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Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes :
Pour tout entier \(n \geqslant 0\), on note \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\) l’ensemble des entiers \(k\) vérifiant \(0 \leqslant k \leqslant n\).
Si \(x \in \mathbb{R}\), on note \(\lfloor x\rfloor\) la partie entière de \(x\).
Pour tous \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(m \in \mathbb{N}^{*},\) \(\mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{R})\) désigne l’ensemble des matrices à coefficients réels ayant \(n\) lignes et \(m\) colonnes. On pose \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})=\mathcal{M}_{n, n}(\mathbb{R})\) et on note \(I_{n}\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). Les coefficients d’une matrice \(A \in \mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{R})\) sont notés \((A)_{i, j}, 1 \leqslant i \leqslant n\) et \(1 \leqslant j \leqslant m\).
La transposée d’une matrice \(A\) est notée \({}^t\!A\). Lorsque \(A=[a] \in \mathcal{M}_{1}(\mathbb{R})\), où \(a \in \mathbb{R}\), on identifie \(A\) au réel \(a\). Si \(V \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(\|V\|\) sa norme euclidienne.
Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) un espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires de cet énoncé sont définies sur cet espace.
Si \(X\) est une variable aléatoire réelle, on note \(\mathbb{E}(X)\) son espérance, si elle existe. Pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}\), on appelle moment d’ordre \(k\) de \(X\), s’il existe, le réel \(\mathbb{E}(X^k)\). On le note \(m_{k}(X)\) et on convient que \(m_{0}(X)=1\)
Si \(g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) est une fonction de deux variables de classe \(\mathcal C^{2}\) et \(\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\), on notera \(\nabla g\left(x_{1}, x_{2}\right)\) et \(\nabla^{2} g\left(x_{1}, x_{2}\right)\), respectivement, le gradient et la matrice hessienne de \(g\) au point \(\left(x_{1}, x_{2}\right)\)
\(\forall \alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*}\), on définit la fonction puissance \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}_{+}\) par \[\begin{array}{lll} \mathbb{R}_+ & \to & \mathbb{R}_+\\ x & \mapsto & \begin{cases} x^\alpha = \mathrm{e}^{\alpha\ln(x)} &\text{si } x>0 \\ \hfill 0 \hfill &\text{sinon} \end{cases} \end{array}\]
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) et \(J\) un intervalle de \(\mathbb{R}\). On note \(f_{\mid J}\), la restriction de \(f\) à \(J\) : \[f_{\mid J} : \begin{array}{lll} J & \to & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & f(x) \end{array}\]
L’énoncé comporte trois grandes parties I, II et III. Les parties II et III sont largement indépendantes.
Le mot FIN marque la fin de l’énoncé.
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle à densité.
Montrer que dans les cas suivants, la variable \(X\) admet des moments de tout ordre et déterminer ces moments :
\(X\) suit la loi uniforme sur \([0,1]\).
\(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda \in \mathbb{R}_{+}^{*}\).
Dans toute la suite, on se donne une suite de réels \(\left(u_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) avec \(u_{0}=1\) et un intervalle \(J\) de \(\mathbb{R}\).
On considère le problème suivant appelé problème des moments et qu’on note \(\mathscr{A}^{*}(J)\) :
Trouver une variable aléatoire réelle \(X\) vérifiant les trois conditions suivantes:
Pour tout \(k \in \mathbb{N}\), \(X\) admet un moment d’ordre \(k\) et \(m_{k}(X)=u_{k}\).
\(X\) admet une densité \(f\), avec \(f_{\mid J}\) continue sur \(J\).
\(\forall x \in \mathbb{R} \backslash J, \ f(x)=0\).
Si \(X\) est une solution de ce problème et \(f\) une densité de \(X\) vérifiant les points précédents, on dit que \(f\) est une densité de \(X\) adaptée à \(\mathscr{M}^{*}(J)\).
Dans ce problème, on s’intéressera uniquement à deux cas :
Le cas \(J=\mathbb{R}_{+}\). Dans ce cas, \(\mathscr{M}^{*}(J)\) est appelé le problème de Stieltjes.
Le cas \(J=[0,1]\). Dans ce cas, \(\mathscr{M}^{\star}(J)\) est appelé le problème de Hausdorff.
On suppose dans cette partie II.1 que le problème \(\mathscr{M}^{\star}(J)\) avec \(J=\mathbb{R}_{+}\) admet une solution notée \(X\). On note \(f\) une densité de \(X\) adaptée à \(\mathscr{M}^{\star}(J)\).
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(H_{n}\) et \(G_{n}\) les matrices de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont les coefficients sont: \[\forall(i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^{2}, \quad\left(H_{n}\right)_{i, j}=u_{i+j-2}, \quad\left(G_{n}\right)_{i, j}=u_{i+j-1}\]
Écrire explicitement \(H_{3}\) et \(G_{3}\) en fonction de \(u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\) et \(u_{5}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(W=\begin{pmatrix} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\). Montrer que : \[{}^t\!\, W H_{n} W=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} u_{i+j-2}\] puis que : \[{}^t\!\, W H_{n} W=\int_{0}^{+\infty}(P(x))^{2} f(x) \, \mathrm{d} x\] où \(P\) est la fonction polynomiale définie par \[P(x)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} x^{i-1} \text { pour tout } x \in \mathbb{R}\]
En déduire que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), toutes les valeurs propres de \(H_{n}\) sont positives.
Montrer de même que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), toutes les valeurs propres de \(G_{n}\) sont positives.
On suppose uniquement dans cette question que \(u_{0}=1, u_{1}=\dfrac{1}{2}\) et \(u_{2}=\dfrac{1}{3}\).
Montrer que nécessairement \(u_{3} \geqslant \dfrac{2}{9}\).
On suppose dans cette question seulement qu’il existe un réel \(\theta>0\) tel que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(t) \exp (t^{\theta})\, \mathrm{d} t\) converge.
Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(t \in \mathbb{R}_{+}\), on a \[t^{n} \exp \! \left(-t^{\theta}\right) \leqslant \left(\frac{n}{\theta}\right)^{\frac{n}{\theta}} \exp\! \left(-\frac{n}{\theta}\right)\]
En déduire que la série de terme général \(\left(u_{n}\right)^{-\frac{\theta}{n}}\) diverge.
Python
On se donne un entier naturel \(N\). On pose : \(N^{\star}=1+\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor\).
On voudrait vérifier numériquement que la condition suivante, portant sur les \(N+1\) premiers termes \(u_{0}, \cdots, u_{N}\), est vérifiée: \[\tag{$CS_N$} \forall n \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,N^\ast} \right]\kern-0.15em\right],\ \ \text { toutes les valeurs propres de } H_{n} \text { sont positives }\]
On rappelle que cette condition est nécessaire d’après la question 4 ci-dessus.
La fonction test_stieltjes() ci-dessous est
écrite en langage Python. Elle est incomplète.
Elle a comme paramètre d’entrée un tableau unidimensionnel
U (de type array)
comportant une suite finie de nombres réels \(u_{0}, \cdots, u_{N}\).
Compléter les parties soulignées en pointillé afin que la fonction
test_stieltjes() renvoie la valeur 1 si la
condition \(\left(C S_{N}\right)\) est
satisfaite et renvoie la valeur 0 sinon.
On notera que la fonction eigvalsh() de la
librairie numpy.linalg renvoie un tableau
unidimensionnel contenant les valeurs propres d’une matrice symétrique
donnée en paramètre.
On reproduira sur la copie le programme après l’avoir complété (sans les commentaires).
import numpy as np
import numpy.linalg as al
def test_stieltjes(U):
N=len(U)-1 #indice du dernier terme de la suite finie U
m=1+N//2
H=np.zeros((m,m))
for n in range(1,m+1): # taille de la matrice H_n
for i in range(......., .......):
H[i,n-1]=U[i+n-1]
H[n-1,i]=..................
valp=al.eigvalsh(H)
for k in range(0, .............):
if (.......................):
return ................
return ........................
On définit la fonction \(g:[0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}\) par : \[g(x)=\exp (-x^{1 / 4}) \sin(x^{1 / 4}) \text { pour tout } x \in[0,+\infty[\]
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que les intégrales
\[\int_{0}^{+\infty} t^{n} \,\mathrm{e}^ {-t} \sin (t) \, \mathrm{d} t \quad \text { et } \quad \int_{0}^{+\infty} t^{n} \,\mathrm{e}^ {-t} \cos (t) \, \mathrm{d} t\]
existent (on convient que \(t^{0}=1\)).
On note dans la suite :
\[S_{n}=\int_{0}^{+\infty} t^{n} \,\mathrm{e}^ {-t} \sin (t) \, \mathrm{d} t, \quad T_{n}=\int_{0}^{+\infty} t^{n} \,\mathrm{e}^ {-t} \cos (t) \, \mathrm{d} t \quad \text { et } \quad V_{n}= \begin{pmatrix} S_{n} \\ T_{n} \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})\]
Montrer que \(S_{0}=\dfrac{1}{2}\). On admet que \(T_{0}=S_{0}\).
Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on a : \begin{align*} & S_{n+1}+T_{n+1}= \left( n+1 \right) T_{n} \\ & S_{n+1}-T_{n+1}= \left( n+1 \right) S_{n} \end{align*}
En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on a : \[V_{n+1}= \left( n+1 \right) M V_{n}, \quad \text { où } M=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\]
En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[V_{n}=n ! \, M^{n} V_{0}\]
Calculer \(M^{4}\) et en déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[S_{4 n+3}=0\]
En utilisant le changement de variable \(x=t^{4}\) dont on justifiera la validité, montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ \int_{0}^{+\infty} x^{n} g(x) \, \mathrm{d} x=0\]
Montrer qu’il existe deux fonctions \(g_{1}\) et \(g_{2}\) positives, distinctes, continues sur \(\mathbb{R}_{+}\) et telles que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) les deux intégrales \[\int_{0}^{+\infty} x^{n} g_{1}(x) \, \mathrm{d} x \text { et } \int_{0}^{+\infty} x^{n} g_{2}(x) \, \mathrm{d} x\]
existent et sont égales.
Que peut-on conclure par rapport au problème \(\mathscr{M}^{*}(J)\) quand \(J=[0,+\infty[\) ?
Dans toute cette partie, on suppose que \(J=[0,1]\).
On suppose dans ce paragraphe III.1 que le problème \(\mathscr{M}^{*}(J)\) avec \(J=[0,1]\) admet une solution notée à nouveau \(X\). On note \(f\) une densité de \(X\) adaptée à \(\mathscr{M}^{\star}(J)\).
Montrer que \(u_{n}>0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Plus généralement, montrer que pour tous \(i \in \mathbb{N}\) et \(j \in \mathbb{N}\), on a : \[\sum_{k=0}^{j}(-1)^{k} \binom jk u_{i+k}>0\]
On suppose dans cette question seulement que \(\displaystyle u_{0}=1, u_{1}=\frac{1}{2}\) et \(\displaystyle u_{2}=\frac{1}{3}\).
Montrer que \(\displaystyle u_{3} \in \left] \frac{1}{6}, \frac{1}{3} \right[\).
Revenons au cas général. Montrer que pour tout \(\alpha>0\), la série de terme général \(\dfrac{u_{n}}{n^{\alpha}}\) \((n \geqslant 1)\) est convergente.
Cette affirmation reste-t-elle vraie quand \(\alpha=0\) ?
Revenons à la condition (7) ci-dessus. Pour tous \(n \in \mathbb{N}\) et \(j \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\) on pose \[\Delta_{n, j}= \sum_{k=0}^{j}(-1)^{k} \binom jk u_{n+k-j}\] Soit \(n \in \mathbb{N}\). On dit que la condition (7) est vraie à l’ordre \(n\) si \[\tag{$CH_n$} \forall j \in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \Delta_{n, j}>0\]
Exprimer \(\Delta_{n, 0}\) en fonction de \(u_{n}\).
Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout \(j \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\) on a \[\Delta_{n+1, j+1}=\Delta_{n, j}-\Delta_{n+1, j}\]
Python
La fonction test_hausdorff() ci-dessous est
écrite en langage Python. Elle est incomplète.
Elle a comme paramètre d’entrée un tableau unidimensionnel
U (de type array)
comportant une suite finie de nombres réels \(u_{0}, \cdots, u_{N}\). Ici \(N\) est calculé à partir de la taille de
\(U\) en utilisant la fonction
len() qui renvoie la
taille du tableau.
Compléter les parties soulignées en pointillé afin que la fonction
test_hausdorff() renvoie un couple comportant
les deux éléments suivants :
un entier info tel que :
info=-1 si la condition \(\left(\mathrm{CH}_{n}\right)\) est
satisfaite pour tout \(n \in
\left[\kern-0.15em\left[ {0,N}
\right]\kern-0.15em\right]\).
info est égal au plus petit entier
\(n \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,N}
\right]\kern-0.15em\right]\) pour lequel \(C H_{n}\) n’est pas satisfaite
sinon.
un tableau bidimensionnel Delta de
taille \((N+1) \times(N+1)\) comportant
les coefficients \(\Delta_{n, j}\) pour
\(n \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,N}
\right]\kern-0.15em\right]\) et \(j \in
\left[\kern-0.15em\left[ {0,N}
\right]\kern-0.15em\right]\) (on pose \(\Delta_{n, j}=0\) si \(j>n\)).
On reproduira sur la copie le programme après l’avoir complété (sans les commentaires).
import numpy as np
def test_Hausdorff(U):
N=len(U)-1 #indice du dernier terme de la suite finie U
Delta=np.zeros((N+1,N+1))
info=-1
for k in range(....., .......):
Delta[k,0]=U[......]
if ((...........) and (info==-1)):
info=k
for j in range(....., .......):
Delta[k,j]=..............
if ((...........) and (((...........)):
info=........
return (info,Delta)Python
def test3():
N=10
U=np.zeros(N+1)
for k in range(0,N+1):
U[k]=1.0/(k+1) # correspond à la loi uniforme
V=test_Hausdorff(U)
U[3]=0.16
W=test_Hausdorff(U)
return V,W
On tape dans la console
V,W=test3()
Quelles seront les valeurs de V[0] et
W[0] retournées?
On suppose dans ce paragraphe que \(X_{1}\) et \(X_{2}\) sont solutions du problème \(\mathscr{M}^{\star}(J)\) avec \(J=[0,1]\). On note \(f_{1}\) et \(f_{2}\) des densités de \(X_{1}\) et \(X_{2}\) respectivement adaptées au problème \(\mathscr{M}^{\star}(J)\). On suppose les restrictions de \(f_{1}\) et \(f_{2}\) sur \([0,1]\) de classe \(C^{1}\) sur \([0,1]\). On pose \(h=f_{2}-f_{1}\) et on considère la suite de fonctions polynomiales \(( \widehat{h}_{n})_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), définies par :
\[\widehat{h}_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} h \! \left(\frac{k}{n}\right) \binom nk x^{k}(1-x)^{n-k} \text {, pour tout } x \in \mathbb{R} .\]
Montrer qu’il existe une constante réelle \(K \in \mathbb{R}_{+}\)telle que \[\forall(x, y) \in[0,1]^{2}, \ |h(x)-h(y)| \leqslant K \left| x-y \right|\]
Soient \(x \in[0,1]\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\) fixés tous les deux. Soit \(Y_{n}\) une variable aléatoire discrète à valeurs dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\). On pose : \[Z_{n}=\frac{Y_{n}}{n}\]
Montrer que : \[\left|h(x)-\mathbb{E} \! \left(h(Z_{n}\right))\right| \leqslant K \, \mathbb{E} \! \left(\left|Z_{n}-x\right|\right)\]
En déduire que : \[\left|h(x)-\mathbb{E} \! \left(h(Z_{n})\right)\right| \leqslant K \sqrt{\mathbb{E} ( (Z_{n}-x)^{2})}\]
Montrer que pour tout \(x \in[0,1]\) et tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) on a : \[\left|h(x)-\widehat{h}_{n}(x)\right| \leqslant K \, \frac{\sqrt{x \left( 1-x \right)}}{\sqrt{n}} \leqslant \frac{K}{2 \sqrt{n}}\]
Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) on a : \[\int_{0}^{1} \widehat{h}_{n}(x) \, h(x) \, \mathrm{d} x=0\]
En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on a : \[\int_{0}^{1} h^{2}(x) \, \mathrm{d} x \leqslant \frac{K}{2 \sqrt{n}} \int_{0}^{1} \left| h(x) \right| \mathrm{d} x\]
En déduire que \(f_{1}=f_{2}\). Conclure.
Pour tout \(k \in \mathbb{N}\), on définit trois fonctions \[\begin{gathered} R_k : \left| \begin{array}{lll} \mathbb{R}^2 & \to & \mathbb{R}\\ (\alpha_1,\alpha_2) & \mapsto & \displaystyle \int_0^1 t^k \, \exp (\alpha_1 t+ \alpha _2 t^2)\,\mathrm{d}t \end{array}\right. \quad F_k : \left| \begin{array}{lll} \mathbb{R}^2 & \to & \mathbb{R}\\ (\alpha_1,\alpha_2) & \mapsto & \displaystyle \dfrac{R_k(\alpha_1,\alpha_2)}{R_0(\alpha_1,\alpha_2)} \end{array}\right. \end{gathered}\]
\[G: \left| \begin{array}{lll} \mathbb{R}^2 & \to & \mathbb{R}\\ (\alpha_1,\alpha_2) & \mapsto & \displaystyle \ln \! \left(R_{0}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\right)-u_{1} \alpha_{1}-u_{2} \alpha_{2} \end{array} \right.\]
On admet que, pour tout \(k \in \mathbb{N}\), la fonction \(R_{k}\) est continue sur \(\mathbb{R}^{2}\).
Montrer qu’il existe une constante \(C>0\) telle que : \[\forall x \in[-1,1], \ 0 \leqslant \mathrm{e}^{x}-1-x \leqslant C x^{2}\]
Soit \(k \in \mathbb{N}\).
Montrer que \(R_{k}\) admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en tout point et que pour tout \(\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\) : \[\partial_{1} R_{k}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=R_{k+1}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\]
On admet que \(R_{k}\) admet une dérivée partielle par rapport à sa seconde variable en tout point et que pour tout \(\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\) : \[\partial_{2} R_{k}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=R_{k+2}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\]
Pour tout \(i \in\{1,2\}\), en déduire l’identité : \[\partial_{i} F_{k}=F_{k+i}-F_{k} F_{i}\]
Montrer que pour tout \(i \in\{1,2\}\) et pour tout \(\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\) on a : \[\partial_{i} F_{k}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\frac{1}{R_{0}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)} \int_{0}^{1}\left(t^{i}-F_{i}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\right)\left(t^{k}-F_{k}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\right) \exp \left(\alpha_{1} t+\alpha_{2} t^{2}\right) \mathrm{d} t\]
Soit \(\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\).
Exprimer \(\nabla^{2} G\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\) en fonction des dérivées partielles des \(F_{k}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right),\) \(k \geqslant 0\).
En déduire que pour tout \(v= \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})\) tel que \(v \neq 0\) on a : \[{}^t\!\, v \, \nabla^{2} G(\alpha_{1}, \alpha_{2}) \, v>0\]
En déduire que les valeurs propres de la matrice \(\nabla^{2} G\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\) sont strictement positives.
Dans cette question, on suppose qu’il existe une variable aléatoire \(X\) solution de \(\mathscr{M}^{*}(J)\) et de densité \(f\) adaptée à \(\mathscr{M}^{*}(J)\) telle que \[f: \left| \begin{array}{lll} \mathbb{R}& \to & \mathbb{R}\\ t & \mapsto & \displaystyle \begin{cases} \dfrac{1}{R_0(\alpha_1,\alpha_2)}\, \exp( \alpha_1 t+ \alpha_2 t^2) &\text{si } t\in [0,1] \\ \hfill 0 \hfill &\text{sinon} \end{cases} \end{array}\right.\]
Montrer que \(G\) admet alors un minimum (local) en \(\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\).
FIN
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Cette année, HEC et ESSEC nous propose un sujet essentiellement d'analyse (même si le thème tourne autour du monde des probabilités).
Le sujet était dans l'ensemble de difficulté honnête (pour un sujet HEC) mais on pourra remarquer un grand nombre de questions classiques dans lesquelles très peu d'indications sont fournies.
De l'importance de bien maîtriser les raisonnements fondamentaux.