HEC, ESSEC 2023BL

Exercice 1

Les variables aléatoires de cet exercice sont supposées définies sur le même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{E}, \mathbb{P})\). Si \(Y\) est une variable aléatoire qui admet une espérance et une variance, on note respectivement \(\mathbb{E}(Y)\) et \(\mathbb{V}(Y)\) son espérance et sa variance.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{|x|}{2} \, \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}= \begin{cases} \displaystyle -\frac{1}{2} \, x \, \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} & \text { si } x \leqslant 0 \\ \displaystyle \hfill \frac{1}{2} \, x \, \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \hfill & \text { si } x>0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

1. 1. Montrer que la fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

   2. Étudier la parité de \(f\).

   3. Étudier la dérivabilité de \(f\) en 0.

2. 1. Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \([0,+\infty[\) en précisant les limites aux bornes de \([0,+\infty[\) et la valeur des extrema.

   2. Esquisser la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.

   3. Calculer la dérivée de la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\).

   4. Montrer que \(f\) peut être considérée comme une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\).

      Dans la suite, on note \(X\) une variable aléatoire admettant \(f\) comme densité et on admet que \(X\) possède une espérance.

3. 1. Donner la valeur de l’espérance \(\mathbb{E}(X)\) de la variable aléatoire \(X\).

   2. On note \(F_{X}\) la fonction de répartition de \(X\). Montrer que: \[F_{X}(x)= \begin{cases} \displaystyle \hfill \frac{1}{2} \, \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \hfill & \text { si } x \leqslant 0 \\ \displaystyle 1-\frac{1}{2} \, \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} & \text { si } x>0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]

   3. Résoudre l’équation d’inconnue \(x\) suivante : \(F_{X}(x)=\dfrac{3}{4}\). Que représente la solution trouvée pour la variable aléatoire \(X\) ?

4. On pose \(T=|X|\) et on admet que \(T\) est une variable aléatoire à densité. On note \(F_{T}\) la fonction de répartition de \(T\).

   1. Déterminer \(F_{T}(x)\) pour tout \(x\) réel.

   2. Donner une densité \(f_{T}\) de la variable aléatoire \(T\).

   3. Montrer que \(T\) admet une espérance et montrer que \(\mathbb{E}(T)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\).

   4. Reconnaitre la loi de \(T^{2}\). En déduire sans calcul l’existence et la valeur de \(\mathbb{E}(T^{2})\).

   5. Déduire des questions précédentes l’existence et la valeur de \(\mathbb{V}(X)\) et de \(\mathbb{V}(T)\).

Exercice 2

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2. On munit \(\mathbb{R}^{n}\) de son produit scalaire canonique noté \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) On note \(\left\| \cdot \right\|\) la norme associée.

Partie 1

Dans cette première partie seulement, on suppose que \(n=3\).

Soit \(F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, \ x+2 y+z=0\right\}\). On pose : \[u=(1,0,-1) \quad v=(-1,1,-1) \quad w=(1,2,1)\]

On not : \[e_{1}=(1,0,0) \quad e_{2}=(0,1,0) \quad e_{3}=(0,0,1)\]

On rappelle que \(\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) est la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).

1. Montrer que \(F\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et déterminer sa dimension.

2. 1. Montrer que \((u, v)\) est une base orthogonale de \(F\).

   2. Montrer que \((w)\) est une base de \(F^{\perp}\).

   3. Trouver des réels \(\alpha, \beta\) et \(\gamma\) tels que \(\mathcal{B}=(\alpha u, \beta v, \gamma w)\) est une base orthonormée de \(\mathbb{R}^{3}\).

   4. Déterminer les coordonnées de \(e_{1}\) dans la base \(\mathcal{B}\).

3. Soit \(p_{F}\) la projection orthogonale sur \(F\).

   1. Soit \(A\) la matrice représentative de \(p_{F}\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\). Vérifier que \[A=\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & -2 \\ -1 & -2 & 5 \end{pmatrix}\]

   2. Écrire la matrice \(\Delta\) représentative de \(p_{F}\) dans la base \(\mathcal{B}\).

   3. Donner une matrice \(P \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) inversible telle que \(A=P \Delta P^{-1}\).

   4. La matrice \(A\) est-elle inversible?

   5. Montrer que \(A\) est diagonalisable. Déterminer les valeurs propres de \(A\) et donner une base de chaque sous-espace propre.

4. Vérifier que pour tout \(x \in \mathbb{R}^{n}, \ \left\|p_{F}(x)\right\| \leqslant\|x\|\).

   Donner un vecteur \(x \in \mathbb{R}^{n}\) (non nul) tel que \(\left\|p_{F}(x)\right\|=\|x\|\).

   En déduire l’existence et la valeur de : \[\max \left\{\frac{\left\|p_{F}(x)\right\|}{\|x\|}, \ x \in \mathbb{R}^{n} \backslash\left\{0_{\mathbb{R}^{n}}\right\}\right\}\]

Partie 2

On revient au cas général avec \(n \geqslant 2\) quelconque. Soit \(v\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) de norme 1.

5. Soit \(\varphi\) l’application qui, à tout \(x \in \mathbb{R}^{n}\), associe \(\varphi(x)=\langle x, v\rangle v\).

   1. Montrer que l’application \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\).

   2. Montrer que \(\varphi\) est une projection et que \(\operatorname{Im}(\varphi)\) est la droite vectorielle engendrée par \(v\).

   3. Montrer que \(\varphi\) est la projection orthogonale sur \(\operatorname{Im}(\varphi)\).

   4. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(\varphi\). L’endomorphisme \(\varphi\) est-il diagonalisable?

   5. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}^{n}\), \(\|\varphi(x)\| \leqslant\|x\|\).

   6. Établir l’existence et déterminer la valeur de : \[\max \left\{\frac{\|\varphi(x)\|}{\|x\|}, \ x \in \mathbb{R}^{n} \backslash\left\{0_{\mathbb{R}^{n}}\right\}\right\}\]

6. Soit \(s\) l’application qui, à tout \(x \in \mathbb{R}^{n}\), associe \(s(x)=2 \varphi(x)-x\).

   1. Montrer que \(s\) est une symétrie de \(\mathbb{R}^{n}\).

   2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(s\).

   3. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}^{n},\ \|s(x)\|=\|x\|\).

Partie 3

Dans cette partie, \(H\) désigne un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{n}\) de dimension \(r\) telle que \(1 \leqslant r \leqslant n-1\).

1. On note \(p_{H}\) la projection orthogonale sur \(H\).

   1. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}^{n}, \ \left\|p_{H}(x)\right\| \leqslant\|x\|\) et préciser les vecteurs \(x \in \mathbb{R}^{n}\) pour lesquels on a l’égalité.

   2. Établir l’existence et déterminer la valeur de : \[\max \left\{\frac{\left\|p_{H}(x)\right\|}{\|x\|}, \ x \in \mathbb{R}^{n} \backslash\left\{0_{\mathbb{R}^{n}}\right\}\right\}\]

2. Soit \(p\) une projection sur \(H\) qui vérifie : \[\forall x \in \mathbb{R}^{n}, \ \|p(x)\| \leqslant\|x\|\]

   1. Soit \(x \in(\operatorname{Ker}(p))^{\perp}\). Calculer \(\langle x, p(x)-x\rangle\).

   2. Montrer que \(p\) est une projection orthogonale.

Exercice 3

Partie 1. Calcul de la somme d’une série

Dans cette partie, on veut déterminer la valeur de \(\displaystyle \zeta_{2}=\sum_{p=1}^{\infty} \frac{1}{p^{2}}\).

Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on pose : \[W_{n}=\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2 n}(t) \,\mathrm{d}t\quad \text { et } \quad J_{n}=\int_{0}^{\pi / 2} t^{2} \cos ^{2 n}(t) \,\mathrm{d}t\]

On rappelle que pour tout \(t \in \mathbb{R}\) et pour tout \(m \in \mathbb{N}, \cos ^{m}(t)=(\cos (t))^{m}\).

1. Rappeler la nature de la série \(\displaystyle \sum_{p \geqslant 1} \frac{1}{p^{2}}\).

2. 1. Calculer \(W_{0}\) et \(W_{1}\).

   2. Soit \(n\) un entier de \(\mathbb{N}\). Justifier que \(W_{n}>0\).

   3. Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) :

      \[W_{n}-W_{n+1}=\int_{0}^{\pi / 2} \sin (t) \sin (t) \cos ^{2 n}(t) \,\mathrm{d}t\]

   4. En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) :

      \[\left( 2 n+2 \right) W_{n+1} = \left( 2 n+1 \right) W_{n}\]

3. 1. Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) : \[J_{n}-J_{n+1}=\frac{1}{2 n+1} \, J_{n+1}+\frac{2}{2 n+1} \int_{0}^{\pi / 2} t \sin (t) \cos ^{2 n+1}(t) \,\mathrm{d}t\]

   2. Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) :

      \[\frac{2 n+2}{2 n+1} \, J_{n+1}-J_{n}=\frac{-2}{(2 n+1)(2 n+2)} \, W_{n+1}\]

   3. Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) :

      \[\frac{J_{n+1}}{W_{n+1}}-\frac{J_{n}}{W_{n}}=\frac{-2}{(2 n+2)^{2}}\]

   4. Conclure que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) :

      \[\frac{J_{n}}{W_{n}}-\frac{J_{0}}{W_{0}}=-\frac{1}{2} \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{p^{2}}\]

4. 1. Montrer que : \[\forall t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], \ \frac{2}{\pi} \, t \leqslant \sin (t) \leqslant t\]

   2. Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) : \[0<J_{n} \leqslant \frac{\pi^{2}}{4}\left(W_{n}-W_{n+1}\right)\]

      puis que : \[0<J_{n} \leqslant \frac{\pi^{2} W_{n}}{8 \left( n+1 \right)}\]

5. Déterminer la valeur de \(\displaystyle \zeta_{2}=\sum_{p=1}^{\infty} \frac{1}{p^{2}}\).

6. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on pose \(\displaystyle u_{n}=\sum_{p=1}^{n} \frac{(-1)^{p-1}}{p^{2}}\).

   Utiliser les résultats des questions précédentes pour montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) converge et calculer sa limite.

   On notera désormais : \[S_{2}=\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=\sum_{p=1}^{\infty} \frac{(-1)^{p-1}}{p^{2}}\]

Partie 2. Calcul d’une intégrale

7. Montrer que : \[\forall x \in[0,1], \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \sum_{p=1}^{n}(-1)^{p-1} x^{p-1}=\frac{1}{1+x}-\frac{(-1)^{n} x^{n}}{1+x}\]

8. Justifier que : \[\forall x \in[0,1], \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \left|\ln (1+x)-\sum_{p=1}^{n}(-1)^{p-1} \frac{x^{p}}{p}\right| \leqslant \frac{x^{n+1}}{n+1}\]

9. 1. Justifier que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x} \,\mathrm{d}x\) converge.

   2. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \[\left|\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x} \,\mathrm{d}x-\sum_{p=1}^{n} \frac{(-1)^{p-1}}{p^{2}}\right| \leqslant \frac{1}{(n+1)^{2}}\]

   3. En déduire la valeur de \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x} \,\mathrm{d}x\).

Exercice 4

Dans cet exercice, toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{E}, \mathbb{P})\). Si \(X\) est une variable aléatoire possédant une espérance et une variance, on note \(\mathbb{E}(X)\) son espérance et \(\mathbb{V}(X)\) sa variance.

Si \(n\) est un élément de \(\mathbb{N}^{*}\), on note \(\left[\!\left[1, n\right]\!\right]\) l’ensemble des entiers naturels \(k\) vérifiant \(1 \leqslant k \leqslant n\).

Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires admettant des moments d’ordre 2, on définit la covariance de \(X\) et \(Y\), notée \(\operatorname{Cov}(X, Y)\) par la formule : \[\operatorname{Cov}(X, Y)=\mathbb{E}(X Y)-\mathbb{E}(X) \, \mathbb{E}(Y)\]

On a alors : \[\operatorname{Cov}(X, Y)=\operatorname{Cov}(Y, X) \quad \text { et } \quad \operatorname{Cov}(X, X)=\mathbb{V}(X)\]

Partie 1. Préliminaires

1. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs \(\lambda \in \mathbb{R}^{+*}\) et \(\mu \in \mathbb{R}^{+*}\). Montrer que \(X+Y\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda+\mu\).

2. Sans soulever de problème d’existence, montrer que si \(X, Y\) et \(Z\) sont trois variables aléatoires admettant des moments d’ordre 2, alors : \[\forall(a, b) \in \mathbb{R}^{2}, \ \operatorname{Cov}(Z, a X+b Y)=a \, \operatorname{Cov}(Z, X)+b \, \operatorname{Cov}(Z, Y)\]

   et : \[\forall(a, b) \in \mathbb{R}^{2}, \ \mathbb{V}(a X+b Y)=a^{2} \, \mathbb{V}(X)+b^{2} \, \mathbb{V}(Y)+2 a b \, \operatorname{Cov}(X, Y)\]

   On admet que, pour tout entier \(n \geqslant 2\), tout \(n\)-uplet \(\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\) et toute famille \(\left(X_{i}\right)_{i \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]}\) de variables aléatoires admettant des moments d’ordre 2, on a : \[\mathbb{V}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} X_{i}\right)=\sum_{(i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2}} a_{i} a_{j} \operatorname{Cov}(X_{i}, X_{j})=\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \, \mathbb{V}(X_{i})+\sum_{\substack{(i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2} \\ i \neq j}} a_{i} a_{j} \operatorname{Cov}(X_{i}, X_{j})\]

Partie 2. Matrices des covariances

Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n \geqslant 2\) et \(\left(X_{i}\right)_{i \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]}\) une famille de variables aléatoires indépendantes, définies \(\operatorname{sur}(\Omega, \mathcal{E}, \mathbb{P})\). On suppose que, pour tout \(i \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right], X_{i}\) suit la loi de Poisson de paramètre 1.

Pour tout entier \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\), on pose \(\displaystyle Y_{k}=X_{1}+\cdots+X_{k}=\sum_{i=1}^{k} X_{i}\).

On pose \(M_{n}=\left(\operatorname{Cov}(Y_{i}, Y_{j}\right))_{(i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2}} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), la matrice dont le coefficient situé à l’intersection de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\) est égal à \(\operatorname{Cov}(Y_{i}, Y_{j})\).

\(M_{n}\) est appelée matrice des covariances de la famille \(\left(Y_{k}\right)_{k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]}\).

3. Pour tout \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\), déterminer la loi de \(Y_{k}\), puis donner, sans démonstration, son espérance \(\mathbb{E}\left(Y_{k}\right)\) et sa variance \(\mathbb{V}(Y_{k})\).

4. On considère tout d’abord le cas particulier \(n=2\).

   1. Expliciter la matrice \(M_{2}\).

   2. Montrer que \(M_{2}\) est inversible et expliciter son inverse.

5. On revient au cas général avec \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n \geqslant 2\).

   1. Soit \((i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2}\) tel que \(i<j\). Montrer que \(\operatorname{Cov}(Y_{i}, Y_{j})=i\).

   2. Expliciter la matrice \(M_{n}\).

      On note : \[T_{n}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & \ddots & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \cdots & 1 \\ \vdots & (0) & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}=\left[t_{i, j}\right]_{(i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2}}\]

      la matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients situés au-dessus de la diagonale sont égaux à 1, les autres étant nuls. Ainsi, pour tout \((i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2}\) : \[t_{i, j}= \begin{cases} 1 & \text { si } i \leqslant j \\ 0 & \text { si } i>j \end{cases}\]

6. Montrer que \(T_{n}\) est inversible et calculer son inverse que l’on notera \(R_{n}\).

7. Pour toute matrice \(A\), on note \((A)^{T}\) la transposée de \(A\).

   1. Exprimer \(M_{n}\) en fonction de \(\left(T_{n}\right)^{T}\) et de \(T_{n}\).

   2. Justifier que \(M_{n}\) est inversible et exprimer \(\left(M_{n}\right)^{-1}\) en fonction de \(R_{n}\) et \(\left(R_{n}\right)^{T}\).

8. Soit \(\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\) et soit \(Z_{n}= \begin{pmatrix} z_{1} \\ \vdots \\ z_{n} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\). Montrer que :

   \[\mathbb{V}\left(\sum_{i=1}^{n} z_{i} Y_{i}\right)=\left(T_{n} Z_{n}\right)^{T}\left(T_{n} Z_{n}\right)\]

   On pose \(W_{n}=T_{n} Z_{n}=\left(\begin{array}{c}w_{1} \\ \vdots \\ w_{n}\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\).

9. 1. Exprimer \(Z_{n}\) en fonction de \(R_{n}\) et de \(W_{n}\).

   2. Montrer que : \[\left(R_{n} W_{n}\right)^{T}\left(R_{n} W_{n}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n-1}\left(w_{i}-w_{i+1}\right)^{2}\right)+w_{n}^{2}\]

10. 1. Vérifier que, pour tout \((a, b) \in \mathbb{R}^{2},(a-b)^{2} \leqslant 2 a^{2}+2 b^{2}\).

    2. Montrer que : \[\left(R_{n} W_{n}\right)^{T}\left(R_{n} W_{n}\right) \leqslant 4\left(W_{n}\right)^{T} W_{n}\]

11. Conclure que, pour tout \(\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\) : \[\mathbb{V} \! \left(\sum_{i=1}^{n} z_{i} Y_{i}\right) \geqslant \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} z_{i}^{2}\]