Une semaine, un classique
Analyse : suite implicite, méthode des rectangles et séries
Trois questions de cours pour te lancer
Teste ton cours en répondant aux questions suivantes, à l’oral ou en écrivant ta réponse sur une feuille. Ensuite, envoie une photo de ta réponse et demande à l’IA d’analyser ce qui est juste, ce qui manque et comment t’améliorer.
Énoncer le critère de comparaison des séries par majoration.
ou clique pour choisir un fichier
Énoncer le théorème de la bijection sur un intervalle.
ou clique pour choisir un fichier
Donner une primitive de \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) sur un intervalle \( I \) lorsque \(u\) ne s'annule pas sur \( I \).
ou clique pour choisir un fichier
Mini-exercices : vérifie que les bases sont maîtrisées
Quelques exercices rapides pour passer du cours à l’action. L’objectif : réfléchir, répondre à la question, puis laisser l’IA te dire où tu en es et comment progresser.
On considère la suite \((a_n)_{n \ge 2}\) définie par \(a_n = \dfrac{n!}{(2n)!}\). Montrer que, pour tout entier \(n \ge 2\), on a \(a_n \le \dfrac{1}{n^2}\), puis conclure sur la nature de la série \(\sum_{n \ge 2} a_n\).
Glisse-dépose ta photo ici
ou clique pour choisir un fichier
Voir un corrigé possible
On écrit \[(2n)! = (n+1)(n+2)\cdots(2n)\, n!\] Ainsi
\[ a_n = \frac{n!}{(2n)!} = \frac{1}{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}. \]
Pour tout \(k = 1,\dots,n\), on a \(n+k \ge n\), donc \[(n+1)(n+2)\cdots(2n) \ge n^n\] d’où, pour \(n \ge 2\) \[a_n \le \dfrac{1}{n^n} \le \dfrac{1}{n^2}\]
Comme la série de référence \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) converge (série de Riemann de paramètre \(p = 2\)), la série \(\sum a_n\) converge par critère de comparaison par majoration.
On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1} \] Montrer que \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) sur un intervalle \(I\) à préciser.
Glisse-dépose ta photo ici
ou clique pour choisir un fichier
Voir un corrigé possible
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme quotient, dont le dénominateur ne s'annule pas, de fonctions qui le sont et on a : \[ \forall x \in \mathbb{R},\ f^{\prime}(x) =\frac{ \mathrm{e}^x \left( \mathrm{e}^x+1\right) -\left( \mathrm{e}^x-1\right) \mathrm{e}^x}{\left( \mathrm{e}^x+1\right)^2}= \frac{2 \, \mathrm{e}^x}{\left( \mathrm{e}^x+1\right)^2} \] donc, comme la fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) : \[ \forall x \in \mathbb{R},\ f^{\prime}(x) >0 \] Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). De plus \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) donc, d'après le théorème de la bijection, \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) sur \(f(\mathbb{R})\) et \(f(\mathbb{R}) = \left] \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x), \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) \right[\). Par ailleurs on a, sans indétermination : \[ \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\frac{0-1}{0+1}=-1 \] Enfin on a : \[ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x) =\frac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1} =\frac{\mathrm{e}^x \left( 1- \mathrm{e}^{-x} \right)}{\mathrm{e}^x \left( 1+ \mathrm{e}^{-x} \right)} = \frac{ 1- \mathrm{e}^{-x} }{ 1+ \mathrm{e}^{-x} } \] d'où, sans indétermination : \[ \lim _{x \rightarrow +\infty} f(x)= 1 \] ce qui nous permet de conclure que \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) sur \(]-1,1[\).
Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \[ g : x \mapsto \frac{x+1}{x^2+1} \]
Glisse-dépose ta photo ici
ou clique pour choisir un fichier
Voir un corrigé possible
Notons tout d'abord que \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\) comme fonction rationnelle bien définie, donc elle admet effectivement des primitives. De plus on a : \[ \forall x \in \mathbb{R},\ g(x) =\frac{x+1}{x^2+1} =\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1} \] soit encore, en notant \(u(x)=x^2+1\) : \[ \forall x \in \mathbb{R},\ g(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}+\frac{1}{x^2+1} \] Or \(\ln \lvert u \rvert\) est une primitive de \(\frac{u'}{u}\) et \(\arctan\) est une primitive de \(x\mapsto \frac{1}{x^2+1}\) donc une primitive de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) est, par exemple : \[ G : x \mapsto \frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right)+\arctan (x) \]
Un exercice sur un thème classique pour t’entraîner
Place maintenant tout en contexte avec un exercice d’annales choisi pour sa difficulté raisonnable et sa forte valeur d’entraînement. C’est l’occasion de tester ta compréhension, de te confronter à une vraie question de concours, et de profiter de l’aide de l’IA si tu en as besoin.
Mode 1 — Faire le sujet seul (avec aide ponctuelle).
Avance en autonomie, presque comme lors d’un devoir surveillé, et demande de l’aide uniquement
si tu bloques vraiment : idéal pour mesurer ton niveau réel.
Voir le corrigé complet (à n’ouvrir qu’après avoir vraiment essayé 😊)
Mode 2 — Faire le sujet avec l’assistant pas à pas.
Progresse question par question : tu expliques ta démarche, tu peux envoyer une photo de ta réponse,
et l’IA t’aide à t’améliorer avant de dévoiler le corrigé.