VAR discrètes

Réviser le cours (Maths appliquées) Probabilités VAR discrètes

Loi d’une variable aléatoire

Variable aléatoire discrète : définition

Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable.

On appelle variable aléatoire réelle discrète $\operatorname{sur}(\Omega, \mathcal{A})$ toute application $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ telle que :

$X(\Omega)$ est fini ou dénombrable (i.e. en bijection avec une partie de $\mathbb{N}^*$ ),
pour tout $x \in X(\Omega),\{\omega \in \Omega, X(\omega)=x\}$ appartient à $\mathcal{A}$ (i.e. est un événement).

Dans ce cas, si $X(\Omega)$ est fini, on dit que $X$ est une variable aléatoire finie si $X(\Omega)$ est fini ; si $X(\Omega)$ est dénombrable, on dit que $X$ est une variable aléatoire discrète infinie.

Loi d’une variable aléatoire discrète : définition

Déterminer la loi d’une variable aléatoire $X$ sur $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ , c’est déterminer l’ensemble $X(\Omega)$ et, pour tout réel $x$ appartenant à $X(\Omega)$ , la probabilité $\mathbb{P}(X=x)$ .

Système complet associé à une variable aléatoire finie

Si $X$ est une variable aléatoire discrète, la famille $([X=x])_{x \in X(\Omega)}$ est un système complet d’événement, appelé système complet d’événements associé à $X$ .

Fonction d’une variable aléatoire discrète

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé et $X$ une variable aléatoire discrète.

Si $\varphi$ est une application de $X(\Omega)$ dans $\mathbb{R}$ , alors l’application $\varphi \circ X$ , aussi notée $\varphi(X)$ , est une variable aléatoire discrète sur $(\Omega, \mathcal{A})$ .
Si $\varphi$ est une application de $X(\Omega)$ dans $\mathbb{R}$ , alors la loi de $Y=g(X)$ est donnée par : $Y(\Omega)=\{g(x), x \in X(\Omega)\} \quad \text { et } \quad \forall y \in Y(\Omega), \mathbb{P}(Y=y)=\sum_{\substack{x \in X(\Omega) \\ g(x)=y}} \mathbb{P}(X=x)$

Espérance et variance

Espérance d’une variable aléatoire discrète : définition et propriétés

Définition

Si $X$ est une variable aléatoire discrète finie telle que $X(\Omega)=\left\{x_1, \ldots, x_n\right\}$ (où $n$ est un entier naturel non nul), on appelle espérance de $\boldsymbol{X}$ le réel noté $\mathbb{E}(X)$ défini par : $\mathbb{E}(X)=\sum_{i=1}^n x_i \, \mathbb{P}(X=x_i)=\sum_{x_i \in X(\Omega)} x_i \, \mathbb{P}(X=x_i)$
Si $X$ est une variable aléatoire discrète infinie telle que $X(\Omega)=\left\{x_i, i \in \mathbb{N}\right\}$ , on dit que $X$ admet une espérance si la série $\sum x_i \mathbb{P}\left(X=x_i\right)$ est absolument convergente et, dans ce cas, on appelle espérance de $X$ le réel noté $\mathbb{E}(X)$ défini par : $\mathbb{E}(X)=\sum_{i=0}^{+\infty} x_i \mathbb{P}\left(X=x_i\right)=\sum_{x_i \in X(\Omega)} x_i \, \mathbb{P}(X=x_i)$

Propriétés

Si $X$ est une variable aléatoire discrète admettant une espérance alors :

Si $X$ est positive : $\mathbb{E}(X) \geqslant 0$ (positivité de l’espérance),
Pour tout couple $(a, b)$ de réels, on a : $\mathbb{E}(a X+b)=a \mathbb{E}(X)+b \quad \text { (linéarité de l’espérance) }$

Théorème de transfert

Soit $\varphi$ une application de $X(\Omega)$ dans $\mathbb{R}$ .

Si $X(\Omega)$ est fini, alors $\varphi(X)$ admet une espérance.
Si $X(\Omega)=\left\{x_n, \ n \in \mathbb{N}\right\}$ est infini, alors $\varphi(X)$ admet une espérance si et seulement si la série $\sum \varphi(x_n) \, \mathbb{P}(X=x_n)$ est absolument convergente.
Si $\varphi(X)$ admet une espérance, alors : $\mathbb{E}(\varphi(X))=\sum_{n=0}^{+\infty} \varphi(x_n) \, \mathbb{P}(X=x_n)$

Variance d’une variable aléatoire discrète : définition et propriétés

Définition

On dit que $X$ admet une variance si $X$ et $( X-\mathbb{E}(X) )^2$ admettent une espérance.
Dans ce cas, la variance est notée $\mathbb{V}(X)$ et définie par : $\mathbb{V}(X)=\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))^2\right)=\sum_{x \in X(\Omega)}(x-\mathbb{E}(X))^2 \mathbb{P}(X=x)$

Propriétés

Formule de Koenig-Huygens. $X$ admet une variance si et seulement si $X^2$ admet une espérance et, dans ce cas : $\mathbb{V}(X)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-[\mathbb{E}(X)]^2$
Si $X$ est une variable aléatoire discrète admettant une variance, alors, pour tout couple $(a, b)$ de réels : $\mathbb{V}(a X+b)=a^2 \mathbb{V}(X)$

Écart-type d’une variable aléatoire discrète finie : définition et propriété

Définition

Si $X$ est une variable aléatoire discrète admettant une variance, on appelle écart-type de $X$ le réel $\sigma(X)=\sqrt{\mathbb{V}(X)}$

Propriété

Si $X$ est une variable aléatoire discrète admettant une variance, alors, pour tout couple $(a, b)$ de réels : $\sigma(a X+b)=|a| \, \sigma(X)$

Loi discrètes usuelles

Loi certaine : définition et propriétés

Définition

Une variable aléatoire $X$ est-dite constante (ou certaine) s’il existe un réel $a$ tel que : $X(\Omega)=\{a\}$ .

Propriétés

Si $a \in \mathbb{R}$ et si $X$ est une variable aléatoire certaine égale à $a$ , alors : $\mathbb{E}(X)=a \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=0$

Loi de Bernoulli : définition et propriétés

Définition

Si $p$ est un élément de $] 0,1[$ , on dit qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ si $X$ prend ses valeurs dans $\{0,1\}$ et si : $\mathbb{P}(X=1)=p \quad \text { et } \quad \mathbb{P}(X=0)=1-p$

Propriétés

Si $p \in \left] 0,1 \right[$ et si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , alors : $\mathbb{E}(X)=p \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=p(1-p)$

Loi binomiale : définition et propriétés

Définition

On dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ si $X$ prend ses valeurs dans $\left[\kern-0.15em\left[ { 0,n} \right]\kern-0.15em\right]$ et si : $\forall k \in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}$

Propriétés

Si $X$ est la variable aléatoire égale au nombre de succès dans une suite de $n$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p \in \left] 0,1 \right[$ indépendantes, alors $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .
Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , alors $X$ admet une espérance et une variance et : $\mathbb{E}(X)=n p \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=n p \left( 1-p \right)$

Loi uniforme : définition et propriétés

Définition

On dit que $X$ suit la loi uniforme sur $\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]$ si $X$ prend ses valeurs dans $\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]$ et : $\forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{n}$
Plus généralement, si $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs tels que $a<b$ , on dit que $X$ suit la loi uniforme sur $\left[\kern-0.15em\left[ {a,b} \right]\kern-0.15em\right]$ si $X$ prend ses valeurs dans $\left[\kern-0.15em\left[ {a,b} \right]\kern-0.15em\right]$ et si : $\forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {a,b} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{b-a+1}$

Propriétés

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]$ , alors $X$ admet une espérance et une variance et : $\mathbb{E}(X)=\frac{n+1}{2} \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=\frac{n^2-1}{12}$

Loi géométrique : définition et propriétés

Définition

On dit que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $\boldsymbol{p}$ si : $\forall k \in \mathbb{N}^*, \mathbb{P}(X=k)=(1-p)^{k-1} p$

Propriétés

Si $X$ est la variable aléatoire égale au temps d’attente d’un premier succès dans une suite d’épreuves de Bernoulli de paramètre $p \in \left] 0,1 \right[$ indépendantes, alors $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ .
Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p$ , alors $X$ admet une espérance et une variance et : $\mathbb{E}(X)=\frac{1}{p} \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=\frac{1-p}{p^2}$

Loi de Poisson : définition et propriétés

Définition

On dit que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ si $X$ prend ses valeurs dans $\mathbb{N}$ et : $\forall k \in \mathbb{N}, \mathbb{P}(X=k)=\mathrm{e}^{-\lambda} \, \frac{\lambda^k}{k!}$

Propriétés

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ , alors $X$ admet une espérance et une variance et : $\mathbb{E}(X)=\lambda \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=\lambda$

Loi conditionnelle, espérance conditionnelle

Loi conditionnelle : définition

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ est un espace probabilisé et $A$ un événement de probabilité non nulle. La loi de $X$ sur l’espace probabilisé $\left(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}_A\right)$ est appelée loi conditionnelle de $X$ sachant l’événement $A$ .

Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $A$ , c’est donc calculer, pour chaque valeur $x$ de $X(\Omega)$ , la probabilité $\mathbb{P}_A(X=x)=\frac{\mathbb{P}([X=x] \cap A)}{\mathbb{P}(A)}$

Espérance conditionnelle : définition

Si $A$ est un événement de probabilité non nulle, on dit que $X$ admet une espérance conditionnelle sachant $\boldsymbol{A}$ (ou une espérance pour la probabilité $\mathbb{P}_A$ ) si $X(\Omega)$ est fini ou si $X(\Omega)=\left\{x_i, \ i \in \mathbb{N}\right\}$ est infini et si la série $\sum x_i \, \mathbb{P}_A(X=x_i)$ est absolument convergente.

Dans le cas où elle existe, cette espérance conditionnelle est notée $\mathbb{E}(X \, \vert \, A)$ et définie par : $\mathbb{E}(X \, \vert \, A)=\sum_{x \in X(\Omega)} x \, \mathbb{P}_A(X=x)$

Formule de l’espérance totale

Soit $\left(A_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ un système complet d’événements tel que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\mathbb{P}(A_n) \neq 0$ . $X$ admet une espérance si et seulement si :

pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $X$ admet une espérance conditionnelle sachant $A_n$ ,
la série $\sum \mathbb{E}( \left| X \right| \, \vert \, A_n) \mathbb{P}(A_n)$ converge

et dans ce cas : $\mathbb{E}(X)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n) \, \mathbb{E}(X \, \vert \, A_n)$

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