Fonctions : dérivation (Appli)
Dans toute ce chapitre et sauf mention contraire, \( I \) est un intervalle de \( \mathbb{R} \) non réduit à un point et \( a \) un élément de \( I \). Toutes les fonctions envisagées sont supposées définies sur un voisinage de \( a \).
Dérivabilité en un point : définitions et interprétation graphique
Définitions
Soit \( f \) une fonction définie sur \( I \).
- Si \( a \in \stackrel{\circ}{I} \), on dit que \( f \) est dérivable en \( a \) si la fonction \( x \mapsto \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \) admet une limite finie en \( a \); dans ce cas, cette limite est notée \( f^{\prime}(a) \) et appelée nombre dérivé de \( f \) en \( a \) : \[ f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \]
- On dit que \( f \) est dérivable à droite en \( a \) si la fonction \( x \mapsto \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \) admet une limite finie à droite en \( a \); dans ce cas, cette limite est notée \( f_d^{\prime}(a) \) et appelée nombre dérivé à droite de \( f \) en \( a \) : \[ f_d^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \]
- On dit que \( f \) est dérivable à gauche en \( a \) si la fonction \( x \mapsto \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \) admet une limite finie à gauche en \( a \); dans ce cas, cette limite est notée \( f_g^{\prime}(a) \) et appelée nombre dérivé à gauche de \( f \) en \( a \) : \[ f_g^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \]
- On dit que \( f \) est dérivable sur \( I \) si \( f \) est dérivable en tout point \( a \) de \( I \) (à droite uniquement si \( a \) est la borne inférieure de \( I \), à gauche uniquement si \( a \) est la borne supérieure de \( I \)); dans ce cas, la fonction \( x \mapsto f^{\prime}(x) \) est appelée fonction dérivée de \( f \).
Interprétation graphique
On munit le plan d’un repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).
- Si \( f \) est dérivable en \( a \), la droite d’équation \( y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a) \) est appelé tangente à la courbe représentative de \( f \) au point d’abscisse \( a \).
- Si \( a \in \stackrel{\circ}{I} \) et \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell \in\{-\infty,+\infty\} \), on dit que la droite d’équation \( x=f(a) \) est une tangente verticale à la courbe représentative de \( f \) au point d’abscisse \( a \).
- Si \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell \in\{-\infty,+\infty\} \) ou \( \displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow a}} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell \in\{-\infty,+\infty\} \), on dit que la droite d’équation \( x=f(a) \) est une demi-tangente verticale (à gauche ou à droite) à la courbe représentative de \( f \) au point d’abscisse \( a \).
Lien entre continuité en \( a \) et dérivabilité en \( a \)
Si \( f \) est une fonction dérivable en \( a \in I \), alors \( f \) est continue en \( a \).
Opérations sur les fonctions dérivables (somme, produit, quotient, composée, réciproque)
Soit \( f \) et \( g \) des fonctions dérivables sur \( I \) et \( h \) une fonction dérivable sur un intervalle \( J \).
- Pour tout réel \( \lambda\), \( \lambda f \) est dérivable sur \( I \) et : \[ (\lambda f)^{\prime}=\lambda f^{\prime} \]
- \( f+g \) est dérivable sur \( I \) et : \[ (f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime} \] \( f \times g \) est dérivable sur \( I \) et : \[ (f \times g)^{\prime}=f^{\prime} \times g+f \times g^{\prime} \] `
- Si \( g \) ne s’annule pas sur \( I \), alors \( \dfrac{1}{g}: x \mapsto \dfrac{1}{g(x)} \) est dérivable sur \( I \) et : \[ \left(\frac{1}{g}\right)^{\prime}=-\frac{g^{\prime}}{g^2} \]
- Si \( g \) ne s’annule pas sur \( I \), alors \( \dfrac{f}{g}: x \mapsto \dfrac{f(x)}{g(x)} \) est dérivable sur \( I \) et : \[ \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime} \times g-f \times g^{\prime}}{g^2} \]
- Si \( f \) est dérivable sur \( I \) et prend ses valeurs dans \( J \) et si \( h \) est dérivable sur \( J \), alors \( h \circ f \) est dérivable sur \( I \) et : \[ (h \circ f)^{\prime}=f^{\prime} \times h^{\prime} \circ f \]
- Si \( f \) est une fonction bijective de \( I \) sur \( J \), si \( f \) est dérivable en \(x_0 \in I \) et si \( f^{\prime}(x_0) \neq 0 \), alors sa réciproque \( f^{-1} \) est dérivable en \( y_0=f(x_0) \) et : \[ \left(f^{-1}\right)^{\prime}(y_0)=\frac{1}{f^{\prime} \circ f^{-1}(y_0)} \]
Dérivées des fonctions usuelles
Dans le tableau suivant, \( f \) est une fonction dérivable en tout point d’une partie \( D \) de \( \mathbb{R} \), \( f^{\prime} \) désigne la dérivée de \( f \) sur \( D \) et \( c \) une constante réelle.
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \boldsymbol{f} & \boldsymbol{f}^{\prime} & \boldsymbol{D} \\ \hline x \mapsto c & x \mapsto 0 & \mathbb{R} \\ \hline x \mapsto x^n \ \ (n \in \mathbb{N}^*) & x \mapsto n x^{n-1} & \mathbb{R} \\ \hline x \mapsto \dfrac{1}{x} & x \mapsto-\dfrac{1}{x^2} & \mathbb{R}^* \\ \hline x \mapsto x^n \ \ (n \in \mathbb{Z}^*) & x \mapsto n x^{n-1} & \mathbb{R}^* \\ \hline x \mapsto x^\alpha \ \ (\alpha \in \mathbb{R}) & x \mapsto \alpha x^{\alpha-1} & \mathbb{R}_+^* \\ \hline x \mapsto \sqrt{x} & x \mapsto \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} & \mathbb{R}_{+}^* \\ \hline \end{array} \]
Condition nécessaire d’extremum local pour une fonction dérivable
Si \( f \) est une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert \( ] a, b[ \) et si \( f \) admet un extremum local en \( c \in \left] a, b \right[ \), alors : \[ f^{\prime}(c)=0 \]
Inégalités des accroissements finis
Soit \( f \) une fonction continue sur \( [a, b] \) et dérivable sur \( ] a, b[ \).
- Si : \( \forall x \in \left] a, b\right[, \ m \leqslant f^{\prime}(x) \), alors : \( m \leqslant \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \).
- Si : \( \forall x \in \left] a, b\right[, \ f^{\prime}(x) \leqslant M \), alors : \( \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant M \).
- Si : \( \forall x \in \left] a, b\right[, \ m \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant M \), alors : \( m \leqslant \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant M \).
- Si : \( \forall x \in \left] a, b\right[, \ \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M \), alors : \( \left|\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\right| \leqslant M \).
Sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle
Soit \( f \) une fonction continue sur l’intervalle \( I \) et dérivable sur \( \stackrel{\circ}{I} \).
- \( f \) est constante sur \( I \) si et seulement si \( f^{\prime} \) est constante nulle sur \( \stackrel{\circ}{I} \),
- \( f \) est croissante sur \( I \) si et seulement si \( f^{\prime} \) est positive ou nulle sur \( \stackrel{\circ}{I} \),
- \( f \) est décroissante sur \( I \) si et seulement si \( f^{\prime} \) est négative ou nulle sur \( \stackrel{\circ}{I} \).
- Si \( f \) est une fonction monotone sur \( I \), dérivable sur \( \stackrel{\circ}{I} \), alors \( f \) est strictement monotone sur \( I \) si et seulement si l’ensemble des points en lesquels \( f^{\prime} \) s’annule est fini ou dénombrable.
Fonctions de classe \( \mathcal{C}^1 \) : définition et propriétés
Définition
Soit \( f \) une continue définie sur \( I \). On dit que \( f \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( I \) si \( f \) est continue et dérivable sur \( I \) et si \( f^{\prime} \) est continue sur \( I \).
Propriétés
Les fonctions polynômes, rationnelles et trigonométriques (cos, sin et tan) sont de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur leurs domaines de définition respectifs.
La fonction \( t \mapsto \sqrt{t} \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathbb{R}_{+}^* \).
Soit \( n \) un entier naturel, \( f \) et \( g \) des fonctions de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( I \) et \( h \) une fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur un intervalle \( J \).
- Pour tout réel \( \lambda, \lambda f \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( I \). \( f+g \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( I \).
- \( f \times g \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( I \).
- Si \( g \) ne s’annule pas sur \( I \), alors \( \frac{1}{g}: x \mapsto \dfrac{1}{g(x)} \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( I \).
- Si \( g \) ne s’annule pas sur \( I \), alors \( \frac{f}{g}: x \mapsto \dfrac{f(x)}{g(x)} \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( I \).
- Si \( f \) est dérivable sur \( I \) et prend ses valeurs dans \( J \) et si \( h \) est dérivable sur \( J \), alors \( h \circ f \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( I \).