser ce qui est juste, ce qui manque et comment t’améliorer.

Donner une densité, l’espérance et la variance de la loi normale \(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\) et indiquer les propriétés de symétrie de sa fonction de répartition.

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Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi normale \(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\), avec \(\sigma>0\).

\(X\) admet pour densité la fonction \(f\) définie par
\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right) \]
\(X\) admet une espérance et une variance données par
\[ \mathbb{E}(X)=m \qquad \text{et} \qquad \mathrm{V}(X)=\sigma^2 \]
Le graphe de \(f\) dans un repère orthonormal est symétrique par rapport à la droite d’équation \(x=m\).
Si \(F\) désigne la fonction de répartition de \(X\), alors le graphe de \(F\) dans un repère orthonormal est symétrique par rapport au point de coordonnées \((m,\tfrac12)\), c’est-à-dire
\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad F(m-x)=1-F(m+x) \]
En particulier, si \(\Phi\) est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, alors
\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad \Phi(-x)=1-\Phi(x) \]

Donner la définition de la convergence en loi et une condition suffisante de convergence en loi pour une suite de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{N}\).

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Soient \(X\) et \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) des variables aléatoires.

On dit que \(X_n\) converge en loi vers \(X\) si, pour tout réel \(x\) en lequel la fonction de répartition \(F_X\) est continue,
\[ F_{X_n}(x)\longrightarrow F_X(x) \]
Si les variables aléatoires \(X\) et \(X_n\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\)) prennent leurs valeurs dans \(\mathbb{N}\), alors \((X_n)\) converge en loi vers \(X\) si et seulement si
\[ \forall k\in\mathbb{N},\quad \lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(X_n=k)=\mathbb{P}(X=k) \]

Comment utiliser rd.randint et rd.random pour simuler le tirage d’une boule dans une urne contenant \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\) ?

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On considère une urne contenant \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\), et on souhaite simuler un tirage au hasard.

Avec la fonction rd.randint, on peut simuler directement un tirage uniforme sur \(\{1,\dots,n\}\) en utilisant
\[ \texttt{rd.randint(1,n+1)} \]
En remarquant que, si \(U\) est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0,1[\), alors \(1+\lfloor nU\rfloor\) suit la loi uniforme sur \(\{1,2,\dots,n\}\), on peut aussi utiliser rd.random() pour simuler un tirage avec la commande
\[ 1+\mathrm{np.floor}(n\*\texttt{rd.random()}) \]

Mini-exercices : vérifie que les bases sont maîtrisées

Quelques exercices rapides pour passer du cours à l’action. L’objectif : réfléchir, répondre à la question, puis laisser l’IA te dire où tu en es et comment progresser.

En utilisant une densité de loi normale, justifier que l’intégrale

\[\int_{0}^{+\infty} e^{-2t^2}\,\mathrm{d}t\]

est convergente et déterminer sa valeur.

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On considère une variable aléatoire \(X\) suivant la loi normale \(\mathcal{N}(0,\tfrac14)\).

Elle admet pour densité la fonction \(f\) définie par

\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times \tfrac14}\exp\!\left(-\frac{x^2}{2\cdot\tfrac14}\right) =\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-2x^2} \]

Comme \(f\) est une densité de probabilité, l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x\) est convergente et égale à \(1\), c’est-à-dire

\[ \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2x^2}\,\mathrm{d}x = 1 \]

On en déduit que l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2x^2}\,\mathrm{d}x\) est convergente et vaut

\[ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2\pi}}{2}=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \]

Il en découle que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-2t^2}\,\mathrm{d}t\) est convergente et, par parité de la fonction \(x\mapsto e^{-2x^2}\), on obtient

\[ \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-2t^2}\,\mathrm{d}t =\frac12\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2x^2}\,\mathrm{d}x =\sqrt{\frac{\pi}{8}} \]

Soit \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) une suite de variables aléatoires telle que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(X_n\) suive la loi normale \(\mathcal{N}(m,\tfrac1n)\).

Prouver que la suite \((X_n)\) converge en loi et déterminer sa loi limite.

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Comme \(X_n\) suit la loi normale \(\mathcal{N}(m,\tfrac1n)\), on sait que la variable aléatoire

\[ Z_n=\frac{X_n-m}{\sqrt{1/n}}=\sqrt{n}\left(X_n-m\right) \]

suit la loi normale centrée réduite.

En notant \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on a

\[ \begin{align*} \forall x\in\mathbb{R},\quad \mathbb{P}(X_n\le x) &= \mathbb{P}\!\left(Z_n\le \sqrt{n}(x-m)\right) \\ &= \Phi\!\left(\sqrt{n}(x-m)\right) \end{align*} \]

Or

\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad \lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}(x-m)= \begin{cases} +\infty & \text{si } x>m \\ 0 & \text{si } x=m \\ -\infty & \text{si } x<m \end{cases} \]

et, comme \(\Phi\) est une fonction de répartition et \(\Phi(0)=\tfrac12\), on obtient

\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad \lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(X_n\le x)= \begin{cases} 1 & \text{si } x>m \\ \frac12 & \text{si } x=m \\ 0 & \text{si } x<m \end{cases} \]

Enfin, si \(X\) est une variable aléatoire constante égale à \(m\), alors

\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad \mathbb{P}(X\le x)= \begin{cases} 1 & \text{si } x\ge m \\ 0 & \text{si } x<m \end{cases} \]

Ainsi, pour tout réel \(x\) tel que la fonction de répartition de \(X\) est continue, c’est-à-dire pour tout \(x\neq m\), on a

\[ \lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(X_n\le x)=\mathbb{P}(X\le x) \]

On en conclut que la suite \((X_n)\) converge en loi vers la variable aléatoire constante égale à \(m\).

Une urne contient \(10\) boules, dont \(3\) noires et \(7\) rouges.

Écrire une fonction en langage Python simulant le tirage d’une boule et renvoyant \(0\) si la boule est noire et \(1\) si la boule est rouge.

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import numpy.random as rd

def tirage_urne():
    u = rd.random()
    if u < 3/10:
        return 0
    else:
        return 1

En effet, la probabilité de tirer une boule noire est égale à \(\frac{3}{10}\), et on sait que la condition rd.random() < 3/10 permet de simuler un événement de probabilité \(\frac{3}{10}\).

On pouvait aussi utiliser un tirage d’entier aléatoire avec rd.randint, par exemple :

import numpy.random as rd

def tirage_urne():
    u = rd.randint(10)
    if u < 3:
        return 0
    else:
        return 1

Un exercice sur un thème classique pour t’entraîner

Place maintenant tout en contexte avec un exercice d’annales choisi pour sa difficulté raisonnable et sa forte valeur d’entraînement. C’est l’occasion de tester ta compréhension, de te confronter à une vraie question de concours, et de profiter de l’aide de l’IA si tu en as besoin.