VAR discrètes
Loi d’une variable aléatoire
Variable aléatoire discrète : définition
Soit \( (\Omega, \mathcal{A}) \) un espace probabilisable.
On appelle variable aléatoire réelle discrète \( \operatorname{sur}(\Omega, \mathcal{A}) \) toute application \( X: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) telle que :
- \( X(\Omega) \) est fini ou dénombrable (i.e. en bijection avec une partie de \( \mathbb{N}^* \)),
- pour tout \( x \in X(\Omega),\{\omega \in \Omega, X(\omega)=x\} \) appartient à \( \mathcal{A} \) (i.e. est un événement).
Dans ce cas, si \( X(\Omega) \) est fini, on dit que \( X \) est une variable aléatoire finie si \( X(\Omega) \) est fini ; si \( X(\Omega) \) est dénombrable, on dit que \( X \) est une variable aléatoire discrète infinie.
Loi d’une variable aléatoire discrète : définition
Déterminer la loi d’une variable aléatoire \( X\) sur \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \), c’est déterminer l’ensemble \( X(\Omega) \) et, pour tout réel \( x \) appartenant à \( X(\Omega) \), la probabilité \( \mathbb{P}(X=x) \).
Système complet associé à une variable aléatoire finie
Si \( X \) est une variable aléatoire discrète, la famille \( ([X=x])_{x \in X(\Omega)} \) est un système complet d’événement, appelé système complet d’événements associé à \( X \).
Fonction d’une variable aléatoire discrète
Soit \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \) un espace probabilisé et \( X \) une variable aléatoire discrète.
- Si \( \varphi \) est une application de \( X(\Omega) \) dans \( \mathbb{R} \), alors l’application \( \varphi \circ X \), aussi notée \( \varphi(X) \), est une variable aléatoire discrète sur \( (\Omega, \mathcal{A}) \).
- Si \( \varphi \) est une application de \( X(\Omega) \) dans \( \mathbb{R} \), alors la loi de \( Y=g(X) \) est donnée par : \[ Y(\Omega)=\{g(x), x \in X(\Omega)\} \quad \text { et } \quad \forall y \in Y(\Omega), \mathbb{P}(Y=y)=\sum_{\substack{x \in X(\Omega) \\ g(x)=y}} \mathbb{P}(X=x) \]
Espérance et variance
Espérance d’une variable aléatoire discrète : définition et propriétés
Définition
- Si \( X \) est une variable aléatoire discrète finie telle que \( X(\Omega)=\left\{x_1, \ldots, x_n\right\} \) (où \( n \) est un entier naturel non nul), on appelle espérance de \( \boldsymbol{X} \) le réel noté \( \mathbb{E}(X) \) défini par : \[ \mathbb{E}(X)=\sum_{i=1}^n x_i \, \mathbb{P}(X=x_i)=\sum_{x_i \in X(\Omega)} x_i \, \mathbb{P}(X=x_i) \]
- Si \( X \) est une variable aléatoire discrète infinie telle que \( X(\Omega)=\left\{x_i, i \in \mathbb{N}\right\} \), on dit que \( X \) admet une espérance si la série \( \sum x_i \mathbb{P}\left(X=x_i\right) \) est absolument convergente et, dans ce cas, on appelle espérance de \( X \) le réel noté \( \mathbb{E}(X) \) défini par : \[ \mathbb{E}(X)=\sum_{i=0}^{+\infty} x_i \mathbb{P}\left(X=x_i\right)=\sum_{x_i \in X(\Omega)} x_i \, \mathbb{P}(X=x_i) \]
Propriétés
Si \( X \) est une variable aléatoire discrète admettant une espérance alors :
- Si \( X \) est positive : \( \mathbb{E}(X) \geqslant 0 \) (positivité de l’espérance),
- Pour tout couple \( (a, b) \) de réels, on a : \[ \mathbb{E}(a X+b)=a \mathbb{E}(X)+b \quad \text { (linéarité de l’espérance) } \]
Théorème de transfert
Soit \( \varphi \) une application de \( X(\Omega) \) dans \( \mathbb{R} \).
- Si \( X(\Omega) \) est fini, alors \( \varphi(X) \) admet une espérance.
- Si \( X(\Omega)=\left\{x_n, \ n \in \mathbb{N}\right\} \) est infini, alors \( \varphi(X) \) admet une espérance si et seulement si la série \( \sum \varphi(x_n) \, \mathbb{P}(X=x_n) \) est absolument convergente.
- Si \( \varphi(X) \) admet une espérance, alors : \[ \mathbb{E}(\varphi(X))=\sum_{n=0}^{+\infty} \varphi(x_n) \, \mathbb{P}(X=x_n) \]
Variance d’une variable aléatoire discrète : définition et propriétés
Définition
- On dit que \( X \) admet une variance si \( X \) et \( ( X-\mathbb{E}(X) )^2 \) admettent une espérance.
- Dans ce cas, la variance est notée \( \mathbb{V}(X) \) et définie par : \[ \mathbb{V}(X)=\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))^2\right)=\sum_{x \in X(\Omega)}(x-\mathbb{E}(X))^2 \mathbb{P}(X=x) \]
Propriétés
- Formule de Koenig-Huygens. \( X \) admet une variance si et seulement si \( X^2 \) admet une espérance et, dans ce cas : \[ \mathbb{V}(X)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-[\mathbb{E}(X)]^2 \]
- Si \( X \) est une variable aléatoire discrète admettant une variance, alors, pour tout couple \( (a, b) \) de réels : \[ \mathbb{V}(a X+b)=a^2 \mathbb{V}(X) \]
Écart-type d’une variable aléatoire discrète finie : définition et propriété
Définition
Si \( X \) est une variable aléatoire discrète admettant une variance, on appelle écart-type de \( X \) le réel \[ \sigma(X)=\sqrt{\mathbb{V}(X)} \]
Propriété
Si \( X \) est une variable aléatoire discrète admettant une variance, alors, pour tout couple \( (a, b) \) de réels : \[ \sigma(a X+b)=|a| \, \sigma(X) \]
Loi discrètes usuelles
Loi certaine : définition et propriétés
Définition
Une variable aléatoire \( X \) est-dite constante (ou certaine) s’il existe un réel \( a \) tel que : \( X(\Omega)=\{a\} \).
Propriétés
Si \( a \in \mathbb{R} \) et si \( X \) est une variable aléatoire certaine égale à \( a \), alors : \[ \mathbb{E}(X)=a \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=0 \]
Loi de Bernoulli : définition et propriétés
Définition
Si \( p \) est un élément de \( ] 0,1[ \), on dit qu’une variable aléatoire \( X \) suit la loi de Bernoulli de paramètre \( p \) si \( X \) prend ses valeurs dans \( \{0,1\} \) et si : \[ \mathbb{P}(X=1)=p \quad \text { et } \quad \mathbb{P}(X=0)=1-p \]
Propriétés
Si \( p \in \left] 0,1 \right[ \) et si \( X \) est une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre \( p \), alors : \[ \mathbb{E}(X)=p \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=p(1-p) \]
Loi binomiale : définition et propriétés
Définition
On dit que \( X \) suit la loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p \) si \( X \) prend ses valeurs dans \( \left[\kern-0.15em\left[ { 0,n} \right]\kern-0.15em\right] \) et si : \[ \forall k \in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \]
Propriétés
- Si \( X \) est la variable aléatoire égale au nombre de succès dans une suite de \( n \) épreuves de Bernoulli de paramètre \( p \in \left] 0,1 \right[ \) indépendantes, alors \( X \) suit la loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p \).
- Si \( X \) est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p \), alors \( X \) admet une espérance et une variance et : \[ \mathbb{E}(X)=n p \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=n p \left( 1-p \right) \]
Loi uniforme : définition et propriétés
Définition
- On dit que \( X \) suit la loi uniforme sur \( \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right] \) si \( X \) prend ses valeurs dans \( \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right] \) et : \[ \forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{n}\]
- Plus généralement, si \( a \) et \( b \) sont deux entiers relatifs tels que \( a<b \), on dit que \( X \) suit la loi uniforme sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {a,b} \right]\kern-0.15em\right] \) si \( X \) prend ses valeurs dans \( \left[\kern-0.15em\left[ {a,b} \right]\kern-0.15em\right] \) et si : \[ \forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {a,b} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{b-a+1} \]
Propriétés
Si \( X \) est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \( \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right] \), alors \( X \) admet une espérance et une variance et : \[ \mathbb{E}(X)=\frac{n+1}{2} \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=\frac{n^2-1}{12} \]
Loi géométrique : définition et propriétés
Définition
On dit que \( X \) suit la loi géométrique de paramètre \( \boldsymbol{p} \) si : \[ \forall k \in \mathbb{N}^*, \mathbb{P}(X=k)=(1-p)^{k-1} p \]
Propriétés
- Si \( X \) est la variable aléatoire égale au temps d’attente d’un premier succès dans une suite d’épreuves de Bernoulli de paramètre \( p \in \left] 0,1 \right[ \) indépendantes, alors \( X \) suit la loi géométrique de paramètre \( p \).
- Si \( X \) est une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre \( p \), alors \( X \) admet une espérance et une variance et : \[ \mathbb{E}(X)=\frac{1}{p} \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=\frac{1-p}{p^2} \]
Loi de Poisson : définition et propriétés
Définition
On dit que \( X \) suit la loi de Poisson de paramètre \( \lambda > 0 \) si \( X \) prend ses valeurs dans \( \mathbb{N} \) et : \[ \forall k \in \mathbb{N}, \mathbb{P}(X=k)=\mathrm{e}^{-\lambda} \, \frac{\lambda^k}{k!} \]
Propriétés
Si \( X \) est une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre \( \lambda \), alors \( X \) admet une espérance et une variance et : \[ \mathbb{E}(X)=\lambda \quad \text { et } \quad \mathbb{V}(X)=\lambda \]
Loi conditionnelle, espérance conditionnelle
Loi conditionnelle : définition
Soit \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \) est un espace probabilisé et \( A \) un événement de probabilité non nulle. La loi de \( X \) sur l’espace probabilisé \( \left(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}_A\right) \) est appelée loi conditionnelle de \( X \) sachant l’événement \( A \).
Déterminer la loi conditionnelle de \( X \) sachant \( A \), c’est donc calculer, pour chaque valeur \( x \) de \( X(\Omega) \), la probabilité \[ \mathbb{P}_A(X=x)=\frac{\mathbb{P}([X=x] \cap A)}{\mathbb{P}(A)} \]
Espérance conditionnelle : définition
Si \( A \) est un événement de probabilité non nulle, on dit que \( X \) admet une espérance conditionnelle sachant \( \boldsymbol{A} \) (ou une espérance pour la probabilité \( \mathbb{P}_A \) ) si \( X(\Omega) \) est fini ou si \( X(\Omega)=\left\{x_i, \ i \in \mathbb{N}\right\} \) est infini et si la série \( \sum x_i \, \mathbb{P}_A(X=x_i) \) est absolument convergente.
Dans le cas où elle existe, cette espérance conditionnelle est notée \( \mathbb{E}(X \, \vert \, A) \) et définie par : \[ \mathbb{E}(X \, \vert \, A)=\sum_{x \in X(\Omega)} x \, \mathbb{P}_A(X=x) \]
Formule de l’espérance totale
Soit \( \left(A_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \) un système complet d’événements tel que, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( \mathbb{P}(A_n) \neq 0 \). \( X \) admet une espérance si et seulement si :
- pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( X \) admet une espérance conditionnelle sachant \( A_n \),
- la série \( \sum \mathbb{E}( \left| X \right| \, \vert \, A_n) \mathbb{P}(A_n) \) converge
et dans ce cas : \[ \mathbb{E}(X)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n) \, \mathbb{E}(X \, \vert \, A_n) \]