Fonctions : dérivation (Appli)

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Dans toute ce chapitre et sauf mention contraire, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point et $a$ un élément de $I$ . Toutes les fonctions envisagées sont supposées définies sur un voisinage de $a$ .

Dérivabilité en un point : définitions et interprétation graphique

Définitions

Soit $f$ une fonction définie sur $I$ .

Si $a \in \stackrel{\circ}{I}$ , on dit que $f$ est dérivable en $a$ si la fonction $x \mapsto \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie en $a$ ; dans ce cas, cette limite est notée $f^{\prime}(a)$ et appelée nombre dérivé de $f$ en $a$ : $f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
On dit que $f$ est dérivable à droite en $a$ si la fonction $x \mapsto \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie à droite en $a$ ; dans ce cas, cette limite est notée $f_d^{\prime}(a)$ et appelée nombre dérivé à droite de $f$ en $a$ : $f_d^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
On dit que $f$ est dérivable à gauche en $a$ si la fonction $x \mapsto \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie à gauche en $a$ ; dans ce cas, cette limite est notée $f_g^{\prime}(a)$ et appelée nombre dérivé à gauche de $f$ en $a$ : $f_g^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ est dérivable en tout point $a$ de $I$ (à droite uniquement si $a$ est la borne inférieure de $I$ , à gauche uniquement si $a$ est la borne supérieure de $I$ ); dans ce cas, la fonction $x \mapsto f^{\prime}(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$ .

Interprétation graphique

On munit le plan d’un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Si $f$ est dérivable en $a$ , la droite d’équation $y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$ est appelé tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ .
Si $a \in \stackrel{\circ}{I}$ et $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell \in\{-\infty,+\infty\}$ , on dit que la droite d’équation $x=f(a)$ est une tangente verticale à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ .
Si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell \in\{-\infty,+\infty\}$ ou $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow a}} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell \in\{-\infty,+\infty\}$ , on dit que la droite d’équation $x=f(a)$ est une demi-tangente verticale (à gauche ou à droite) à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ .

Lien entre continuité en

$a$ et dérivabilité en

$a$

Si $f$ est une fonction dérivable en $a \in I$ , alors $f$ est continue en $a$ .

Opérations sur les fonctions dérivables (somme, produit, quotient, composée, réciproque)

Soit $f$ et $g$ des fonctions dérivables sur $I$ et $h$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ .

Pour tout réel $\lambda$ , $\lambda f$ est dérivable sur $I$ et : $(\lambda f)^{\prime}=\lambda f^{\prime}$
$f+g$ est dérivable sur $I$ et : $(f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime}$ $f \times g$ est dérivable sur $I$ et : $(f \times g)^{\prime}=f^{\prime} \times g+f \times g^{\prime}$ `
Si $g$ ne s’annule pas sur $I$ , alors $\dfrac{1}{g}: x \mapsto \dfrac{1}{g(x)}$ est dérivable sur $I$ et : $\left(\frac{1}{g}\right)^{\prime}=-\frac{g^{\prime}}{g^2}$
Si $g$ ne s’annule pas sur $I$ , alors $\dfrac{f}{g}: x \mapsto \dfrac{f(x)}{g(x)}$ est dérivable sur $I$ et : $\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime} \times g-f \times g^{\prime}}{g^2}$
Si $f$ est dérivable sur $I$ et prend ses valeurs dans $J$ et si $h$ est dérivable sur $J$ , alors $h \circ f$ est dérivable sur $I$ et : $(h \circ f)^{\prime}=f^{\prime} \times h^{\prime} \circ f$
Si $f$ est une fonction bijective de $I$ sur $J$ , si $f$ est dérivable en $x_0 \in I$ et si $f^{\prime}(x_0) \neq 0$ , alors sa réciproque $f^{-1}$ est dérivable en $y_0=f(x_0)$ et : $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y_0)=\frac{1}{f^{\prime} \circ f^{-1}(y_0)}$

Dérivées des fonctions usuelles

Dans le tableau suivant, $f$ est une fonction dérivable en tout point d’une partie $D$ de $\mathbb{R}$ , $f^{\prime}$ désigne la dérivée de $f$ sur $D$ et $c$ une constante réelle.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \boldsymbol{f} & \boldsymbol{f}^{\prime} & \boldsymbol{D} \\ \hline x \mapsto c & x \mapsto 0 & \mathbb{R} \\ \hline x \mapsto x^n \ \ (n \in \mathbb{N}^*) & x \mapsto n x^{n-1} & \mathbb{R} \\ \hline x \mapsto \dfrac{1}{x} & x \mapsto-\dfrac{1}{x^2} & \mathbb{R}^* \\ \hline x \mapsto x^n \ \ (n \in \mathbb{Z}^*) & x \mapsto n x^{n-1} & \mathbb{R}^* \\ \hline x \mapsto x^\alpha \ \ (\alpha \in \mathbb{R}) & x \mapsto \alpha x^{\alpha-1} & \mathbb{R}_+^* \\ \hline x \mapsto \sqrt{x} & x \mapsto \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} & \mathbb{R}_{+}^* \\ \hline \end{array}$

Condition nécessaire d’extremum local pour une fonction dérivable

Si $f$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert $] a, b[$ et si $f$ admet un extremum local en $c \in \left] a, b \right[$ , alors : $f^{\prime}(c)=0$

Inégalités des accroissements finis

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $] a, b[$ .

Si : $\forall x \in \left] a, b\right[, \ m \leqslant f^{\prime}(x)$ , alors : $m \leqslant \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .
Si : $\forall x \in \left] a, b\right[, \ f^{\prime}(x) \leqslant M$ , alors : $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant M$ .
Si : $\forall x \in \left] a, b\right[, \ m \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant M$ , alors : $m \leqslant \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant M$ .
Si : $\forall x \in \left] a, b\right[, \ \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ , alors : $\left|\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\right| \leqslant M$ .

Sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle

Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$ et dérivable sur $\stackrel{\circ}{I}$ .

$f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}$ est constante nulle sur $\stackrel{\circ}{I}$ ,
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}$ est positive ou nulle sur $\stackrel{\circ}{I}$ ,
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}$ est négative ou nulle sur $\stackrel{\circ}{I}$ .
Si $f$ est une fonction monotone sur $I$ , dérivable sur $\stackrel{\circ}{I}$ , alors $f$ est strictement monotone sur $I$ si et seulement si l’ensemble des points en lesquels $f^{\prime}$ s’annule est fini ou dénombrable.

Fonctions de classe

$\mathcal{C}^1$ : définition et propriétés

Définition

Soit $f$ une continue définie sur $I$ . On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ si $f$ est continue et dérivable sur $I$ et si $f^{\prime}$ est continue sur $I$ .

Propriétés

Les fonctions polynômes, rationnelles et trigonométriques (cos, sin et tan) sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur leurs domaines de définition respectifs.

La fonction $t \mapsto \sqrt{t}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_{+}^*$ .

Soit $n$ un entier naturel, $f$ et $g$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et $h$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $J$ .

Pour tout réel $\lambda, \lambda f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ . $f+g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ .
$f \times g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ .
Si $g$ ne s’annule pas sur $I$ , alors $\frac{1}{g}: x \mapsto \dfrac{1}{g(x)}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ .
Si $g$ ne s’annule pas sur $I$ , alors $\frac{f}{g}: x \mapsto \dfrac{f(x)}{g(x)}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ .
Si $f$ est dérivable sur $I$ et prend ses valeurs dans $J$ et si $h$ est dérivable sur $J$ , alors $h \circ f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ .

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