Semaine 3

Une semaine, un classique

Analyse : autour de la constante d’Euler

Thème : Analyse

Année : ECG2

Option : Maths appliquées, Maths approfondies

Durée indicative : 120 minutes

Objectif : Maîtriser trois notions fondamentales en analyse : l’utilisation des développements limités pour obtenir des équivalents, les critères de comparaison des séries à termes positifs, et l’exploitation de la convexité et de la concavité pour établir des inégalités.

Trois questions de cours pour te lancer

Teste ton cours en répondant aux questions suivantes, à l’oral ou en écrivant ta réponse sur une feuille. Ensuite, envoie une photo de ta réponse et demande à l’IA d’analyser ce qui est juste, ce qui manque et comment t’améliorer.

Donner les développements limités à l’ordre 2 en 0 des fonctions \(x \mapsto \mathrm{e}^x\), \(x \mapsto \ln(1+x)\) et \(x \mapsto (1+x)^\alpha\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\)).

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Au voisinage de \(0\) :

\(\mathrm{e}^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)\).
\(\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)\).
\((1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2)\).

Énoncer les trois critères de comparaison de séries à termes positifs (majoration/minoration, équivalence, négligeabilité).

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Critère de comparaison par majoration / minoration
Soit (aₙ) et (bₙ) deux suites positives.
- S’il existe n₀ tel que pour tout n ≥ n₀, 0 ≤ aₙ ≤ bₙ et si ∑ bₙ converge, alors ∑ aₙ converge.
- S’il existe n₀ tel que pour tout n ≥ n₀, 0 ≤ bₙ ≤ aₙ et si ∑ bₙ diverge, alors ∑ aₙ diverge.
Critère d’équivalence
Soit (aₙ) et (bₙ) deux suites positives.
- Si aₙ ∼ bₙ quand n → +∞, alors ∑ aₙ et ∑ bₙ sont de même nature.
Critère de négligeabilité
- Si aₙ = o(bₙ) quand n → +∞, si (bₙ) est positive et si ∑ bₙ converge, alors ∑ aₙ converge absolument (donc converge).
- Si aₙ = o(bₙ), si (bₙ) est positive et si ∑ aₙ diverge, alors ∑ bₙ diverge.

Fonctions convexes, concaves : énoncer la définition et les propriétés.

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Définition
- \(f\) est convexe sur \(I\) si \(\forall x,y\in I,\ \forall t\in[0,1],\ f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)\).
- \(f\) est concave sur \(I\) si \(-f\) est convexe.
Caractérisation en classe \(C^1\)
- Si \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(I\), alors \(f\) est convexe si et seulement si \(f'\) est croissante sur \(I\).
- Si \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(I\), alors \(f\) est concave si et seulement si \(f'\) est décroissante sur \(I\).
Caractérisation en classe \(C^2\)
- Si \(f\) est de classe \(C^2\) sur \(I\), alors \(f\) est convexe si et seulement si \(f''\ge 0\) sur \(I\).
- Si \(f\) est de classe \(C^2\) sur \(I\), alors \(f\) est concave si et seulement si \(f''\le 0\) sur \(I\).
Propriété de la tangente
- Si \(f\) est convexe et de classe \(C^1\) sur \(I\), alors \(\forall a\in I,\ \forall x\in I,\ f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)\).
- Si \(f\) est concave et de classe \(C^1\) sur \(I\), alors \(\forall a\in I,\ \forall x\in I,\ f(x)\le f(a)+f'(a)(x-a)\).

Mini-exercices : vérifie que les bases sont maîtrisées

Quelques exercices rapides pour passer du cours à l’action. L’objectif : réfléchir, répondre à la question, puis laisser l’IA te dire où tu en es et comment progresser.

Déterminer un développement limité à l’ordre 2 en 0 de la fonction \(x \mapsto \ln(1-x)-\sqrt{1+x}\).

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Au voisinage de \(0\) :

\[\ln(1-x)= -x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\]

\[\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^2).\]

Donc

\[ \begin{align*} \ln(1-x)-\sqrt{1+x} &=\left(-x-\frac{x^2}{2}\right)-\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\right)+o(x^2) \\ &= -1-\frac{3}{2}x-\frac{3}{8}x^2+o(x^2). \end{align*} \]

Étudier la nature de la série de terme général \(u_n=\mathrm{e}^{1/n}-1-\dfrac{1}{n}\).

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On utilise le développement limité en \(0\) :

\[\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2).\]

Avec \(x=\dfrac{1}{n}\) (et \(\dfrac{1}{n}\to 0\)), on obtient

\[\mathrm{e}^{1/n}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+o\!\left(\frac{1}{n^2}\right).\]

Donc

\[ u_n=\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+o\!\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)-1-\frac{1}{n} =\frac{1}{2n^2}+o\!\left(\frac{1}{n^2}\right). \]

Ainsi \(u_n \sim \dfrac{1}{2n^2}\). La série \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) converge, donc, d’après les critères de comparaison de séries à termes positifs, la série \(\sum u_n\) converge.

En utilisant la convexité, prouver que pour tout \(x\ge 0\), \(1-\mathrm{e}^{-x}\le x\).

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La fonction \(t \mapsto \mathrm{e}^t\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Par l’inégalité de la tangente en \(0\) :

\[\forall t\in\mathbb{R},\quad \mathrm{e}^t \ge \mathrm{e}^0 + \mathrm{e}^0(t-0)=1+t.\]

On applique avec \(t=-x\) (où \(x\ge 0\)) :

\[\mathrm{e}^{-x}\ge 1-x.\]

Donc

\[1-\mathrm{e}^{-x}\le x.\]

Un exercice sur un thème classique pour t’entraîner

Place maintenant tout en contexte avec un exercice d’annales choisi pour sa difficulté raisonnable et sa forte valeur d’entraînement. C’est l’occasion de tester ta compréhension, de te confronter à une vraie question de concours, et de profiter de l’aide de l’IA si tu en as besoin.