Étant donné le système linéaire $$(S): \begin{cases} a_{1,1} x_1+\cdots+a_{1, j} x_j+\cdots+a_{1, p} x_p=b_1 \\ a_{2,1} x_1+\cdots+a_{2, j} x_j+\cdots+a_{2, p} x_p=b_2 \\ \hfill \vdots \hfill \\ a_{n, 1} x_1+\cdots+a_{n, j} x_j+\cdots+a_{n, p} x_p=b_n \end{cases}$$

d’inconnue $\left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant p}$ dans $\mathbb{R}^p$, on appelle matrice du système linéaire $(S)$ la matrice $A$ de $\mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R})$ définie par : $$A=\left(\begin{array}{cccccc} a_{1,1} & \cdots & \cdots & a_{1, j} & \cdots & a_{1, p} \\ \vdots & & & \vdots & & \vdots \\ a_{i, 1} & \cdots & \cdots & a_{i, j} & \cdots & a_{i, p} \\ \vdots & & & \vdots & & \vdots \\ a_{n, 1} & \cdots & \cdots & a_{n, j} & \cdots & a_{n, p} \end{array}\right)$$

Le système $(S)$ peut alors s’écrire sous la forme $A X=B$, où $B=\left(b_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ (appartenant à $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$) est le second membre et $X=\left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant p}$ est l’inconnue (appartenant à $\mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})$).

Considérons le système linéaire $(S) : AX = B$.

• On dit que le système linéaire $(S)$ est homogène si $B=0$.
• Le système $(H) : AX=0$ est appelé système homogène associé à $(S)$.
• Si $X_0$ est une solution particulière du système $(S)$, alors : $$X \text { est solution de }(S) \Leftrightarrow X-X_0 \text { est solution de }({H})$$

• On dit qu’un système linéaire $(S)$ est un système de Cramer s’il possède une unique solution.
• En conséquence, un système linéaire $(S)$ est un système de Cramer si et seulement si $(0, \ldots, 0)$ est l’unique solution du système homogène associé.

Soit $(S) : AX=B$ un système linéaire.

• $S$ possède soit aucune, soit une, soit une infinité de solutions.
• Tout système homogène possède au moins une solution. De plus, s’il possède une solution non nulle, alors l’ensemble des solutions est infini.
• Le système $(S)$ admet une unique solution si et seulement si la matrice $A$ est inversible.
• Un système triangulaire possède une unique solution si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.

Soit $(S)$ un système de $n$ équations linéaires. Les opérations suivantes sont appelées opérations élémentaires sur les lignes de $(S)$ (où $i$ et $j$ sont deux éléments distincts de $\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]$) :

• Échanger les lignes $i$ et $j$ (opération notée $L_i \leftrightarrow L_j$),
• Multiplier la ligne $i$ par un scalaire $\alpha$ non nul (opération notée $L_i \leftarrow \alpha L_i$),
• Ajouter un multiple de ligne $j$ à la ligne $i$ (opération notée $L_i \leftarrow L_i+\alpha L_i$).

L’ensemble des solutions d’un système linéaire ne change pas si l’on effectue des opérations élémentaires sur les lignes ; autrement dit, un système $(S)$ est équivalent à tout système $\left(S^{\prime}\right)$ déduit de $(S)$ par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes.