Fonctions : dérivées successives (Appli)
Dérivée \( n^{\grave{e}me} \), fonction de classe \( \mathcal{C}^n \) : définitions et propriétés
Définitions
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
- On dit que \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\) si \(f\) est dérivable sur \(I\) et si \(f^{\prime}\) est dérivable sur \(I\). La dérivée de \(f\) est appelée dérivée seconde de \(f\) et notée \(f^{\prime \prime}\) ou \(f^{(2)}\).
- Plus généralement, pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à 2, on dit que \(f\) est \(k\) fois dérivable sur \(I\) si \(f\) est \(k-1\) fois dérivable sur \(I\) et si \(f^{(k-1)}\) est dérivable sur \(I\). La dérivée de \(f^{(k-1)}\) est alors appelée dérivée \(\boldsymbol{k}^{\text {ème }}\) de \(f\) et notée \(f^{(k)}\).
- On dit que \(f\) est infiniment dérivable sur \(I\) si, pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\), \( f\) est \(k\) fois dérivable sur \(I\).
Soit \(n\) un entier naturel et \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\) sur un intervalle \(I\) de \( \mathbb{R} \). On dit que \( f \) est de classe \( \mathcal{C}^n \) sur \( I \) si \( f \) est \( n \) fois dérivable sur \( I \) et si \( f,f’,\dots, f^{(n)} \) sont continues sur \( I \). On dit que \( f \) est de classe \( \mathcal{C}^\infty \) sur \( I \) si \( f \) est infiniment dérivable sur \( I \) et si toutes ses dérivées successives sont continues.
Propriétés
Opérations
Soit \(n\) un entier naturel, \(f\) et \(g\) des fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\) et \(h\) une fonction de classe \(C^n\) sur un intervalle \(J\).
- Pour tout réel \(\lambda, \lambda f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\).
- \( f+g\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\). \(f \times g\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\).
- Si \(g\) ne s’annule pas sur \(I\), alors \(\dfrac{1}{g}: x \mapsto \dfrac{1}{g(x)}\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\).
- Si \(g\) ne s’annule pas sur \(I\), alors \(\dfrac{f}{g}: x \mapsto \dfrac{f(x)}{g(x)}\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\).
- Si \(f\) est dérivable sur \(I\) et prend ses valeurs dans \(J\) et si \(h\) est dérivable sur \(J\), alors \(h \circ f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\).
Fonctions usuelles
- Les fonctions polynômes, rationnelles, logarithme, exponentielle sont de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur leurs domaines de définition respectifs.
- La fonction \(t \mapsto \sqrt{t}\) et plus généralement les fonctions puissances sont de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^*\).
Dérivées successives de \( x \mapsto x^n \)
Soit \( n \) et \( p \) deux entiers naturels. La fonction \( x \mapsto x^n \) est de classe \( \mathcal{C}^\infty \) sur \( \mathbb{R} \) et (avec des notations légèrement abusives) :
- Si \( 0 \leqslant p \leqslant n \), alors \( (x^n)^{(p)} = \dfrac{n!}{(n-p)!}\, x^{n-p} \)
- Si \( p>n \), alors \( (x^n)^{(p)} = 0 \)