Soit $f, g, h, i$ et $j$ des fonctions définies au voisinage de $a$.

• Si $f \underset{a}{=} \circ(g)$ et $g \underset{a}{=} \circ(h)$, alors : $f \underset{a}{=} \circ(h)$.
• Si $f \underset{a}{=} \circ(g)$ et $i \underset{a}{=} \circ(j)$, alors : $f \times i \underset{a}{=} \circ(g \times j)$.
• Si $f \underset{a}{=} \circ(h)$ et $g \underset{a}{=} \circ(h)$, alors : $f+g \underset{a}{=} \circ(h)$.
• Si $f \underset{a}{=} \circ(g)$, alors : $f \times h \underset{a}{=} \circ(g \times h)$.

Soit $f, g, h, i$ et $j$ des fonctions définies au voisinage de $a$.

• Si $f \underset{a}{\sim} g$ et $g \underset{a}{\sim} h$, alors : $f \underset{a}{\sim} h$.
• Si $f \underset{a}{\sim} g$ et $i \underset{a}{\sim} j$, alors : $f \times \underset{a}{\sim} g \times j$.
• Si $f \underset{a}{\sim} g$ et si $f$ et $g$ ne s’annulent pas au voisinage de $a$ : $\displaystyle \frac{1}{f} \underset{a}{\sim} \frac{1}{g}$.
• Si $f \underset{a}{\sim} g$, alors : $\forall n \in \mathbb{N}, \ f^n \underset{a}{\sim} g^n$.
• Si $f \underset{a}{\sim} g$ et si $f$ et $g$ sont strictement positives au voisinage de $a$, alors : $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \ f^\alpha \underset{a}{\sim} g^\alpha$.

• Si la fonction $g$ ne s’annule pas au voisinage de $a$, alors : $$f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x) \Longleftrightarrow \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=1$$
• Si $f \underset{a}{\sim} g$ et si $\ell$ est un élément de $\overline{\mathbb{R}}$, alors : $$\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\ell \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\ell$$
• Si $f$ et $g$ sont deux fonctions équivalentes en $a$, il existe un voisinage de $a$ sur lequel $f$ et $g$ sont de même signe.
• Si $\ell$ est un réel non nul et si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\ell$, alors : $$f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} \ell$$

• Une fonction polynôme non nulle est équivalente en $+\infty$ et en $-\infty$ à son monôme de plus haut degré et en $0$ à son monôme de plus base degré ; autrement dit, si $(n, p)$ est un couple d’entiers naturels tel que $p<n$ et si $\displaystyle P: x \mapsto \sum_{k=p}^n a_k x^k$ est une fonction polynôme telle que $a_p \neq 0$ et $a_n \neq 0$, alors : $$\sum_{k=p}^n a_k x^k \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim} a_n x^n$$ $$\sum_{k=p}^n a_k x^k \underset{x \rightarrow-\infty}{\sim} a_n x^n$$ $$\sum_{k=p}^n a_k x^k \underset{x \rightarrow 0}{\sim} a_p x^p$$
• $\mathrm{e}^x-1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x$
• $\ln (1+x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x$
• $\ln (x) \underset{x \rightarrow 1}{\sim} x-1$
• $\forall \alpha \in \mathbb{R},\ (1+x)^\alpha-1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \alpha x$

On dit que $f$ admet un développement limité à l’ordre $n \in \mathbb{N}$ en $a$ s’il existe une famille $( \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n )$ de réels et une fonction $\varepsilon$ définie sur $I$ telles que : $$\begin{align*} \forall x \in \mathscr{D}_f, \ f(x) &=\sum_{k=0}^n \alpha_k(x-a)^k+(x-a)^n \varepsilon(x) \\&=\alpha_0+\alpha_1(x-a)+\cdots+\alpha_n(x-a)^n+(x-a)^n \varepsilon(x) \end{align*}$$

et : $$\lim _{x \rightarrow a} \varepsilon(x)=0$$

autrement dit s’il existe une famille $\left(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ de réels telle que : $$f(x) \underset{a}{=} \sum_{k=0}^n \alpha_k(x-a)^k+\circ\left((x-a)^n\right)$$

Soit $n \in\{0,1,2\}$. Si $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^n$ sur $I$, alors $f$ admet un développement limité à l’ordre $n$ en $a$ et on a : $$f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} \sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!} f^{(k)}(a)+\circ\left((x-a)^n\right)$$

Plus précisément :

• Si $f$ est continue sur $I$ alors $f$ admet un développement limité à l’ordre 0 en $a$ et : $$f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} f(a)+\circ(x-a)$$
• Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ alors $f$ admet un développement limité à l’ordre 1 en $a$ et : $$f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\circ(x-a)$$
• Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $I$ alors $f$ admet un développement limité à l’ordre 2 en $a$ et : $$f(x) \underset{x \rightarrow a}{=} f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2}(x-a)^2+\circ\left((x-a)^2\right)$$

• La fonction exponentielle admet un développement limité à l’ordre 2 en 0 et : $$\mathrm{e}^x \underset{0}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\circ(x^2)$$
• La fonction $x \mapsto \ln (1+x)$ admet un développement limité à l’ordre 2 en 0 et : $$\ln (1+x) \underset{0}= x-\frac{x^2}{2}+\circ(x^2)$$
• Les fonctions $x \mapsto \dfrac{1}{1+x}$ et $x \mapsto \dfrac{1}{1-x}$ admettent un développement limité à l’ordre 2 en 0 et : $$\begin{aligned} & \frac{1}{1-x} \underset{0}= 1+x+x^2+\circ(x^2) \\ & \frac{1}{1+x} \underset{0}= 1-x+x^2+\circ(x^2) \end{aligned}$$
• Plus généralement, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, la fonction $x \mapsto(1+x)^\alpha$ admet un développement limité à l’ordre 2 en 0 et : $$(1+x)^\alpha \underset{0}= 1 +\alpha x+\frac{\alpha \left( \alpha-1 \right)}{2!} x^2+\circ(x^2)$$