Fonctions : limites et continuité (Appli)
Limites
Limite d’une fonction : définitions (limite finie, infinie, en un point de ( mathbb{R} ), en ( pm infty))
Limite en un point
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \), à valeurs dans \( \mathbb{R} \), \( a \) un élément de \( I \) et \( \ell \) un réel.
- On dit que \( f(x) \) tend vers \( \ell \) quand \( x \) tend vers \( a \) et on note \( \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \ell \) si : \[ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*,\ \exists \alpha \in \mathbb{R}_+^*,\ \forall x \in \left] a- \alpha , a + \alpha \right[ \cap I,\ \left| f(x) – f(a) \right| < \varepsilon \]
- On dit que \( f(x) \) tend vers \( \ell \) quand \( x \) tend vers \( a \) à gauche (ou par valeurs inférieures) et on note \( \displaystyle \lim_{x \to a^- } f(x) = \ell \) si : \[ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*,\ \exists \alpha \in \mathbb{R}_+^*,\ \forall x \in \left] a- \alpha , a \right] \cap I,\ \left| f(x) – f(a) \right| < \varepsilon \]
- On dit que \( f(x) \) tend vers \( \ell \) quand \( x \) tend vers \( a \) à droite (ou par valeurs supérieures) et on note \( \displaystyle \lim_{x \to a^+ } f(x) = \ell \) si : \[ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*,\ \exists \alpha \in \mathbb{R}_+^*,\ \forall x \in \left[ a , a + \alpha \right[ \cap I,\ \left| f(x) – f(a) \right| < \varepsilon \]
- On dit que \( f(x) \) tend vers \( +\infty \) quand \( x \) tend vers \( a \) et on note \( \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = +\infty \) si : \[ \forall A \in \mathbb{R},\ \exists \alpha \in \mathbb{R}_+^*,\ \forall x \in \left] a- \alpha , a + \alpha \right[ \cap I,\ f(x) > A \]
- On dit que \( f(x) \) tend vers \( -\infty \) quand \( x \) tend vers \( a \) et on note \( \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty \) si : \[ \forall A \in \mathbb{R},\ \exists \alpha \in \mathbb{R}_+^*,\ \forall x \in \left] a- \alpha , a + \alpha \right[ \cap I,\ f(x) < A \]
Limite en \( + infty \)
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I= \left[ a,+\infty \right[ \) de \( \mathbb{R} \), à valeurs dans \( \mathbb{R} \) et \( \ell \) un réel.
- On dit que \( f(x) \) tend vers \( \ell \) quand \( x \) tend vers \( +\infty \) et on note \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = \ell \) si : \[ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*,\ \exists x_0 \in I,\ \forall x \geqslant x_0,\ \left| f(x) – f(a) \right| < \varepsilon \]
- On dit que \( f(x) \) tend vers \( +\infty \) quand \( x \) tend vers \( +\infty \) et on note \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = +\infty \) si : \[ \forall A \in \mathbb{R},\ \exists x_0 \in I,\ \forall x \geqslant x_0,\ f(x) > A \]
- On dit que \( f(x) \) tend vers \( -\infty \) quand \( x \) tend vers \( +\infty \) et on note \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = -\infty \) si : \[ \forall A \in \mathbb{R},\ \exists x_0 \in I,\ \forall x \geqslant x_0,\ f(x) < A \]
Limite en \( – infty \)
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I= \left] -\infty, a \right] \) de \( \mathbb{R} \), à valeurs dans \( \mathbb{R} \) et \( \ell \) un réel.
- On dit que \( f(x) \) tend vers \( \ell \) quand \( x \) tend vers \( -\infty \) et on note \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = \ell \) si : \[ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*,\ \exists x_0 \in I,\ \forall x \leqslant x_0,\ \left| f(x) – f(a) \right| < \varepsilon \]
- On dit que \( f(x) \) tend vers \( +\infty \) quand \( x \) tend vers \( -\infty \) et on note \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = +\infty \) si : \[ \forall A \in \mathbb{R},\ \exists x_0 \in I,\ \forall x \leqslant x_0,\ f(x) > A \]
- On dit que \( f(x) \) tend vers \( -\infty \) quand \( x \) tend vers \( -\infty \) et on note \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = -\infty \) si : \[ \forall A \in \mathbb{R},\ \exists x_0 \in I,\ \forall x \leqslant x_0,\ f(x) < A \]
Opérations compatibles avec la limite sans indétermination
Soit \( L,L’ \) deux réels, \( a \in \mathbb{R} \cup \{ – \infty, + \infty \} \) et \( f, g \) deux fonctions définies au voisinage de \( a \).
Addition
\[ \begin{array}{| l | c | c | c | c |c |c |}\hline \lim\limits_{x \to a} f(x) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L & L & L & -\infty & +\infty & +\infty \\\hline \lim\limits_{x \to a } g(x) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L’ & -\infty & +\infty & -\infty & +\infty & -\infty \\\hline \lim\limits_{ x \to a } \left[ f(x) + g(x) \right]= \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& L + L’ & -\infty & +\infty & -\infty & +\infty & ? \\\hline \end{array}\]
Multiplication par un réel
\[ \begin{array}{| l | c | c | c |} \hline \lim\limits_{x \to a} f(x) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L & -\infty & +\infty \\ \hline \text{Si } \lambda>0 \text{ alors } \lim\limits_{x \to a} \lambda f(x) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& \lambda L & -\infty & +\infty \\ \hline \text{Si } \lambda>0 \text{ alors }\lim\limits_{x \to a} \lambda f(x) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& \lambda L & +\infty & -\infty \\ \hline \text{Si } \lambda =0 \text{ alors } \lim\limits_{x \to a} \lambda f(x) = \rule[-12pt]
Multiplication
\[ \begin{array}{| l | c | c | c | c |c | c | c | c | c |} \hline \lim\limits_{x \to a} f(x) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L & L>0 & L<0 & L>0 & L<0 & L=0 & -\infty & +\infty & +\infty \\ \hline \lim\limits_{x \to a } g(x) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L’ & -\infty &-\infty & +\infty & +\infty & \pm \infty & -\infty & +\infty & -\infty \\ \hline \lim\limits_{x \to a} f(x) \, g(x) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& L L’ & -\infty & +\infty & +\infty & -\infty & ? & +\infty & +\infty & -\infty \\ \hline \end{array} \]
Quotient (si la fonction \( f \) ne s’annule pas au voisinage de \( a \))
- \[ \begin{array}{| l | c | c | c | c |c | c | c | c | } \hline \lim\limits_{x \to a} f(x) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L & L & L & -\infty & -\infty & +\infty & +\infty & \pm \infty \\ \hline \lim\limits_{x \to a } g(x) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L’ \neq 0 & -\infty &+\infty & L’>0 & L'<0 & L’>0 & L'<0 & \pm \infty \\ \hline \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& \dfrac{L}{L’} & 0 & 0 & -\infty & +\infty & +\infty & -\infty & ? \\ \hline \end{array} \]
- \[ \begin{array}{| l | c | c | c | c |c | c | c | c | c |} \hline \lim\limits_{x \to a} f(x) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & L>0 & L>0 & L<0 & L<0 & L=0 & -\infty & -\infty & +\infty & +\infty \\ \hline \lim\limits_{x \to a } g(x) = \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & 0^+ & 0^- & 0^+ & 0^- & L’=0 & 0^+ & 0^- & 0^+ & 0^- \\ \hline \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \rule[-12pt]{0pt}{30pt}& +\infty & -\infty & -\infty & +\infty & ? & -\infty & +\infty & +\infty & -\infty \\ \hline \end{array} \]
Composition
Si \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = b \in \overline{ \mathbb{R}} \) et si \( \displaystyle \lim_{x\to b} g(x) = c\in \overline{ \mathbb{R}} \)alors : \[ \lim\limits_{x \to a} ( g \circ f)(x) = c \]
Les grands théorèmes
Soit \( a \) et \( \ell \) deux éléments de \( \mathbb{R} \cup \{ – \infty, + \infty \} \) et \( f, g,h \) trois fonctions définies sur un intervalle \( I \) contenant \( a \) ou dont \( a \) est une borne.
Théorème de l’encadrement
Si les fonction \( f,g,h \) vérifient : \[ \forall x\in I,\ f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) \] et si \( \displaystyle \lim_{x\to a } f(x) = \lim_{x\to a } h(x) = \ell \) alors : \[ \lim_{x\to a} g(x) = \ell \]
Théorème de prolongement des inégalités
On suppose que \( f \) et \( g \) vérifient : \[ \forall x\in I,\ f(x) \leqslant g(x) \].
- Si \( \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \ell \in \mathbb{R} \) et \( \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) = \ell’ \in \mathbb{R} \), alors \( \ell \leqslant \ell ‘ \)
- Si \( \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = +\infty \), alors \( \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) = +\infty\)
- Si \( \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) = -\infty \), alors \( \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty\)
Théorème de la limite monotone
Si \( f \) est monotone sur \( ]a,b[ \) alors \( f \) a une limite (finie ou infinie) en \( a \) à droite et en \( b \) à droite.
Continuité
Continuité : définitions
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \), à valeurs dans \( \mathbb{R} \), et \( a \) un élément de \( I \).
- On dit que \( f \) est continue en \( a \) si \( \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \).
- On dit que \( f \) est continue à gauche en \( a \) si \( \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x) = f(a) \).
- On dit que \( f \) est continue à droite en \( a \) si \( \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) = f(a) \).
- On dit que \( f \) est continue sur \( I \) si elle est continue en tout point de \( I \).
Différence entre fonction continue en \( a \) et fonction prolongeable par continuité en \( a \)
- Une fonction \( f \) est continue en \( a \) si elle est définie au voisinage de \( a \) ET en \( a \) et si \( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).
- Une fonction \( f \) est prolongeable par continuité en \( a \) si elle est définie au voisinage de \( a \) MAIS PAS en \( a \) et si \( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) \in \mathbb{R} \).
Opérations sur les fonctions continues
- La somme, le produit, le quotient (dont le dénominateur ne s’annule pas sur \( I \)) de fonctions continues sur \( I \) est une fonction continue sur \( I \).
- Si \( f \) est une fonction continue sur \( I \), à valeurs dans \( J \) (\( I \) et \( J \) intervalles de \( \mathbb{R} \)), et si \( g \) est une fonction continue sur \( J \) et à valeurs dans \( \mathbb{R} \), alors \( g \circ f \) est continue sur \( I \).
Les grands théorèmes
Théorème des valeurs intermédiaires
Si \( f \) est une fonction continue sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \) et si \( a \) et \( b \) sont deux éléments de \( I \), alors, pour tout réel \( d \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \), il existe au moins un réel \( c \) compris entre \( a \) et \( b \) tel que : \( f(x)=d \).
En particulier, si \( f \) est une fonction continue et changeant de signe sur \( I \), alors \( f \) s’annule au moins une fois sur \[ I \).
Théorème des bornes atteintes
L’image d’un segment par une fonction continue est un segment. Par conséquent, toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes, i.e. admet un maximum et un minimum globaux.
Théorème de la bijection
Si \( f \) est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \) (dont les bornes, finies ou infinies, sont notées \( a \) et \( b \) ), alors \( f \) réalise une bijection de \( I \) sur \( f(I) \) et \( f(I) \) est un intervalle de même nature que \( I \) (ouvert, fermé, semi-ouvert) dont les bornes sont les limites respectives de \( f \) en \( a \) et en \( b \).
Si \( f \) est une fonction bijective continue et strictement monotone de \( I \) sur \( J \), alors :
- la monotonie de \( f^{-1} \) sur \( J \) est la même que celle de \( f \) sur \( I \),
- \( f^{-1} \) est continue sur \( J \).