Systèmes différentiels
Système différentiel linéaire à coefficients constants : définitions
- On appelle système différentiel linéaire à coefficients constants tout système de la forme : \[ \begin{cases} x_1^{\prime} &=a_{1,1} x_1+a_{1,2} x_2+\cdots+a_{1, n} x_n \\ x_2^{\prime} &=a_{2,1} x_1+a_{2,2} x_2+\cdots+a_{2, n} x_n \\ & \ \vdots \\ x_n^{\prime} &=a_{n, 1} x_1+a_{n, 2} x_2+\cdots+a_{n, n} x_n \end{cases} \] dont les inconnues \(x_1, \ldots, x_n\) sont des fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\).
- La matrice du système est la matrice \(A=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) et le système peut donc aussi s’écrire \(X^{\prime}=A X\) (ou \(X^{\prime}(t)=A X(t)\) où \(X=\left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)\).
- Résoudre le système, c’est déterminer les fonctions dérivables \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) vérifiant le système.
Problème de Cauchy
Soit \(X_0 \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) et \(t_0 \in \mathbb{R}\).
L’équation différentielle \(X^{\prime}=A X\) admet une unique solution \(X\) telle que \(X\left(t_0\right)=X_0\).
Système différentiel linéaire à coefficients constants : solutions
On suppose que la matrice \(A\) est diagonalisable et on considère une base \(\left(U_1, \ldots, U_n\right)\) de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) formée de vecteurs propres de \(A\), respectivement associés aux valeurs propres \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\).
Le système différentiel linéaire à coefficients constants \(X^{\prime}=A X\) admet une infinité de solutions, qui sont les fonctions \(x_1, \ldots, x_n\) vérifiant : \[ \forall t \in \mathbb{R}, \ \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{pmatrix}=\alpha_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 t} \, U_1+\alpha_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 t} \, U_2+\cdots+\alpha_n \mathrm{e}^{\lambda_n t} \, U_n \] où \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) sont des réels quelconques.
Lien entre solutions d’une équation différentielle du second ordre et celles d’un système différentiel
Soit \((a, b)\) un couple de réels. On note \(A= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -b & -a \end{pmatrix}\).
Une fonction \(x\) deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0\) si et seulement si \( \begin{pmatrix} x \\ x’ \end{pmatrix}\) est solution du système différentiel \(X^{\prime}=A X\).
Trajectoires d’un système différentiel : définition
On appelle trajectoire du système différentiel \(X^{\prime}=A X\) tout ensemble \(\left\{\left(x_1(t), \ldots, x_n(t)\right), t \in \mathbb{R}\right\}\) où \(\left(x_1, \ldots, x_n\right)\) est une solution du système.
État d’équilibre d’un système différentiel : définition et propriétés
- On appelle état (ou solution) d’équilibre du système différentiel \(X^{\prime}=A X\) toute solution \(\left(x_1, \ldots, x_n\right)\) telle que \(x_1, \ldots, x_n\) soient des fonctions constantes.
- Les états d’équilibre du système différentiel \(X^{\prime}=A X\) sont donc les solutions de l’équation \(A X=0\).
- Par conséquent, si \(A\) est une matrice inversible, de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),(0, \ldots, 0)\) est l’unique état d’équilibre du système différentiel \(X^{\prime}=A X\).
Trajectoire convergente : définition et propriétés
Définition
On dit qu’une trajectoire \(\left\{\left(x_1(t), \ldots, x_n(t)\right), t \in \mathbb{R}\right\}\) du système différentiel \(X^{\prime}=A X\) est convergente si, pour tout \(i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right] \), la fonction \(x_i\) admet une limite finie \(\ell_i\) en \(+\infty\); on dit alors que la trajectoire converge vers \(\left(\ell_1, \ldots, \ell_n\right)\).
Propriétés
On suppose que la matrice \(A\) est diagonalisable.
- Si toutes les valeurs propres de \(A\) sont négatives ou nulles, alors toutes les trajectoires du système convergent vers un état d’équilibre, appelé état stable.
- Si \(A\) possède une valeur propre strictement positive, le système différentiel possède au moins une trajectoire divergente.