Fonctions : généralités (Appli)

• Définition. On dit que \( f \) est majorée sur \( D \) s’il existe un réel \( M \) tel que : \[ \forall x \in D,\ f(x) \leqslant M \]
• Théorème. Si \( f \) est majorée sur \( D \), le plus petit de ses majorants est appelé borne supérieure de \( f \) et noté \( \sup\limits_{D} (f) \)

• Définition. On dit que \( f \) est minorée sur \( D \) s’il existe un réel \( m \) tel que : \[ \forall x \in D,\ f(x) \geqslant m \]
• Théorème. Si \( f \) est minorée sur \( D \), le plus grand de ses minorants est appelé borne inférieure de \( f \) et noté \( \inf\limits_{D} (f) \)

• Définition. On dit que \( f \) a un maximum \( M \) sur \( D \) s’il existe \( a \in D \) tel que \( f(a) = M \) et : \[ \forall x\in D,\ f(x) \leqslant f(a) \]
• Notation. Lorsqu’il existe, le maximum de \( f \) sur \( D \) est noté \( \max\limits_{D} (f ) \)
• Propriété. Si \( f \) a un maximum sur \( D \) alors \( \sup\limits_{D} (f) = \max\limits_{D} (f) \)

• Définition. On dit que \( f \) a un minimum \( m \) sur \( D \) s’il existe \( a \in D \) tel que \( m=f(a) \) et : \[ \forall x\in D,\ f(x) \geqslant f(a) \]
• Notation. Lorsqu’il existe, le minimum de \( f \) sur \( D \) est noté \( \min\limits_{D} (f ) \)
• Propriété. Si \( f \) a un minimum sur \( D \) alors \( \inf\limits_{D} (f) = \min\limits_{D} (f) \)

• On dit que \( f \) est croissante sur \( D \) si : \[ \forall (x,y) \in D^2,\ x \leqslant y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y) \]
• On dit que \( f \) est strictement croissante sur \( D \) si : \[ \forall (x,y) \in D^2,\ x < y \Rightarrow f(x) < f(y) \]
• On dit que \( f \) est décroissante sur \( D \) si : \[ \forall (x,y) \in D^2,\ x \leqslant y \Rightarrow f(x) \geqslant f(y) \]
• On dit que \( f \) est strictement décroissante sur \( D \) si : \[ \forall (x,y) \in D^2,\ x < y \Rightarrow f(x) > f(y) \]
• On dit que \( f \) est monotone sur \( D \) si elle est croissante ou décroissante
• On dit que \( f \) est strictement monotone sur \( D \) si elle est strictement croissante ou strictement décroissante

• La somme de deux fonctions croissantes (respectivement de deux fonctions décroissantes) est une fonction croissante (respectivement décroissante)
• La somme d’une fonction croissante et d’une fonction strictement croissante est une fonction strictement croissante
• Si \( f \) est strictement croissante sur \( D \) alors : \[ x \leqslant y \Leftrightarrow f(x) \leqslant f(y) \]
• Si \( f \) est strictement croissante sur \( D \) alors : \[ x \leqslant y \Leftrightarrow f(x) \geqslant f(y) \]

• Définition. On dit que \( f \) est paire sur \( D \) si \( D \) est centré en \( 0 \) (c’est-à-dire si \( x \in D \Rightarrow -x \in D \)) et si : \[ \forall x \in D,\ f(-x) = f(x) \]
• Propriété. Si \( f \) est paire, son graphe dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

• Définition. On dit que \( f \) est impaire sur \( D \) si \( D \) est centré en \( 0 \) (c’est-à-dire si \( x \in D \Rightarrow -x \in D \)) et si : \[ \forall x \in D,\ f(-x) = -f(x) \]
• Propriété. Si \( f \) est impaire, son graphe dans un repère orthonormal est symétrique par rapport l’origine.

• On dit que \( f \) est convexe sur \( I \) si : \[ \forall(x, y) \in I^2, \ \forall \lambda \in[0,1], \ f(\lambda x+(1-\lambda) y) \leqslant \lambda f(x)+(1-\lambda) f(y) \]
• On dit que \( f \) est concave sur \( I \) si \( -f \) est convexe, c’est-à-dire si : \[ \forall(x, y) \in I^2, \ \forall \lambda \in[0,1], \ f(\lambda x+(1-\lambda) y) \geqslant \lambda f(x)+(1-\lambda) f(y) \]
• Si \( a \in I \), on dit que le point de coordonnées \( (a,f(a)) \) est un point d’inflexion, s’il existe un réel \( \alpha \) tel que \( f \) soit convexe sur \( [a-\alpha,a] \) et concave sur \( [a,a+\alpha] \) ou concave sur \( [a-\alpha,a] \) et convexe sur \( [a,a+\alpha] \).

• Si \( f \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( I \), \( f \) est convexe sur \( I \) si et seulement si \( f’ \) est croissante sur \( I \).
• Si \( f \) est de classe \( \mathcal{C}^2 \) sur \( I \), \( f \) est convexe sur \( I \) si et seulement si \( f” \) est positive sur \( I \).

• Interprétation graphique de la définition. \( f \) est convexe sur \( I \) si et seulement si son graphe est en dessous de ses cordes et concave si son graphe est au dessus de ses cordes.
• Dans le cas où \( f \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( I \), \( f \) est convexe sur \( I \) si et seulement si son graphe est au dessus de ses tangentes.
• Inégalité de Jensen. Si \( f \) est convexe sur \( I \) alors, pour tout \( n \in \mathbb{N}^*\), pour tout \( \left(x_1, \ldots, x_n\right) \in I^n \) et pour tout \( \left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right) \in\left(\mathbb{R}^{+}\right)^n\) tel que \( \displaystle \sum_{k=1}^n \lambda_k=1 \), on a : \[ f \! \left(\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k\right) \leqslant \sum_{k=1}^n \lambda_k f(x_k) \]

La fonction valeur absolue est la fonction de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \), notée \( \left| \cdot \right| \) définie par : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \ \left| x \right| = \begin{cases} x & \text { si } x \geqslant 0 \\ -x & \text { si } x<0 \end{cases}\]

Soit \( x \) et \( y \) deux réels.

• \( \left| x \right| \geqslant 0 \) \( \left| x \right| = 0 \Leftrightarrow x=0 \)
• \( \left| xy \right| = \left| x \right| \left| y \right| \)
• Inégalité triangulaire. \( \left| x+y \right| \leqslant \left| x \right| + \left| y \right| \)
• Deuxième inégalité triangulaire. \( \left| \left| x \right| – \left| y \right| \right| \leqslant \left| x – y \right| \)

\( \ln \) est l’unique primitive sur \( \mathbb{R}_+^* \) de la fonction \( x \mapsto \dfrac{1}{x} \) qui s’annule en \( 1 \)

• \( \forall (a,b) \in ( \mathbb{R}_+^*)^2,\ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \)
• \( \forall (a,b) \in ( \mathbb{R}_+^*)^2,\ \ln \! \left( \frac{a}{b} \right) = \ln(a) – \ln(b) \)
• \( \forall a\in \mathbb{R}_+^*,\ \forall b\in \mathbb{R},\ \ln(a^b) = b \ln(a) \)
• La fonction \( \ln \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R}_+^* \)
• La fonction \( \ln \) est infiniment dérivable sur \( \mathbb{R}_+^* \)
• \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ln(x) = +\infty \)
• La fonction \( \ln \) est bijective de \( \mathbb{R}_+^* \) sur \( \mathbb{R} \)

La réciproque de la fonction \( \ln \) est une application de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R}_+^* \), appelée fonction exponentielle et notée \( \exp \).

Pour tout réel \( x \), on note \( \exp(x) = \mathrm{e}^x \).

• \( \forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\ \mathrm{e}^{a+b} =\mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b \)
• \( \forall a \in \mathbb{R},\ \mathrm{e}^{-a} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^a} \)
• \( \forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\ \mathrm{e}^{a-b} = \dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} \)
• \( \forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\ \mathrm{e}^{ab} = (\mathrm{e}^a)^b \)
• La fonction \( \exp \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
• La fonction \( \exp \) est infiniment dérivable sur \( \mathbb{R} \)
• \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^x = 0 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \mathrm{e}^x = +\infty \)
• La fonction \( \exp \) est bijective de \( \mathbb{R} \) sur \( \mathbb{R}_+^* \)

Pour tout réel \( a \) on appelle fonction puissance d’exposant \( a \) la fonction \( f_a \) définie sur \( \mathbb{R}_+^* \) par :

\[ \forall x \in \mathbb{R},\ f_a(x) = \mathrm{e}^{a \ln(x) } \]

On note aussi plus simplement : \[ \forall x \in \mathbb{R},\ \mathrm{e}^{a \ln(x) } = x^a \]

• \( \forall a \in \mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R}_+^*,\ \ln(x^a) = a \ln(x) \)
• \( \forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\ \forall x\in \mathbb{R}_+^*,\ x^{a+b} = x^a \, x^b \)
• \( \forall a \in \mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R}_+^*,\ x^{-a} = \dfrac{1}{x^a} \)
• \( \forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\ \forall x\in \mathbb{R}_+^*,\ x^{a-b} =\dfrac{x^a}{x^b} \)
• \( \forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\ \forall x\in \mathbb{R}_+^*,\ (x^a)^b = x^{ab} \)
• \( \forall a\in \mathbb{R},\ \forall (x,y) \in ( \mathbb{R}_+^*)^2,\ (xy)^a = x^{a} \, y^a \)
• \( \forall a\in \mathbb{R},\ \forall (x,y) \in ( \mathbb{R}_+^*)^2,\ \left( \dfrac{x}{y} \right)^a = \dfrac{x^a}{y^a} \)
• Pour tout réel \( a \), la fonction \( x \mapsto x^a \) est infiniment dérivable sur \( \mathbb{R}_+^* \)

\[ \begin{array}{ | c | c | c | }\hline \text{valeur de } a & \displaystyle \lim_{x\to 0} x^a = & \displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^a = \\ \hline a < 0 & +\infty & 0 \\ \hline a=0 & 1 & 1 \\ \hline a > 0 & 0 & +\infty \\ \hline \end{array} \]

\[ \begin{array}{ | c | c | c | }\hline \text{valeur de } a & \text{monotonie} & \text{convexité} \\ \hline a < 0 & \text{décroissante} & \text{convexe} \\ \hline a=0 & \text{constante} & \text{convexe et concave} \\ \hline 0 < a < 1 & \text{croissante} & \text{concave} \\ \hline a=1 & \text{croissante} & \text{convexe et concave} \\ \hline a > 1 & \text{croissante} & \text{convexe} \\ \hline \end{array} \]