La bibliothèque numpy

On importe la bibliothèques numpy à l’aide de la commande

import numpy as np

Les nombres \( \mathrm{e} \) et \( \pi \)

• np.e : renvoie une valeur approchée du nombre réel \( \mathrm{e} \)
• np.pi : renvoie une valeur approchée du nombre réel \( \pi \)

Les fonctions usuelles

On suppose que x est une variable de type int ou float (donc contenant un nombre entier ou réel).

• np.floor(x) renvoie la partie entière de x
• np.sqrt(x) renvoie la racine carrée de x
• np.log(x) renvoie \( \ln(x) \)
• np.exp(x) renvoie \( \mathrm{e}^x \)
• np.sin(x) renvoie \( \sin(x) \)
• np.cos(x) renvoie \( \cos(x) \)
• np.abs(x) renvoie la valeur absolue de \( x \)

Définir une matrice

• np.array([p-liste]) renvoie un vecteur de longueur \( p \) dont les coefficients, numérotés à partir de 0, sont les éléments de la liste fournie
• np.array([[p-liste 0], [p-liste 1], …, [p-liste n-1]]) renvoie une matrice contenant \( n \) lignes (numérotées de \( 0 \) à \( n-1 \)) et \( p \) colonnes (numérotées de \( 0 \) à \( p-1 \)) et dont, pour tout entier \( i \) compris entre \( 0 \) et \( n-1 \), les coefficients de la ligne numéro \( i \) sont ceux de la p-liste numéro \( i \)
• np.zeros(n) renvoie un vecteur de longueur \( n \) dont les coefficients sont tous égaux à \( 0 \)
• np.zeros([n,p]) et np.zeros((n,p)) renvoient la matrice nulle de \( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) \)
• np.ones(n) renvoie un vecteur de longueur \( n \) dont les coefficients sont tous égaux à \( 1 \)
• np.ones([n,p]) et np.zeros((n,p)) renvoient la matrice de \( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) \) dont tous les coefficients sont égaux à \( 1 \)
• np.eye(n) renvoie la matrice identité de \( \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \)

Les opérations matricielles

• A+B (où \( A \) et \( B \) sont des matrices de même format) renvoie la somme \( A+ B \)
• A-B (où \( A \) et \( B \) sont des matrices de même format) renvoie la différence \( A- B \)
• A*x et x*A (où \( A \) est une matrice et \( x \) un réel) renvoient la matrice \( xA \)
• A+x (où \( A=(a_{i,j}) \) est une matrice et \( x \) est un réel) renvoie la matrice \( (a_{i,j} +x) \)
• A*B (où \( A=(a_{i,j} \) et \( B =( b_{i,j} \) sont des matrices de même format) renvoie la matrice \( (a_{i,j} b_{i,j}) \)
• np.transpose(A) renvoie la transposée de la matrice A
• np.dot(A,B) et A.dot(B) renvoient le produit matriciel \( AB \) si celui-ci est bien défini (une erreur sinon)
• np.shape(A) renvoie le format de A, i.e. le couple (n,p) où n est le nombre de lignes et p est le nombre de colonnes de A

Les deux commandes suivantes, a priori hors programme, sont également disponibles. Je les présente ici car elles figurent dans un formulaire proposé par la BCE et qui devrait être proposé aux étudiants pendant les concours.

• np.diag([n-liste]) renvoie la matrice diagonale de \( \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \) dont les coefficients sont les éléments de la liste fournie
• np.diag(A) (où A est un tableau numpy) renvoie le vecteur dont les coefficients sont les coefficients diagonaux de A

Utiliser des matrices ou des vecteurs dans des calculs

• np.sum(A) renvoie la somme de tous les coefficients de A
• np.sum(A,0) renvoie un vecteur dont les coefficients sont les sommes des coefficients de A, par colonnes : le coefficient numéro i est la somme des coefficients de la colonne numéro i de A
• np.sum(A,1) renvoie un vecteur dont les coefficients sont les sommes des coefficients de A, par lignes : le coefficient numéro i est la somme des coefficients de la ligne numéro i de A
• np.cumsum(A) (où \( A \) est une matrice) renvoie un vecteur vecteur dont les coefficients sont les sommes cumulées des coefficients de \( A \), dans l’ordre de lecture (dans le cas d’une matrice rectangulaire, l’ordre de lecture se fait une ligne après l’autre)
• np.prod(A) renvoie le produit de tous les coefficients de A
• np.max(A) renvoie le plus grand des coefficients de A
• np.min(A) renvoie le plus petit des coefficients de A
• np.mean(A) renvoie la moyenne des coefficients de A
• np.mean(A,0) renvoie un vecteur dont les coefficients sont les moyennes des coefficients de A, par colonnes : le coefficient numéro i est la moyenne des coefficients de la colonne numéro i de A
• np.mean(A,1) renvoie un vecteur dont les coefficients sont les moyennes des coefficients de A, par lignes : le coefficient numéro i est la moyenne des coefficients de la ligne numéro i de A
• np.var(A) renvoie la variance des coefficients de A
• np.std(A) renvoie l’écart-type des coefficients de A
• np.median(A) renvoie la médiane des coefficients de A

La bibliothèque numpy.linalg

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import numpy.linalg as al

• al.eig(A) renvoie un couple (D,P) où D est la liste des valeurs propres de A et P une matrice dont les colonnes sont des vecteurs propres de A, la colonne numéro i étant associée à la valeur propre D[i]
• al.inv(A) renvoie la matrice de la matrice A (si celle-ci est inversible, dans le cas contraire renvoie un message d’erreur)
• al.matrix_rank(A) renvoie le rang de la matrice A
• al.matrix_power(A,n) renvoie la matrice \( A^n \)
• al.solve(A,B) renvoie la solution de l’équation \( AX=B \) dans le cas où A est inversible