Calcul matriciel (Appli)
Opérations matricielles
Somme et produit de matrices : définitions et propriétés
Somme de matrices
Soit \( A = (a_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \) et \( B= (b_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \) deux matrices de \( \mathcal{M}_{n,p}( \mathbb{R} ) \) (donc de même format).
On définit la matrice \( A+B \) par : \[ A+B = (a_{i,j} + b_{i,j} )_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \]
Multiplication d’une matrice par un réel
Soit \( A = (a_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \) une matrice appartenant à \( \mathcal{M}_{n,p}( \mathbb{R} ) \) et \( \lambda \) un réel.
On définit la matrice \( \lambda A \) par : \[ \lambda A = ( \lambda a_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \]
Produit de matrices
Soit \( A = (a_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \) une matrice appartenant à \( \mathcal{M}_{n,p}( \mathbb{R} ) \) et \( B= (b_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant p \\ 1 \leqslant j \leqslant q }} \) une matrice appartenant à \( \mathcal{M}_{n,q}( \mathbb{R} ) \) (donc le nombre de colonnes de \( A \) est égal au nombre de lignes de \( B \)).
On définit la matrice \( AB \) par : \[ AB = ( c_{i,j} )_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant q }} \quad \text{avec} \quad c_{i,j} = \sum_{k=1}^p a_{i,k} b _{k,j} \]
Propriétés de l’addition et de la multiplication
Pour toutes matrices \( A,B,C \) de formats compatibles avec les opérations utilisées et pour tout réels \( \lambda \) et \( \mu \), on a :
- \( (A+B) + C = A + (B+C) \) (l’addition est commutative),
- \( A+B = B + A \) (l’addition est commutative),
- \( \lambda \left( A+ B \right) = \lambda A + \lambda B \),
- \( \left( \lambda + \mu \right) A = \lambda A + \mu A \),
- \( \left( \lambda \mu \right) A = \lambda \left( \mu A \right) \),
- \( \left( AB \right) C = A\left( BC \right) \) (la multiplication est associative),
- \( \left( A+B \right) C = AC + BC \) et \( A \left( B+C \right) =AB+AC \)
Transposition : définition et propriétés
Définition
Soit \( A = (a_{i,j})_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p }} \) une matrice appartenant à \( \mathcal{M}_{n,p}( \mathbb{R} ) \). On appelle transposée de \( A \) la matrice notée \( {}^t \! A \) de \( \mathcal{M}_{p,n}( \mathbb{R} ) \) définie par : \[ {}^t \! A = (a_{i,j}’)_{ \substack{ 1 \leqslant i \leqslant p \\ 1 \leqslant j \leqslant n }} \quad \text{avec} \quad a_{i,j}’= a_{j,i} \]
Propriétés
Soit \( A,B \) deux matrices et \( \lambda, \mu \) deux réels. Si les formats des matrices sont compatibles avec les opérations utilisées :
- \( {}^t \! \left( \lambda A+ \mu B \right) = \lambda \, {}^t \! A + \mu \, {}^t \! B \)
- \( {}^t \! \left( AB \right) = {}^t \! B \, \, {}^t \! A \)
Matrice triangulaire, diagonale, symétrique, antisymétrique : définitions
Matrice triangulaire
Soit \( A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \).
- On dit que \( A \) est triangulaire supérieure si : \[ \forall (i,j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ i > j \Rightarrow a_{i,j} = 0 \]
- On dit que \( A \) est triangulaire supérieure si : \[ \forall (i,j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ i < j \Rightarrow a_{i,j} = 0 \]
Matrice diagonale
Soit \( A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \). On dit que \( A \) est diagonale si : \[ \forall (i,j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ i \neq j \Rightarrow a_{i,j} = 0 \]
Une matrice diagonale est donc à la fois triangulaire inférieure et triangulaire supérieure.
Matrice symétrique
Soit \( A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \).
On dit que \( A \) est symétrique si : \[ \forall (i,j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ a_{j,i} = a_{i,j} \]
c’est-à-dire si \( {}^t \! A = A \).
Matrice antisymétrique
Soit \( A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n } \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \).
On dit que \( A \) est antisymétrique si : \[ \forall (i,j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ a_{j,i} = – a_{i,j} \]
c’est-à-dire si \( {}^t \! A = -A \).
Si \( X \in\mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \) et \( Y\in \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \), expliciter les coefficients de \( {}^t \! XY\) et \( X\,{}^t Y \) en fonction de ceux de \( X \) et \( Y \).
Soit \( X = (x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in\mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \) et \( Y = (y_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \).
- \( {}^t \!XY \) est une matrice carrée d’ordre \( 1 \) assimilée à un réel et : \[ {}^t \!XY = \sum_{i=1}^n x_i y_i\]
- \( X\, {}^t \!Y \) est une matrice carrée d’ordre \( n \) et : \[ X\, {}^t \! Y = (x_i y_j)_{ 1 \leqslant i,j \leqslant n} \]
Quand dit-on que deux matrices commutent ?
On dit que deux matrices \( A \) et \( B \) commutent si elles sont carrées et si \( AB=BA \).
Formule du binôme de Newton pour les matrices
Si \( A \) et \( B \) sont deux matrices qui commutent alors : \[ \forall n \in\mathbb{N}, \ (A+B)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk A^k B^{n-k} \]
Polynômes de matrices
Polynôme de matrices : définition et propriétés
Définition
Soit \( A \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) et \( P \) un polynôme à coefficients réels tel que : \[ P(X) = \sum_{k=0}^d a_k X^k = a_d X^d + a_{d-1} X^{d-1} + \cdots + a_1 X + a_0 \]
On note \( P(A) \) la matrice définie par :
\[ P(A) = \sum_{k=0}^d a_k A^k = a_d A^d + a_{d-1} A^{d-1} + \cdots + a_1 A + a_0 \mathrm{I}_n \]
Propriétés
Soit \( A \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \), \( X \) un vecteur de \( \mathcal{M}_{n,1}( \mathbb{R}) \), \( P,Q \) deux polynômes et \( \lambda \) un réel.
- \( ( \lambda P)(A) = \lambda P(M) \),
- \( (P+Q)(A) = P(A) + Q(A) \),
- \( (PQ)(A) = P(A) \times Q(A) = Q(A) \times P(A) \).
Polynôme annulateur : définition
Soit \( A \) une matrice carrée et \( P \) un polynôme à coefficients réels. On dit que \( P \) est un polynôme annulateur de \( A \) si \( P \) est non nul et \( P(A) = 0 \).
Matrices inversibles
Matrices inversibles : définition et propriétés
Définition
Soit \( A \) une matrice de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \).
On dit que \( A \) est inversible s’il existe une matrice \( B \) de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) telle que \( AB=BA = \mathrm{I}_n \).
Lorsqu’elle existe, une telle matrice \( B \) est appelée inverse de \( A \) et notée \( A^{-1} \).
Caractérisation
Si \( A \) est une matrice carrée d’ordre \( n \), \( A \) est inversible si et seulement s’il existe une matrice \( B \) de de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \) telle que \( AB = \mathrm{I}_n \) ou \( BA = \mathrm{I}_n \).
Inversibilité et opérations matricielles
Soit \( A \) et \( B \) deux matrices de \( \mathcal{M}_n( \mathbb{R}) \).
- Si \( A \) est inversible, alors \( A^{-1} \) est inversible et \( (A^{-1})^{-1} = A \).
- Si \( A \) est inversible, alors \( {}^t \! A \) est inversible et \( ( {}^t \! A)^{-1} = {}^t (A^{-1}) \)
- Si \( A \) et \( B \) sont inversibles, alors \( AB \) est inversible et \( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \)
- Si \( AB \) est inversible, alors \( A \) et \( B \) sont inversibles
- Si \( A \) est inversible, alors \( AB=AC \Rightarrow B=C \)
Inversibilité d’une matrice carrée d’ordre 2 : condition nécessaire et suffisante, valeur de l’inverse
Soit \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) une matrice carrée d’ordre \( 2 \).
\( A \) est inversible si et seulement si \( ad- bc \neq 0 \) et dans ce cas : \[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} \]
Matrices semblables
Soit \( A \) et \( B \) deux matrices carrées d’ordre \( n \). On dit que \( A \) et \( B \) sont semblables s’il existe une matrice \( P \) inversible telle que : \[ A= PBP^{-1} \].