• On appelle équation différentielle toute équation dont l’inconnue est une fonction et faisant intervenir sa dérivée (ou ses dérivées successives).
• Résoudre une équation différentielle sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\), c’est chercher les fonctions définies sur \(I\) solutions de l’équation.
• On appelle équation différentielle d’ordre un à coefficients constants toute équation différentielle de la forme \(y^{\prime}+a y=b(t)\) où : – l’inconnue est la fonction \(y\), dérivable sur \(I\),- \(a\) est une constante réelle,- \(b\) est une fonction définie sur \(I\).
• L’équation différentielle \(y^{\prime}+a y=0\) est appelée équation homogène associée à l’équation différentielle \(y^{\prime}+a y=b(t)\).

• L’ensemble des solutions de l’équation différentielle homogène \(y^{\prime}+a y=0\) est stable par combinaison linéaire ; autrement dit, si \(y_1\) et \(y_2\) sont deux solutions de cette équation différentielle sur \(I\) alors, pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta, \alpha y_1+\beta y_2\) est encore solution de l’équation différentielle homogène sur \(I\).
• L’ensemble des solutions de l’équation \(y^{\prime}+a y=0\) sur \(I\) est : \[ \left\{ y: \begin{array}{| ccl} \ I & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \ t& \mapsto & \lambda \mathrm{e}^{-a t}\end{array},\ \lambda \in \mathbb{R}\right\} \]
• Soit \(y_0\) une solution de l’équation \(y^{\prime}+a y=b(t)\). L’ensemble des solutions de l’équation \(y^{\prime}+a y=b(t)\) est l’ensemble des fonctions \(y_0+y\) où \(y\) est solution de l’équation différentielle homogène \(y^{\prime}+a y=0\); autrement dit, l’ensemble des solutions de l’équation \(y^{\prime}+a y=b(t)\) est : \[ \left\{ y: \begin{array}{| ccl} \ I & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \ t & \mapsto & y_0(t) \lambda \mathrm{e}^{-a t}\end{array},\ \lambda \in \mathbb{R}\right\} \]
• Si \(a\) est un réel non nul et si \(b\) est une fonction constante, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \(y^{\prime}+a y=b\) est : \[ \left\{ y: \begin{array}{| ccl} \ I & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \ t& \mapsto & \dfrac{b}{a} + \lambda \mathrm{e}^{-a t}\end{array},\ \lambda \in \mathbb{R}\right\} \]

Soit \(b_1\) et \(b_2\) deux fonctions définies sur \(I, \alpha_1\) et \(\alpha_2\) deux réels.

Si \(y_1\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime}+a y=b_1(t)\) et si \(y_2\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime}+a y=b_2(t)\) alors \(\alpha_1 y_1+\alpha_2 y_2\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime}+a y=\alpha_1 b_1(t)+\alpha_2 b_2(t)\).

• On appelle équation différentielle d’ordre deux à coefficients constants toute équation différentielle de la forme \(y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c(t)\) où l’inconnue est la fonction \(y\), deux fois dérivable sur \(I\), – \(a\) et \(b\) sont deux constantes réelles, – \(c\) est une fonction définie sur \(I\).
• L’équation différentielle \(y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0\) est appelée équation homogène associée à l’équation différentielle \(y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c(t)\).
• L’équation \(r^2+a r+b=0\), d’inconnue \(r\) dans \(\mathbb{R}\), est appelée équation caractéristique de l’équation différentielle \(y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c(t)\).

Soit \(y_0\) une solution de l’équation \(y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c(t)\).

• L’ensemble des solutions de l’équation \(y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c(t)\) est l’ensemble des fonctions \(y_0+y\) où \(y\) est solution de l’équation différentielle homogène \(y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0\).
• Si \(c\) est une fonction constante, alors la fonction constante égale à \(\dfrac{c}{b}\) est une solution particulière de l’équation différentielle \(y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c\).

Soit \(c_1\) et \(c_2\) deux fonctions définies sur \(I, \alpha_1\) et \(\alpha_2\) deux réels. Si \(y_1\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c_1(t)\) et si \(y_2\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c_2(t)\) alors \(\alpha_1 y_1+\alpha_2 y_2\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=\alpha_1 c_1(t)+\alpha_2 c_2(t)\).

Soit \(y\) une solution de l’équation \( (\mathrm{ED}) \).

• Le graphe de \(y\) est aussi appelé trajectoire de \(y\) : c’est l’ensemble \(\{(t, y(t)), \ t \in I\}\).
• Si \(I\) est un intervalle de la forme \([\alpha,+\infty[\) ou \(] \alpha,+\infty[\), on dit que la trajectoire \(\{(t, y(t)), \ t \in I\}\) est convergente si \(y(t)\) a une limite finie \(y^*\) lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\). Le cas échéant, on dit que la trajectoire \(\{(t, y(t)), t \in I\}\) converge vers \(\left\{\left(t, y^*\right), t \in I\right\}\).

Soit \(t_0\) un élément de \(I\) et \(y_0\) un réel.

Il existe une unique solution \(y\) de l’équation différentielle \((\mathrm{E D})\) telle que \(y\left(t_0\right)=y_0\); autrement dit, il existe une unique solution \(y\) dont la trajectoire contient le point \(\left(t_0, y_0\right)\).

• Les solutions constantes de l’équation \((\mathrm{ED})\), s’il en existe, sont appelées états d’équilibres ou solutions d’équilibre de l’équation différentielle.
• Si \(y\) est une solution d’équilibre de \((\mathrm{ED})\), sa trajectoire est appelée trajectoire d’équilibre de l’équation différentielle.