Fonctions de deux variables (appli)

Dans tout ce cours, $f$ une fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ . On note $\mathcal{O}$ l’ensemble de définition de $f$ .

Notions de topologie

Les notions détaillées dans ce paragraphe ne sont pas exigibles des candidats, mais une connaissance au moins superficielle est nécessaire pour comprendre la suite du cours.

Distance entre deux éléments de

$\mathbb{R}^2$

Soit $x = (x_1,x_2)$ et $y = (y_1,y_2)$ deux éléments de $\mathbb{R}^2$ . On appelle distance entre $x$ et $y$ le réel $d(x,y)$ défini par : $d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}$

Boule ouverte, boule fermée

Soit $a \in \mathbb{R}^2$ et $r \in \mathbb{R}_+^*$ .

On appelle boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ l’ensemble $\mathcal{B}_O(a,r)$ défini par : $\mathcal{B}_O(a,r) = \{ x \in \mathbb{R}^2,\ d(a,x) < r \}$
On appelle boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$ l’ensemble $\mathcal{B}_F(a,r)$ défini par : $\mathcal{B}_F(a,r) = \{ x \in \mathbb{R}^2,\ d(a,x) \leqslant r \}$

Partie ouverte, partie fermée de

$\mathbb{R}^2$

Définitions

On dit qu’une partie $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}^2$ est ouverte si tout élément de $\mathcal{O}$ est le centre d’une boule ouverte non vide incluse dans $\mathcal{O}$ , c’est-à-dire si : $\forall a \in \mathcal{O},\ \exists r \in \mathbb{R}_+^\ast,\ \mathcal{B}_O(a,r) \subset \mathcal{O}$
On dit qu’une partie $\mathcal{F}$ de $\mathbb{R}^2$ est fermée si son complémentaire $\mathbb{R}^2 \setminus \mathcal{F}$ est une partie ouverte.

Exemples fondamentaux

$\emptyset$ , $\mathbb{R}^2$ , $( \mathbb{R}_+^*)^2$ , $]a,b[^2$ (où $a$ et $b$ sont des réels tels que $a<b$ ) sont des parties ouvertes de $\mathbb{R}^2$ .
$\emptyset$ , $\mathbb{R}^2$ , $( \mathbb{R}_+)^2$ , $[ a,b]^2$ (où $a$ et $b$ sont des réels tels que $a \leqslant b$ ) sont des parties ouvertes de $\mathbb{R}^2$ .
Si $\varphi$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}^2$ et si $a$ est un réel, les ensembles $\{ x\in \mathbb{R}^2 \ \mid \ \varphi(x) < a \}$ et $\{ x\in \mathbb{R}^2 \ \mid \ \varphi(x) > a \}$ sont des parties ouvertes.
Si $\varphi$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}^2$ et si $a$ est un réel, les ensembles $\{ x\in \mathbb{R}^2 \ \mid \ \varphi(x) \leqslant a \}$ et $\{ x\in \mathbb{R}^2 \ \mid \ \varphi(x) \geqslant a \}$ sont des parties fermées.

Parties bornées de

$\mathbb{R}^2$

On dit qu’une partie $E$ de $\mathbb{R}^2$ est bornée s’il existe un réel $M$ positif ou nul tel que : $\forall x \in E,\ d(x,x) \leqslant M$

Généralités

Fonctions affines, fonctions polynômes définies sur

$\mathbb{R}^2$

Fonctions affines

On appelle fonction affine définie sur $\mathbb{R}^2$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ toute fonction $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ de la forme $f: (x,y) \mapsto ax+by + c$ où $a,b$ et $c$ sont des constantes réelles.

Fonctions polynômes

On appelle fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}^2$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ toute fonction $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ combinaison linéaire finie de fonctions de la forme $(x,y) \mapsto x^i y^j$ où $i$ et $j$ sont des entiers naturels quelconques.

Lignes de niveau

Pour tout réel $k$ , l’ensemble $\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} / f(x,y)=k\right\}$ est appelé ligne de niveau $k$ de $f$ .

Extremums

Extremum global

Soit $P$ une partie de $\mathbb{R}^2$ sur laquelle $f$ est définie et $x_0$ un élément de $P$ .

On dit que $f(x_0)$ est un minimum global (ou absolu) de $f$ sur $P$ si : $\forall x \in P, \ f(x) \geqslant f(x_0)$
On dit que $f(x_0)$ est un maximum global (ou absolu) de $f$ si : $\forall x \in P, \ f(x) \leqslant f(x_0)$
On dit que $f(x_0)$ est un extremum global de $f$ si c’est un minimum global ou un maximum global.

Extremum local

Soit $P$ une partie de $\mathbb{R}^2$ sur laquelle $f$ est définie et $x_0$ un élément de $P$ .

On dit que $f(x_0)$ est un minimum local (ou relatif) de $f$ s’il existe un réel $\alpha$ strictement positif tel que : $\forall x \in P \ \mid \ d(x,x_0) <\alpha, \ f(x) \geqslant f(x_0)$
On dit que $f(x_0)$ est un maximum local (ou relatif) de $f$ s’il existe un réel $\alpha$ strictement positif tel que : $\forall x \in P \ \mid \ d(x,x_0), \ f(x) \leqslant f(x_0)$
On dit que $f(x_0)$ est un extremum local (ou relatif) de $f$ si c’est un minimum local ou un maximum local.

Continuité

Définition

Soit $a \in \mathcal{O}$ . On dit que $f$ est continue en $a$ si : $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^*, \ \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}^* \ \mid \ \forall x \in \mathcal{O}, \ d(a,x) <\alpha \Rightarrow|f(x)-f(a)|<\varepsilon$
On dit que $f$ est continue sur $\mathcal{O}$ si $f$ est continue en tout point de $\mathcal{O}$ .

Fonctions de référence

Les fonctions polynômes définies sur $\mathbb{R}^2$ sont continues sur $\mathbb{R}^2$ .
Les fonctions rationnelles (quotient de fonctions polynômes) sont continues sur leur ensemble de définition.

Opérations sur les fonctions continues

Somme, produit, quotient

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathcal{O}$ , à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

Si $f$ et $g$ sont continues sur $\mathcal{O}$ , alors $f+g$ et $f \times g$ sont continues sur $\mathcal{O}$ .
Si $f$ et $g$ sont continues sur $\mathcal{O}$ et si $g$ ne s’annule pas, alors $\dfrac{f}{g}$ est continue sur $\mathcal{O}$ .

Composition

Si $f$ est une fonction continue sur $\mathcal{O}$ , prenant ses valeurs dans un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et si $g$ est une fonction continue sur $I$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ , alors $g \circ f$ est continue sur $\mathcal{O}$ .

Théorème des bornes atteintes

Si $f$ est une fonction continue sur une partie fermée, bornée et non vide $K$ de $\mathbb{R}^2$ , alors $f$ est bornée et atteint ses bornes, autrement dit admet un minimum global et un maximum global sur $K$ .

Calcul différentiel : ordre 1

Fonctions partielles

Soit $x=(x_1, x_2)$ un élément de $\mathcal{O}$ . La fonction $f_{x,1}: t \mapsto f(t,x_2)$ est appelée première fonction partielle de $f$ en $x$ et la fonction $f_{x,2}: t \mapsto f(x_1,t)$ est appelée deuxième fonction partielle de $f$ .

Dérivées partielles d’ordre 1, gradient

Dérivées partielles d’ordre 1

Soit $x = (x_1,x_2) \in \mathcal{O}$ .

On dit que $f$ admet une première dérivée partielle d’ordre 1 en $x$ si la première fonction partielle $f_{x,1}$ est dérivable en $x_1$ et, dans ce cas, on note : $\partial_1 f(x)=f_{x,1}^{\prime}(x_i)$
On dit que $f$ admet une deuxième dérivée partielle d’ordre 1 en $x$ si la deuxième fonction partielle $f_{x,2}$ est dérivable en $x_2$ et, dans ce cas, on note : $\partial_2 f(x)=f_{x,2}^{\prime}(x_i)$
On dit que $f$ admet des dérivées partielle d’ordre 1 $\partial_1 f$ et $\partial_2 f$ si elle admet des dérivées partielles d’ordre $1$ en tout point de $\mathcal{O}$ .

Gradient

Soit $(x, x)$ un élément de $\mathcal{O}$ . Si $\partial_1 f(x,y)$ et $\partial_2 f(x,y)$ existent, alors le vecteur de $\mathbb{R}^2$ $\nabla f(x)=\left( \partial_1 f(x,y),\partial_2 f(x,y) \right)$ est appelé gradient de $f$ en $(x,y)$ .

Fonctions de classe

$\mathcal{C}^1$

Définition

On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{O}$ si les fonctions $\partial_1 f$ et $\partial_2 f$ sont définies et continues sur $\mathcal{O}$ .

Fonctions de référence

Les fonctions polynômes définies sur $\mathbb{R}^2$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ .
Les fonctions rationnelles (quotient de fonctions polynômes) sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur leur ensemble de définition.

Opérations

Somme, produit, quotient

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathcal{O}$ , à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

Si $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{O}$ , alors $f+g$ et $f \times g$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{O}$ .
Si $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{O}$ et si $g$ ne s’annule pas, alors $\dfrac{f}{g}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{O}$ .

Composition

Si $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{O}$ , prenant ses valeurs dans un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et si $g$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ , alors $g \circ f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{O}$ .

Calcul différentiel : ordre 2

Dérivées partielles d’ordre 2

Soit $(x,y)$ un élément de $\mathcal{O}$ et $(i, j) \in \{ 1,2 \}^2$ . Si $f$ admet une $j^{\text {ème }}$ dérivée partielle sur $\mathcal{O}$ et si $\partial_j f$ admet une $i^{\text {ème }}$ dérivée partielle en $x$ , alors on note : $\partial_{i, j}^2 f(x)=\partial_i(\partial_j f)(x)$ Les fonctions $\partial_{i, j}^2 f$ , lorsqu’elles existent, sont appelée dérivées partielles d’ordre 2 de $f$ .

Matrice hessienne

Soit $f$ une fonction définie sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}^2$ et $(x,y)$ un élément de $\mathcal{O}$ . Si, pour tout $(i, j) \in \{ 1,2 \}^2$ , $\partial_{i, j}^2 f(x,y)$ existe, alors la matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ $\nabla^2 f(x,y)=\left(\partial_{i, j}^2 f(x,y)\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$ est appelé matrice hessienne de $f$ en $(x,y)$ .

Fonctions de classe

$\mathcal{C}^2$

Définition

On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathcal{O}$ si les fonctions $\partial_{i,j}^2$ ( $(i,j) \in \{ 1,2 \}^2$ ) sont définies et continues sur $\mathcal{O}$ .

Fonctions de référence

Les fonctions polynômes définies sur $\mathbb{R}^2$ sont de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .
Les fonctions rationnelles (quotient de fonctions polynômes) sont de classe $\mathcal{C}^2$ sur leur ensemble de définition.

Opérations

Somme, produit, quotient

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathcal{O}$ , à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

Si $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathcal{O}$ , alors $f+g$ et $f \times g$ sont de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathcal{O}$ .
Si $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathcal{O}$ et si $g$ ne s’annule pas, alors $\dfrac{f}{g}$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathcal{O}$ .

Composition

Si $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathcal{O}$ , prenant ses valeurs dans un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et si $g$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur $I$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ , alors $g \circ f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathcal{O}$ .

Théorème de Schwarz

Si $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}^2$ , alors : $\forall(i, j) \in \{ 1,2 \}^2, \ \partial_{i, j}^2 f=\partial_{j, i}^2 f$
Ainsi, si $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathcal{O}$ , alors en tout point sa matrice hessienne est symétrique.

Recherche d’extremums sur un ouvert

Condition nécessaire d’ordre 1 d’extremum local

Théorème

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}^2$ et si $f$ admet un extremum local en $x$ , alors : $\nabla f(x)=0$

Point critique, point selle : définitions

Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}^2$ .

Point critique. On appelle point critique de $f$ tout élément $x$ de $\mathcal{O}$ tel que $\nabla f(x)=0$ .
Point selle (ou point col). On dit que $x$ est un point selle (ou point col) de $f$ si $x$ est un point critique de $f$ et si $f$ n’a pas d’extremum en $x$ .

Conditions suffisantes d’ordre 2 d’extremum local

Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}^2$ et $x_0$ un point critique de $f$ .

Si les valeurs propres de $\nabla^2 f\left(x_0\right)$ sont toutes strictement positives, alors $f$ admet un minimum local en $x_0$ .
Si les valeurs propres de $\nabla^2 f\left(x_0\right)$ sont toutes strictement négatives, alors $f$ admet un maximum local en $x_0$ .
Si $\nabla^2 f\left(x_0\right)$ admet au moins une valeur propre strictement positive et une valeur propre strictement négative, alors $f$ n’admet pas d’extremum en $x_0$ .

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