X-ENS 2026 MathsPSI

Notations

Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes :

• Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(I_n\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

• Pour tout \((n,m)\in\mathbb{N}^\ast\times\mathbb{N}^\ast\) et toute matrice \(A\in\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})\) on note \(\mathrm{Ker}(A)\) et \(\mathrm{Im}(A)\) les ensembles : \begin{align*} \mathrm{Ker}(A) &= \left\{X\in\mathcal{M}_{m,1}(\mathbb{R})\ \middle|\ AX=0\right\}\\ \mathrm{Im}(A) &= \left\{Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\ \middle|\ \exists X\in\mathcal{M}_{m,1}(\mathbb{R})\text{ tel que }Y=AX\right\} \end{align*}

  La transposée d’une matrice \(A\) est notée \({}^t\! A\). Lorsque \(A=[a]\in\mathcal{M}_1(\mathbb{R})\), où \(a\in\mathbb{R}\), on identifie \(A\) au réel \(a\).

• Pour \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on note \(\langle.,.\rangle\) le produit scalaire canonique de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) défini par \[\forall X=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\ \forall Y=\begin{pmatrix}y_1\\ \vdots\\ y_n\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\ \langle X,Y\rangle={}^t\! XY=\sum_{i=1}^nx_iy_i\] On note \(\|.\|\) la norme euclidienne associée définie par \[\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\ \|X\|=\sqrt{\langle X,X\rangle}=\sqrt{{}^t\! XX}\]

  L’espace \(\mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R})\) des vecteurs lignes à \(n\) composantes réelles sera identifié à \(\mathbb{R}^n\). On notera également \(\langle.,.\rangle\) le produit scalaire canonique de \(\mathbb{R}^n\) et par \(\|.\|\) la norme euclidienne associée, définis de la même manière que dans \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).

  Pour tout \(x=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n\) on note \(X\) (lettre majuscule) le vecteur colonne appartenant à \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) défini par \(X={}^t\!(x_1,\cdots,x_n)\).

  Si \(f\) est une fonction de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(x\in\mathbb{R}^n\), on note \(\nabla f(x)\) son gradient en \(x\) défini par \[\nabla f(x)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x),\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x)\right)\in\mathbb{R}^n\]

Dans toute la suite, \(n\) désigne un entier naturel non nul. Pour toute fonction \(f\) de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) on pose \[S(f)=\left\{x\in\mathbb{R}^n\ \middle|\ \nabla f(x)=0\right\}\] On note \(\mathscr{E}\) l’ensemble de toutes les fonctions \(f\) de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) de la forme \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ f(x)=\frac{1}{2}\,{}^t\! XMX-{}^t\! BX \tag{F}\] où \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est une matrice symétrique et \(B\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) un vecteur colonne. On dit dans ce cas que le couple \((M,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\times\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) caractérise la fonction \(f\). On pose \[\mathscr{E}_0=\left\{f\in\mathscr{E}\ \middle|\ f\text{ minorée}\right\}\]

Si \(f\in\mathscr{E}\) on définit la fonction \(Tf\) de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ (Tf)(x)=\frac{1}{2}\|\nabla f(x)\|^2-\frac{1}{2}\|\nabla f(0)\|^2\]

L’un des objectifs principaux de cet énoncé et de démontrer dans des cas particuliers le théorème suivant (Boulmezaoud-Cieutat-Daniilidis) : si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^2\), minorées et convexes (voir Partie I pour la définition) telles que \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ \|\nabla f(x)\|=\|\nabla g(x)\|\] alors \(f-g\) est constante.

Partie I : généralités sur les fonctions convexes et les fonctions minorées

Dans toute la suite, on dit qu’une fonction \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) est convexe si \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ \forall y\in\mathbb{R}^n,\ \forall\lambda\in[0,1],\ f\big((1-\lambda)x+\lambda y\big)\leqslant(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)\]

1. Soit \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) une fonction convexe de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^n\) ;

   1. Soient \(x=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n\) et \(y=(y_1,\cdots,y_n)\in\mathbb{R}^n\) fixés et \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par \[\forall t\in\mathbb{R},\ h(t)=f\big(x+t(y-x)\big)\] Exprimer \(h'(0)\) en fonction de \(x,y\) et du gradient de \(f\).

   2. En déduire l’inégalité \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ \forall y\in\mathbb{R}^n,\ f(y)-f(x)\geqslant\langle\nabla f(x),y-x\rangle\]

   3. En déduire que \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ \forall y\in\mathbb{R}^n,\ \langle\nabla f(y)-\nabla f(x),y-x\rangle\geqslant0\]

   4. Soit \(x_0\in S(f)\). Montrer que \(f(x_0)\) est le minimum global de \(f\) sur \(\mathbb{R}^n\) et que \[\forall x\in S(f),\ f(x)=f(x_0)\]

   5. Montrer que \(S(f)\) est une partie convexe fermée de \(\mathbb{R}^n\).

2. On suppose dans cette question que \(f\) est minorée et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}^n\) (\(f\) n’est plus supposée convexe). Pour tout réel \(\varepsilon>0\), on définit la fonction \(f_\varepsilon\) par \[\forall x=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n,\ f_\varepsilon(x)=f(x)+\varepsilon\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2+1}\]

   1. Soit \(\varepsilon\in\left]0,+\infty\right[\). Montrer qu’il existe \(x_\varepsilon\in\mathbb{R}^n\) tel que \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ f_\varepsilon(x)\geqslant f_\varepsilon(x_\varepsilon)\] Indication : on peut considérer l’ensemble \(\left\{x\in\mathbb{R}^n\ \middle|\ f_\varepsilon(x)\leqslant f_\varepsilon(0)\right\}\).

   2. En déduire que pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(x_\varepsilon\in\mathbb{R}^n\) tel que \[\|\nabla f(x_\varepsilon)\|\leqslant\varepsilon\]

   3. En déduire \[\inf\left\{\|\nabla f(x)\|\ \middle|\ x\in\mathbb{R}^n\right\}=0\]

Partie II : le cas monodimensionnel

3. On considère deux fonctions \(f_1\) et \(f_2\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), de classe \(\mathcal{C}^1\), convexes, minorées et vérifiant la propriété suivante : il existe une constante \(c\in\mathbb{R}\) telle que \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_1'(x)^2-f_2'(x)^2=c\] (autrement dit, la fonction \((f_1')^2-(f_2')^2\) est constante). On rappelle que pour \(i\in\{1,2\}\) : \[S(f_i)=\left\{x\in\mathbb{R}\ \middle|\ f_i'(x)=0\right\}\]

   1. Montrer que \(c=0\) et que \(S(f_1)=S(f_2)\).

   2. Soit \(i\in\{1,2\}\). Montrer que \(f_i'\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

   3. Montrer que \(S(f_1)\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\).

   4. Montrer que \(f_1'=f_2'\) sur \(\mathbb{R}\).

      Indication : on peut distinguer les cas \(S(f_1)=\varnothing\) et \(S(f_1)\neq\varnothing\).

   5. Conclure.

4. On considère maintenant une fonction \(g\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), de classe \(\mathcal{C}^2\) et minorée. On définit la fonction \(R:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) par \[\forall x\in\mathbb{R},\ R(x)=g'(x)^2\] On suppose que \(R\) est convexe. On voudrait démontrer que \(g\) l’est aussi.

   1. Montrer que \[S(R)=S(g)\]

   2. On suppose dans cette question que \(S(g)=\varnothing\). Montrer que \(g'\) est croissante.

   3. On suppose dans cette question que \(S(g)\neq\varnothing\). Montrer que \(g'\) est croissante.

   4. Montrer que \(g\) est convexe.

      Indication : on peut fixer \(x,y\in\mathbb{R}\) avec \(x<y\) et considérer la fonction \(\varphi(t)=g\big((1-t)x+ty\big)-(1-t)g(x)-tg(y)\) pour \(t\in[0,1]\).

5. On considère deux fonctions \(g_1\) et \(g_2\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), de classe \(\mathcal{C}^2\) minorées et vérifiant les propriétés suivantes :

   • la fonction \(x\in\mathbb{R}\mapsto g_1'(x)^2\in\mathbb{R}\) est convexe,

   • il existe une constante \(c_1\in\mathbb{R}\) telle que \[\forall x\in\mathbb{R},\ g_1'(x)^2-g_2'(x)^2=c_1\]

   Montrer que \(g_1-g_2\) est une fonction constante.

Partie III : cas des fonctions quadratiques

6. Soit \(f\in\mathscr{E}\) et \((M,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\times\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) un couple qui la caractérise (on rappelle que \(M\) est symétrique).

   1. Montrer que \[{}^t\!\big(\nabla f(x)\big)=MX-B\]

   2. En déduire que \(Tf\in\mathscr{E}_0\).

   3. Montrer que \(\mathrm{Ker}(M)^\perp=\mathrm{Im}(M)\) et en déduire que \[\mathrm{Im}(M)\oplus\mathrm{Ker}(M)=\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\]

   4. En déduire que l’application \(X\in\mathrm{Im}(M)\mapsto MX\in\mathrm{Im}(M)\) est un automorphisme de \(\mathrm{Im}(M)\).

   5. Montrer que les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes

      • \((i)\) \(f\in\mathscr{E}_0\).

      • \((ii)\) \(B\in\mathrm{Ker}(M)^\perp\) et \(\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\ {}^t\! XMX\geqslant0\).

      • \((iii)\) \(f\) est convexe et \(S(f)\neq\varnothing\).

   6. En déduire que si \(f\in\mathscr{E}_0\) alors il existe une constante réelle \(\alpha>0\) telle que \[\forall X\in\mathrm{Im}(M),\ {}^t\! XMX\geqslant\alpha\|X\|^2\]

7. Montrer que l’application \(T:f\in\mathscr{E}_0\mapsto Tf\in\mathscr{E}_0\) est surjective.

8. Soient \(M_1\) et \(M_2\) deux matrices symétriques positives telles que \(M_1^2=M_2^2\). Montrer que \(M_1=M_2\).

9. Montrer que l’application \(T:f\in\mathscr{E}_0\mapsto Tf\in\mathscr{E}_0\) est aussi injective.

10. Conclure.

Partie IV : un cas un peu plus général

Dans cette partie on considère deux fonctions \(f\), \(g\) de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant les quatre propriétés suivantes

• \(f\) et \(g\) sont convexes minorées,

• La fonction \(x\in\mathbb{R}^n\mapsto\|\nabla f(x)\|^2-\|\nabla g(x)\|^2\) est constante,

• \(f+g\in\mathscr{E}\),

• \(S(f)\neq\varnothing\).

On pose dans la suite \[h=f+g,\ \psi=f-g\] et \[\inf h=\inf\left\{h(x)\ \middle|\ x\in\mathbb{R}^n\right\}\] Ainsi, \(h\in\mathscr{E}\). On note \((M,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\times\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) le couple matrice-vecteur colonne caractérisant \(h\).

11. Montrer que \(h\in\mathscr{E}_0\).

12. Montrer que nécessairement \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ \|\nabla f(x)\|=\|\nabla g(x)\|\]

13. Montrer que \[S(h)=S(f)=S(g)\]

14. Soient \(y_1,\cdots,y_n\) des fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\mathbb{R}\). On note \(y=(y_1,\cdots,y_n)\) l’application de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\mathbb{R}^n\) définie par \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\ y(t)=\big(y_1(t),\cdots,y_n(t)\big)\] et on suppose que l’intégrale \[\int_0^{+\infty}\|y'(t)\|^2\,\mathrm{d}t\] converge (où pour tout \(t\in\mathbb{R}_+\), \(y'(t)=\big(y_1'(t),\cdots,y_n'(t)\big)\)).

    1. On définit la fonction \(z\) de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\mathbb{R}^n\) par \[z(t)=\begin{cases}\dfrac{1}{t}\big(y(t)-y(0)\big) & \text{si } t>0\\[2mm] y'(0) & \text{si } t=0\end{cases}\] Montrer que \(z\) est continue sur \(\mathbb{R}_+\) et que pour tout réel \(A\geqslant0\) on a \[\int_0^A\|z(t)\|^2\,\mathrm{d}t\leqslant2\int_0^A\langle z(t),y'(t)\rangle\,\mathrm{d}t\]

    2. En déduire que l’intégrale \[\int_0^{+\infty}\|z(t)\|^2\,\mathrm{d}t\] converge et qu’on a \[\int_0^{+\infty}\|z(t)\|^2\,\mathrm{d}t\leqslant4\int_0^{+\infty}\|y'(t)\|^2\,\mathrm{d}t\]

    3. Montrer que l’intégrale généralisée \[\int_0^{+\infty}\frac{\|y(t)\|^2}{t^2+1}\,\mathrm{d}t\] converge et que \[\int_0^{+\infty}\frac{\|y(t)\|^2}{t^2+1}\,\mathrm{d}t\leqslant8\int_0^{+\infty}\|y'(t)\|^2\,\mathrm{d}t+\pi\|y(0)\|^2\]

15. Dans toute la suite, \(Y:t\in\left[0,+\infty\right[\mapsto{}^t\!\big(y_1(t),\cdots,y_n(t)\big)\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) désigne une solution de classe \(\mathcal{C}^1\) du système différentiel \[Y'(t)=-MY(t)+B \tag{E1}\] On pose \(y:t\in\left[0,+\infty\right[\mapsto\big(y_1(t),\cdots,y_n(t)\big)\in\mathbb{R}^n\).

    1. Soit \(v\in S(h)\). On définit les fonctions \(F\) et \(D\) sur \(\left[0,+\infty\right[\) par \[\forall t\in\left[0,+\infty\right[,\ F(t)=h\big(y(t)\big)\quad\text{et}\quad D(t)=\|Y(t)-V\|^2\] (on rappelle que \(V={}^t\! v\)). Montrer que \(F\) et \(D\) sont décroissantes.

       Indication : on peut observer que \({}^t\!\nabla h(x)=MX-B\) (voir question (6a)).

    2. Soient \(U\in\mathrm{Im}(M)\), \(Y_0\in\mathrm{Ker}(M)\) et \(Y_1\in\mathrm{Im}(M)\) tels que \[MU=B\quad\text{et}\quad Y(0)=Y_0+Y_1\] On définit la fonction \(Z:\left[0,+\infty\right[\to\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) par \[\forall t\in\left[0,+\infty\right[,\ Z(t)=Y(t)-U-Y_0\] Justifier l’existence des vecteurs \(U\), \(Y_0\) et \(Y_1\) puis montrer que pour tout \[\forall t\geqslant0,\ Z'(t)=-MZ(t)\] et en déduire que pour tout \(t\geqslant0\), \(Z(t)\in\mathrm{Im}(M)\).

    3. Soit \(\omega\) la fonction définie sur \(\left[0,+\infty\right[\) par \(\omega(t)=\|Z(t)\|^2\) pour \(t\geqslant0\). Montrer qu’il existe un réel \(\beta>0\) tel que \[\forall t\geqslant0,\ \omega'(t)+\beta\omega(t)\leqslant0\]

    4. En déduire que \[\forall t\geqslant0,\ \omega(t)\leqslant\omega(0)\mathrm{e}^{-\beta t}\]

    5. En déduire qu’il existe \(Y_\infty\in S(h)\) tel \[\lim_{t\to+\infty}Y(t)=Y_\infty\]

    6. Montrer que les intégrales \[\int_0^{+\infty}\|y'(t)\|^2\,\mathrm{d}t\quad\text{et}\quad\int_0^{+\infty}\frac{\|y(t)\|^2}{t^2+1}\,\mathrm{d}t\] convergent et que \begin{align*} \int_0^{+\infty}\|y'(t)\|^2\,\mathrm{d}t &= h\big(y(0)\big)-\inf h\\ \int_0^{+\infty}\frac{\|y(t)\|^2}{t^2+1}\,\mathrm{d}t &\leqslant 8\Big(h\big(y(0)\big)-\inf h\Big)+\pi\|y(0)\|^2 \end{align*}

16. Montrer que \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ \langle\nabla\psi(x),\nabla h(x)\rangle=0\] et en déduire que la fonction \(t\in\mathbb{R}_+\mapsto\psi\big(y(t)\big)\) est constante.

17. Montrer que la fonction \(\psi\) est constante puis conclure.