HEC, ESSEC 2025BL

Exercice

Partie I

Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on pose :

\[u_{n}=\frac{n! \, \mathrm{e}^{n}}{n^{n+\frac{1}{2}}} \quad \text { et } \quad v_{n}=\ln (u_{n})\]

1. Montrer que les deux suites \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) sont bien définies.

2. Montrer que :

   \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ v_{n}-v_{n+1}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln \! \left(1+\frac{1}{n}\right)-1\]

3. 1. Rappeler le développement limité de \(\ln (1+x)\) à l’ordre 3, au voisinage de 0.

   2. En déduire qu’il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(] 0,1[\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\), de limite nulle en 0 et telle que \[v_{n}-v_{n+1}=\frac{1}{12 n^{2}}+\frac{1}{n^{2}} \, \varepsilon\left(\frac{1}{n}\right)\]

   3. Déterminer la nature de la série de terme général \(v_{n}-v_{n+1}\).

4. Montrer que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge.

5. Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge vers un réel strictement positif.

Partie II

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on pose : \[I_{n}=\int_{0}^{1}\left(1-t^{2}\right)^{n} \, \mathrm{d}t\]

6. 1. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}, \ I_{n}\) est un réel strictement positif.

   2. Calculer \(I_{0}, I_{1}\) et \(I_{2}\).

7. 1. Montrer que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ 1-x \leqslant \mathrm{e}^{-x}\]

   2. En déduire que :

      \[\forall n \in \mathbb{N}, \ 0 \leqslant I_{n} \leqslant \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-n t^{2}} \, \mathrm{d}t\]

8. 1. Montrer que :

      \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-n t^{2}} \, \mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{n}} \int_{0}^{\sqrt{n}} \mathrm{e}^{-u^{2}} \, \mathrm{d} u\]

   2. En déduire que la suite \(\left(I_{n}\right)\) est convergente et déterminer sa limite.

9. 1. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), trouver une relation simple liant \(I_{n+1}\) et \(I_{n}\).

   2. Montrer que :

      \[\forall n \in \mathbb{N}, \ I_{n}=\frac{\left(2^{n} n!\right)^{2}}{(2 n+1)!}\]

10. 1. Déterminer \[\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{I_{n}}{u_{n}^{2}}\right)\]

    2. En déduire la valeur de

       \[\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{4^{n} n^{2 n+1} \mathrm{e}^{-2 n}}{(2 n+1)!}\right)\]

11. Dans cette question, on fixe un entier \(n \in \mathbb{N}\) et l’on définit une fonction \(f_{n}\) par \[\forall t \in \mathbb{R}, \ f_{n}(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{I_{n}}\left(1-t^{2}\right)^{n} & \text { si } t \in[0,1] \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon }\rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

    1. Vérifier que \(f_{n}\) est une densité de probabilité.

       On note alors \(X_{n}\) une variable aléatoire admettant \(f_{n}\) comme densité.

    2. Montrer que \(X_{n}\) admet une espérance et exprimer cette espérance en fonction de \(n\).

    3. Montrer que \(X_{n}^{2}\) admet une espérance et exprimer cette espérance en fonction de \(n\). En déduire la variance de \(X_{n}\) en fonction de \(n\).

Problème

Dans tout ce problème, \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Si \(p\) et \(q\) sont deux entiers tels que \(p \leqslant q\), alors \(\left[\!\left[p, q\right]\!\right]\) désigne l’ensemble des entiers \(k\) tels que \(p \leqslant k \leqslant q\).

Partie I

1. Questions de cours. Soit \(A\) une matrice élément de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).

   1. Rappeler la définition d’une valeur propre et d’un vecteur propre de \(A\).

   2. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les valeurs propres de \(A\) pour que \(A\) soit inversible.

   3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(A\) soit diagonalisable.

2. Dans cette question seulement, \(n=2\) et \(A=\begin{pmatrix} 1 / 2 & 0 \\ 1 / 2 & 1\end{pmatrix}\).

   1. Déterminer les valeurs propres de \(A\) et une base de chaque sous-espace propre.

   2. La matrice \(A\) est-elle inversible? Si oui, déterminer son inverse.

   3. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable? Si oui, trouver une matrice diagonale \(D \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) et une matrice inversible \(P \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) telles que \(A=P D P^{-1}\).

Partie II

On désigne par \(\mathbb{R}_{n-1}[x]\) l’espace vectoriel des fonctions polynomiales à coefficients réels de degré au plus \(n-1\). On confondra polynôme et fonction polynomiale associée.

On considère l’application \(F_{n}\) définie par :

\[\forall P \in \mathbb{R}_{n-1}[x], \ F_{n}(P)=Q \quad \text { avec } \quad \forall x \in \mathbb{R}, \ Q(x)=P(x)+\frac{1-x}{n} P^{\prime}(x)\]

3. Montrer que \(F_{n}\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_{n-1}[x]\).

   Pour tout \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\), on définit \(P_{k}\) et \(Q_{k}\) en posant :

   \[\forall x \in \mathbb{R}, \ P_{k}(x)=x^{n-k} \quad \text { et } \quad Q_{k}=F_{n}(P_{k})\]

4. 1. Montrer que \(\left(P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}\right)\) est une base de \(\mathbb{R}_{n-1}[x]\).

      On appellera désormais \(\mathcal{B}\) cette base.

   2. Expliciter \(Q_{n}\).

   3. Montrer que : \[\forall k \in \left[\!\left[1, n-1\right]\!\right], \ \forall x \in \mathbb{R}, \ Q_{k}(x)=\frac{k}{n} \, P_{k}(x)+\frac{n-k}{n} \, P_{k+1}(x)\]

   4. Soit \(M_{n}\) la matrice représentative de \(F_{n}\) dans la base \(\mathcal{B}\). Vérifier que la matrice \(M_{n}\) est triangulaire et donner ses coefficients diagonaux.

5. Dans cette question seulement, on se place dans le cas \(n=2\).

   1. Déterminer les valeurs propres de \(F_{2}\) et une base de chaque sous-espace propre.

   2. Soit \(T\) la fonction polynomiale définie par \(T: x \mapsto 2 x+1\). Montrer qu’il existe une unique fonction polynomiale \(S \in \mathbb{R}_{1}[x]\) telle que \(F_{2}(S)=T\). Déterminer \(S\).

6. On revient au cas général avec \(n\) un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 2.

   1. La matrice \(M_{n}\) est-elle inversible? Justifier.

   2. Déterminer l’ensemble des valeurs propres de \(M_{n}\).

   3. La matrice \(M_{n}\) est-elle diagonalisable? Justifier.

   4. Déterminer le sous espace propre de \(F_{n}\) associé à la valeur propre 1.

7. Soit \(k \in \left[\!\left[1, n-1\right]\!\right]\).

   1. Justifier l’existence d’un polynôme \(P \in \mathbb{R}_{n-1}[x]-\{0\}\) tel que \(\displaystyle F_{n}(P)=\frac{n-k}{n} \, P\).

      Dans la suite de cette question, on considère un tel polynôme \(P\).

   2. Calculer \(P(1)\). En déduire qu’il existe \(r \in \left[\!\left[1, n-1\right]\!\right]\) et \(R \in \mathbb{R}_{n-2}[x]\) tels que :

      \[\forall x \in \mathbb{R}, \ P(x)=(x-1)^{r} R(x) \quad \text { et } \quad R(1) \neq 0\]

   3. Montrer que \(r=k\).

   4. Montrer que \(R\) est un polynôme constant.

   5. Déterminer une base de vecteurs propres de \(F_{n}\).

8. Pour tout \(k \in \left[\!\left[0, n-1\right]\!\right]\), on définit \(V_{k}\) en posant :

   \[\forall x \in \mathbb{R}, \ V_{k}(x)=(x-1)^{k}\]

   1. Montrer que \(\left(V_{k}\right)_{k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]}\) forme une base de \(\mathbb{R}_{n-1}[x]\).

   2. Pour tout \(k \in \left[\!\left[0, n-1\right]\!\right]\), pour tout \(i \in \mathbb{N}^{*}\), exprimer \(F_{n}^{i}(V_{k})\) en fonction de \(V_{k}\) où la suite \(\left(F_{n}^{i}\right)_{i \in \mathbb{N}^{*}}\) est définie par récurrence comme suit : \(F_{n}^{1}=F_{n}\) et pour tout \(i \in \mathbb{N}^{*}, \ F_{n}^{i+1}=F_{n}^{i} \circ F_{n}\).

9. On considère la suite de polynômes \(\left(U_{j}\right)_{j \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par :

   \[\forall x \in \mathbb{R}, \ U_{1}(x)=x^{n-1} \quad \text { et } \quad \forall j \in \mathbb{N}, \ U_{j+1}=F_{n}\left(U_{j}\right)\]

   1. Montrer que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ U_{1}(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k} V_{k}(x)\]

   2. Pour tout \(j \in \mathbb{N}^{*}\), déterminer l’écriture de \(U_{j}\) sur la base \(\left(V_{0}, V_{1}, \ldots, V_{n-1}\right)\).

   3. Montrer que :

      \[\forall j \in \mathbb{N}^{*}, \ U_{j}(0)=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\left(\frac{n-k}{n}\right)^{j-1}(-1)^{k}\]

Partie III

Toutes les variables aléatoires considérées sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{T}, \mathbb{P})\).

Sur un marché, \(n\) sites marchands proposent un même produit à la vente. Lorsqu’un client arrive, il passe une et une seule commande en choisissant l’un des sites marchands de façon équiprobable. Les commandes se font successivement et de manière indépendante.

Pour tout \(j \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(X_{j}\) la variable aléatoire réelle indiquant le nombre de sites ayant reçu au moins une commande après que \(j\) commandes ont été passées.

10. Énoncer la formule des probabilités totales.

11. Soit \(j \in \mathbb{N}^{*}\).

    1. Soit \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\) et \(k \leqslant j\). Déterminer \(\mathbb{P}(X_{j+1}=k \mid X_{j}=k)\). Justifier.

    2. Soit \(k \in \left[\!\left[2, n\right]\!\right]\) et \(k-1 \leqslant j\). Déterminer \(\mathbb{P}(X_{j+1}=k \mid X_{j}=k-1)\). Justifier.

    3. Soient \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\) et \(i \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]-\{k, k-1\}\). Déterminer \(\mathbb{P}(X_{j+1}=k \mid X_{j}=i)\). Justifier.

    4. Montrer que

       \[\forall k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right], \ \mathbb{P}(X_{j+1}=k)=\frac{k}{n} \, \mathbb{P}(X_{j}=k)+\frac{n-k+1}{n} \, \mathbb{P}(X_{j}=k-1)\]

12. On pose désormais :

    \[\forall j \in \mathbb{N}^{*}, \ \forall x \in \mathbb{R}, \ G_{j}(x)=\sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}\left(X_{j}=k\right) x^{n-k}\]

    1. Déterminer la loi de \(X_{1}\). En déduire une expression simple de \(G_{1}\).

    2. Prouver que :

       \[\forall j \in \mathbb{N}^{*}, \ G_{j+1}=F_{n}\left(G_{j}\right)\]

    3. Montrer que, pour tout \(j \in \mathbb{N}^{*}, \ G_{j}=U_{j}\), où \(\left(U_{j}\right)_{j \in \mathbb{N}^{*}}\) est la suite de polynômes définie dans la Partie II.

    4. Montrer que :

       \[\forall j \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}(X_{j}=n)=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\left(\frac{n-k}{n}\right)^{j-1}(-1)^{k}\]

    5. Soit \(j\) un entier tel que \(1 \leqslant j<n\). Déterminer

       \[\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{j-1}(-1)^{k}\]

13. Dans toute cette question, \(j\) est un entier naturel non nul.

    1. Justifier l’existence de l’espérance de \(X_{j}\). On notera \(\mathbb{E}(X_{j})\) l’espérance de \(X_{j}\).

    2. Calculer \(G_{j}(1)\).

    3. Déterminer une expression de \(G_{j}^{\prime}(1)\) en fonction de \(\mathbb{E}(X_{j})\) et de \(n\).

    4. Montrer que la suite \((G_{j}^{\prime}(1))_{j \in \mathbb{N}^{*}}\) est une suite géométrique.

    5. Déterminer l’expression de \(\mathbb{E}(X_{j})\) en fonction de \(j\) et de \(n\).

    6. Calculer

       \[\lim _{j \rightarrow+\infty} \mathbb{E}(X_{j})\]

       Le résultat trouvé vous semble-t-il conforme à l’intuition? Comment l’interprétez-vous?

Partie IV

On désigne par \(T\) la variable aléatoire réelle indiquant le nombre de clients ayant déjà procédé à une commande lorsque, pour la première fois, chacun des \(n\) sites marchands a été choisi au moins une fois.

14. Soit \(j \in \mathbb{N}^{*}\).

    1. Comparer les événements \([T \leqslant j]\) et \(\left[X_{j}=n\right]\).

    2. En déduire que :

       \[\mathbb{P}(T=j+1)=\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}\binom{n-1}{k} \frac{k}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{j-1}\]

15. 1. En déduire que :

       \[\mathbb{E}(T-1)=n \sum_{k=1}^{n-1}\binom{n-1}{k} \frac{(-1)^{k-1}}{k}\]

    2. Montrer que, pour tout \(x \in[0,1]\) :

       \[\sum_{k=1}^{n-1}\binom{n-1}{k}(x-1)^{k-1}=\sum_{k=1}^{n-1} x^{k-1}\]

    3. Conclure que :

       \[\mathbb{E}(T)=n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}.\]