Intégrales impropres (Appli)

Soit \( a \) un réel.

• Si \( f \) une fonction continue sur \( [a,+\infty [ \), on dit que l’intégrale \( \displaystyle \int_a^{+ \infty} f(t) \,\mathrm{d}t \) est convergente si la fonction \( \displaystyle x\mapsto \int_a^{x} f(t)\, \,\mathrm{d}t \) admet une limite finie en \( +\infty \) et on note, dans ce cas : \[ \int_a^{+ \infty} f(t) \,\mathrm{d}t = \lim_{x \to +\infty} \int_a^{x} f(t)\, \,\mathrm{d}t \]
• Si \( f \) une fonction continue sur \( ]-\infty, a ] \), on dit que l’intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^a f(t) \,\mathrm{d}t \) est convergente si la fonction \( \displaystyle x\mapsto \int_x^{a} f(t)\, \,\mathrm{d}t \) admet une limite finie en \( -\infty \) et on note, dans ce cas : \[ \int_{- \infty}^a f(t) \,\mathrm{d}t = \lim_{x \to -\infty} \int_{-\infty}^{a} f(t)\, \,\mathrm{d}t \]

Soit \( f \) une fonction continue sur \( \mathbb{R} \).

S’il existe un réel \( c \) appartenant à \( \mathbb{R} \) tel que les intégrales \( \displaystyle \int_{-\infty}^c f(t) \, \mathrm{d} t \) et \( \displaystyle \int_c^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \) soient convergentes, alors la somme \( \displaystyle \int_{-\infty}^c f(t)\, \mathrm{d} t+\int_c^{+\infty} f(t)\, \mathrm{d} t \) est indépendante de \( c \). On dit dans ce cas que l’intégrale impropre \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \) converge et on note : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^c f(t) \, \mathrm{d} t+\int_c^{+\infty} f(t)\, \mathrm{d} t \] Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \) diverge.

Soit \( \alpha \in \mathbb{R} \).

L’intégrale impropre \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha t} \mathrm{~d} t \) est convergente si et seulement si \( \alpha>0 \) et : \[ \forall \alpha \in \mathbb{R}_{+}^*, \ \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{\alpha} \]

Soit \( \alpha \) un réel quelconque.

L’intégrale \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^\alpha} \) converge si et seulement si : \( \alpha>1 \).

Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur \( [a,+\infty[\) (\( a \in \mathbb{R} \)) et \( (\lambda, \mu) \) un couple de réels.

Si les intégrales \( \displaystyle \int_a^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \) et \( \displaystyle \int_a^{+\infty} g(t) \, \mathrm{d} t \) convergent, alors l’intégrale \( \displaystyle \int_a^{+\infty} \left[ \lambda f(t)+\mu g(t) \right] \mathrm{d} t \) est convergente et on a : \[ \int_a^{+\infty} \left[ \lambda f(t)+\mu g(t) \right] \mathrm{d} t=\lambda \int_a^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t+\mu \int_a^{+\infty} g(t) \, \mathrm{d} t \]

Les résultats sont analogues pour les intégrales sur \( ]-\infty,a ] \) (respectivement sur \( ]-\infty , +\infty [ \)) si \( f \) est continue sur \( ]-\infty,a ] \) (respectivement sur \( \mathbb{R} \)).

Soit \( a \) et \( b \) deux réels tels que \( a \leqslant b \) et \( f \) une fonction continue sur \( [a,+\infty [ \).

Si l’intégrale \( \displaystyle \int_a^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \) converge, alors : \[ \int_a^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t=\int_a^b f(t) \mathrm{d} t+\int_b^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \]

Les résultats sont analogues pour les intégrales sur \( ]-\infty,a ] \) (resp. sur \( ]-\infty,+\infty[ \)) si \( f \) est continue sur \( ]-\infty,a ] \) et \( b \leqslant a \) (resp. continue sur \( \mathbb{R} \)).

Soit \( a \) un réel et \( f \) une fonction continue sur \( [a,+\infty [ \) telle que l’intégrale \( \displaystyle \int_a^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \) converge.

• Si \( f \) est positive sur \( [a,+\infty[ \) alors : \[ \int_a^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \geqslant 0 \]
• Si \( f \) est positive, non constante nulle sur \( [ a, +\infty[ \), alors : \[ \int_a^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t>0 \]

Les résultats sont analogues pour les intégrales sur \( ]-\infty,a ] \) (respectivement sur \( ]-\infty , +\infty [ \)) si \( f \) est continue sur \( ]-\infty,a ] \) (respectivement sur \( \mathbb{R} \)).

Soit \( a \) un réel, \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur \( [ a, {+\infty}[ \) telles que : \[ \forall t \in \left[ a, +\infty \right[, \ f(t) \leqslant g(t) \]

Si les intégrales \( \displaystyle \int_a^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \) et \( \displaystyle \int_a^{+\infty} g(t) \, \mathrm{d} t \) convergent, alors : \[ \int_a^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \leqslant \int_a^{+\infty} g(t) \, \mathrm{d} t \]

Les résultats sont analogues pour les intégrales sur \( ]-\infty,a ] \) (respectivement sur \( ]-\infty , +\infty [ \)) si \( f \) est continue sur \( ]-\infty,a ] \) (respectivement sur \( \mathbb{R} \)).

Soit \( f \) une fonction continue sur \( \mathbb{R} \).

• Si \( f \) est paire, l’intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \) converge si et seulement si l’intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \) converge et, dans ce cas : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t=2 \int_0^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \]
• Si \( f \) est impaire, l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t) \, \mathrm{d} t \) converge si et seulement si l’intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \) converge et, dans ce cas: \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t=0 \]

• Soit \( a \) un réel. Si\( f \) est une fonction continue et positive sur \( [a, +\infty[ \) alors l’intégrale \( \displaystyle \int_a^{+\infty} f(t) \, \mathrm{d} t \) converge si et seulement si la fonction \( \displaystyle x \mapsto \int_a^x f(t) \, \mathrm{d} t \) est majorée sur \( [a, {+\infty}[ \).
• Si \( f \) est une fonction continue et positive sur \( ]-\infty,a ] \), alors l’intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^a f(t) \, \mathrm{d} t \) converge si et seulement si la fonction \( \displaystyle x \mapsto \int_x^a f(t) \, \mathrm{d} t \) est majorée sur \( ] -\infty, a] \).

Les résultats sont présentés pour des intégrales fonctions continues sur \( [a,+ \infty[ \) ; ils sont évidemment analogues dans le cas de fonctions continues sur \( ]-\infty , a ] \) ou \( \mathbb{R} \).