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Dans tout l’exercice, \(a\) désigne un réel strictement positif. Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \[S_{n}(a)=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k a+1}\]
La partie 1 établit la convergence de la suite \(\left(S_{n}(a)\right)_{n \in \mathbb{N}}\) vers une limite, notée \(S(a)\) et les parties 2 et 3 mettent en place, respectivement dans les cas \(a=1\) et \(a=2\), des accélérations de convergence.
Pour tout entier naturel \(k\), calculer \(\displaystyle \int_{0}^{1} t^{k a} \,\mathrm{d}t\).
En déduire, pour tout entier naturel \(n\), l’égalité suivante : \[S_{n}(a)=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{a}} \,\mathrm{d}t+(-1)^{n} \int_{0}^{1} \frac{t^{n a+a}}{1+t^{a}} \,\mathrm{d}t\]
Montrer que la suite \(\left(S_{n}(a)\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et que sa limite \(S(a)\) vaut \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{a}} \,\mathrm{d}t\).
Établir, pour tout entier naturel \(n\), l’égalité suivante : \[\forall t\in [0,1],\ \frac{1}{1+t^{a}}=\sum_{k=0}^{n} \frac{\left(1-t^{a}\right)^{k}}{2^{k+1}}+\frac{\left(1-t^{a}\right)^{n+1}}{2^{n+1}\left(1+t^{a}\right)}\]
On suppose dans cette partie que \(a=1\).
Donner la valeur de \(S(1)\).
Établir l’inégalité suivante : \[\left|S(1)-S_{n}(1)\right| \leqslant \frac{1}{n+2}\]
Montrer que \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{(1-t)^{n+1}}{2^{n+1}(1+t)} \,\mathrm{d}t\leqslant \frac{1}{\left( n+2 \right) 2^{n+1}}\).
En déduire que \(\displaystyle \left|S(1)-\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\left( k+1 \right) 2^{k+1}}\right| \leqslant \frac{1}{2^{n+1}(n+2)}\) et que \(\displaystyle S(1)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{\left( k+1 \right) 2^{k+1}}\).
On suppose dans cette partie que \(a=2\).
On pose, pour tout entier naturel \(n\): \(\displaystyle J_{n}=\int_{0}^{1}\left(1-t^{2}\right)^{n} \,\mathrm{d}t\).
À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(J_{n+1}-J_{n}\) en fonction de \(J_{n+1}\).
En déduire que \(\displaystyle J_{n+1}=\frac{2 n+2}{2 n+3} J_{n}\).
Calculer \(J_{n}\) en fonction de \(n\).
Rappeler l’expression de la dérivée de la fonction arctan et en déduire la valeur de \(S(2)\).
Montrer que \(\displaystyle \left|S(2)-\sum_{k=0}^{n} \frac{2^{k-1}(k !)^{2}}{(2 k+1) !}\right| \leqslant \frac{1}{2^{n+1}}\) et que \(\displaystyle S(2)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{2^{k-1}(k !)^{2}}{(2 k+1) !}\).
On note \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 . On considère l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{n}\) muni de sa base canonique \(\mathscr{B}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)\) et de son produit scalaire canonique noté \(\left \langle \cdot \,\vert \, \cdot \right \rangle\). On note \(\left\| \cdot \right\|\) la norme associée.
Soit \(p\) un entier vérifiant \(1 \leqslant p \leqslant n\).
À toute famille \(\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p}\right)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^{n}\), on associe la matrice \(G=\left(g_{i, j}\right)_{1 \leqslant i,j \leqslant p}\) de \(\mathcal M_{p}(\mathbb{R})\), appelée matrice de Gram de \(\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p}\right)\), telle que, pour tout \((i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]^{2}\), on a \(g_{i, j}=\left \langle u_i \,\vert \, u_j \right \rangle\). Ainsi on a : \[G = \begin{pmatrix} \left \langle u_1 \,\vert \, u_1 \right \rangle & \left \langle u_1 \,\vert \, u_2 \right \rangle & \cdots & \left \langle u_1 \,\vert \, u_p \right \rangle\\ \left \langle u_2 \,\vert \, u_1 \right \rangle & \left \langle u_2 \,\vert \, u_2 \right \rangle & \cdots & \left \langle u_2 \,\vert \, u_p \right \rangle \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \left \langle u_p \,\vert \, u_1 \right \rangle & \left \langle u_p \,\vert \, u_2 \right \rangle & \cdots & \left \langle u_p \,\vert \, u_p \right \rangle \end{pmatrix}\]
Dans cette question, on suppose que \(n=p=3\) et on considère les trois vecteurs : \[u_{1}=(1,-1,0), \quad u_{2}=(1,0,-1), \quad u_{3}=(1,1,1)\]
Déterminer la matrice de Gram \(G\) de \(\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)\).
Exprimer \(G^{2}\) en fonction de \(G\) et de \(I_{3}\), où \(I_{3}\) est la matrice identité de \(\mathcal M_{3}(\mathbb{R})\).
En déduire que si \(\lambda\) est valeur propre de \(G\), alors \(\lambda\) vérifie l’équation : \(\lambda^{2}-4 \lambda+3=0\).
Déterminer les valeurs propres de \(G\) et la dimension des sous-espaces propres associés.
En déduire que \(G\) est diagonalisable.
Dans toute la suite de l’exercice, on revient au cas général où \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2.
Soit \(p\) un entier appartenant à \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) et \(\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p}\right)\) une famille de vecteurs de \(\mathbb{R}^{n}\).
On pose \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{n}\) engendré \(\operatorname{par}\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p}\right)\) et on note \(G\) la matrice de Gram de \(\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p}\right)\).
On considère des réels \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{p}\) et on pose \(X=\begin{pmatrix} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{p} \end{pmatrix} \in \mathcal M_{p, 1}(\mathbb{R})\).
Montrer que si \(\displaystyle \sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} u_{j}=0\), alors \(G X=0\).
On suppose réciproquement que \(G X=0\). On note \(F^{\perp}\) l’orthogonal de \(F\).
Montrer que \(\displaystyle \sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} u_{j}\) appartient à \(F^{\perp}\) et en déduire que \(\displaystyle \sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} u_{j}=0\).
Déduire de ce qui précède que la famille \(\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p}\right)\) est libre si et seulement si la matrice \(G\) est inversible.
On considère dans cette question une famille \(\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^{n}\) telle que : \[\forall i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \left\| v_i \right\| =1 \text { et } \quad \forall(i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^{2}, \ i \neq j, \ \left\| v_i-v_j \right\| =1\]
Pour tous \(a\) et \(b\) dans \(\mathbb{R}^{n}\), exprimer \(\left \langle a \,\vert \, b \right \rangle\) à l’ aide de \(\|a+b\|^{2}\), de \(\|a\|^{2}\) et de \(\|b\|^{2}\).
En déduire la matrice de Gram \(G\) de \(\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right)\).
On pose \(A=2 G\) et on note \(J\) la matrice de \(\mathcal M_{n}(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients valent 1 et enfin \(I_{n}\) la matrice identité de \(\mathcal M_{n}(\mathbb{R})\).
Calculer \(A^{2}\) en fonction de \(n, I_{n}\) et \(J\), puis en fonction de \(n, A\) et \(I_{n}\).
Prouver que \(A\) est inversible.
En déduire que \(\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right)\) est une base de \(\mathbb{R}^{n}\).
Soit \(\mathscr{B}_{1}=\left(w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}\right)\) une base quelconque de \(\mathbb{R}^{n}\) et \(G\) la matrice de Gram de \(\left(w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}\right)\).
Soit \(x=\displaystyle \sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} w_{j}\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\).
On pose \(X=\displaystyle\begin{pmatrix} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{pmatrix}\) et \(Z=\begin{pmatrix} \left \langle x \,\vert \, w_1 \right \rangle \\ \left \langle x \,\vert \, w_2 \right \rangle \\ \vdots \\ \left \langle x \,\vert \, w_n \right \rangle \end{pmatrix}\) deux éléments de \(\mathcal M_{n, 1}(\mathbb{R})\).
Justifier que \(G\) est inversible et montrer que \(X=G^{-1} Z\).
Montrer qu’il existe une unique famille \(\mathscr{B}_{1}^{*}=\left(w_{1}^{*}, w_{2}^{*}, \ldots, w_{n}^{*}\right)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^{n}\) telle que : \[\forall(i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^{2}, \ \left \langle w_{i}^{*} \,\vert \, w_{j} \right \rangle = \begin{cases} 1 &\text { si } i=j \\ 0 &\text { si } i \neq j \end{cases}\]
Montrer que \(\mathscr{B}_{1}^{*}\) est une base de \(\mathbb{R}^{n}\).
Donner, à l’aide des \(w_{i}^{*}\), les coordonnées d’un vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\) dans la base \(\mathscr{B}_{1}\).
On note \(G^{*}\) la matrice de Gram de \(\left(w_{1}^{*}, w_{2}^{*}, \ldots, w_{n}^{*}\right)\). Exprimer les coordonnées de chaque vecteur \(w_{j}^{*}\) (\(j \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\)) à l’aide des coefficients de \(G^{*}\).
Le but de ce problème est d’étudier les liens d’amitié dans un réseau social. On cherchera en particulier, lorsque le réseau contient beaucoup d’individus, la probabilité sous certaines hypothèses qu’une personne soit sans ami.
On rappelle que la notation \(\exp\) désigne la fonction exponentielle.
Dans toute cette section, \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) désigne une suite à valeurs dans \(\left] 0,1 \right[\) et de limite nulle.
Montrer que : \[\forall x \in \left[ 0,1 \right[, \ \ln (1-x) \leqslant -x\]
Dans cette question, on suppose que \(\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left[ n u_{n}-\ln (n)\right]=+\infty\).
Montrer que : \[\lim _{n \rightarrow+\infty} n\left(1-u_{n}\right)^{n} =0\]
On pourra écrire \(n\left(1-u_{n}\right)^{n}\) sous forme exponentielle et utiliser la question précédente.
Rappeler le développement limité à l’ordre \(2\) au voisinage de \(0\) de la fonction définie sur \(]{-\infty},1]\) par \(x\mapsto \ln(1-x)\).
Dans cette question, on suppose que \(\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left[ n u_{n}-\ln (n) \right] =-\infty\).
Montrer que \(u_{n} \leqslant \frac{\ln (n)}{n}\) à partir d’un certain rang.
Déterminer \(\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(n\left(1-u_{n}\right)^{n}\right)\).
Dans cette question, on suppose enfin que \(\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left[ n u_{n}-\ln (n)\right] =\alpha \in \mathbb{R}\).
Montrer que : \[\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n u_{n}}{\ln (n)} =1\]
puis que : \[\lim _{n \rightarrow+\infty} n u_{n}^{2} =0\]
En déduire que : \[\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[ n\left(1-u_{n}\right)^{n}\right] =\exp (-\alpha)\]
Pour \(n\) dans \(\mathbb{N}\), on rappelle que \(\mathbb{R}_{n}[x]\) désigne l’ensemble des fonctions polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à \(n\). On définit les suites de fonctions polynômes \((P_k)_{k\in\mathbb{N}}\) et \((Q_k)_{k\in\mathbb{N}}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P_0(x) = Q_0(x) = 1\] et, pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\) : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ P_{k}(x)=x^{k} \quad \text { et } \quad Q_{k}(x)=x \left( x-1 \right) \cdots(x-k+1)\]
Justifier que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la famille \(\left(Q_{0}, Q_{1}, \ldots, Q_{n}\right)\) constitue une base de \(\mathbb{R}_{n}[x]\).
En déduire que \(P_{n}\) peut s’écrire comme combinaison linéaire de \(\left(Q_{0}, Q_{1}, \ldots, Q_{n}\right)\) et que la décomposition est unique.
À titre d’exemple, exprimer \(P_2\) et \(P_{3}\) comme combinaison linéaire de \(\left(Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}\right)\).
Dans cette section, on désigne par \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) un espace probabilisé. On rappelle que :
\(\Omega\) est l’univers,
\(\mathcal{A}\) est l’ensemble des événements : il est constitué de parties de \(\Omega\),
\(\mathbb{P}\) est une probabilité sur \((\Omega,\mathcal{A})\).
Soit \(\left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite d’événements de \(\mathcal{A}\).
On dit que l’événement \(A_{n}\) est réalisé asymptotiquement presque sûrement si \(\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}( A_{n} )=1\).
On étudie dans cette partie deux cas particuliers fondamentaux.
Dans les deux questions qui suivent, \(\left(S_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite de variables aléatoires définies sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et à valeurs dans l’ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\).
On suppose dans cette question que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la variable aléatoire \(S_{n}\) admet une espérance.
En utilisant l’inégalité de Markov que l’on rappellera, montrer que si la suite \((\mathbb{E}(S_n))_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(0\), alors \(S_n=0\) asymptotiquement presque sûrement.
On suppose dans cette question que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la variable aléatoire \(S_{n}\) admet une espérance strictement positive et une variance.
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que si la suite \(\left( \dfrac{\sigma(S_{n})}{\mathbb{E}(S_{n})} \right)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(0\), alors \(S_{n}>0\) asymptotiquement presque sûrement.
Dans toute cette partie, \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à 2.
L’ensemble \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]=\{k \in \mathbb{N} \mid 1 \leqslant k \leqslant n\}\) représente un groupe de personnes dont on veut étudier les liens d’amitiés dans un réseau.
On dispose d’une suite de réels \(\left(p_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) à valeurs dans l’intervalle \(] 0,1[\) et on suppose dans toute la suite du problème que \(\lim\limits_{k \rightarrow+\infty} p_{k}=0\).
Pour \(i\) et \(j\) dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) avec \(i \neq j\), la paire \(\{i, j\}\) représente un lien d’amitié entre \(i\) et \(j\).
On note \(L\) l’ensemble des paires \(\{i, j\}\) lorsque \(i\) et \(j\) parcourent l’ensemble \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) avec \(i \neq j\) et \(\Omega\) l’ensemble \(\mathscr{P}(L)\) des parties de \(L\).
Un élément \(A\) de \(\Omega\) qui est donc un ensemble de paires, représente des liens entre personnes qui se sont rajoutées en amis sur le réseau.
On suppose disposer d’un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{E}, P)\) tel que pour toute paire \(\{i, j\}\) avec \(i \neq j\), celle-ci apparaît dans un élément \(A\) de \(\Omega\) avec indépendance et avec la probabilité \(p_{n}\).
Autrement dit, deux personnes quelconques qui s’ajoutent en amis dans le réseau, le font avec indépendance vis à vis des autres personnes et avec une probabilité \(p_{n}\).
Pour \(k \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(X_{k}\) la variable aléatoire telle que pour \(A\) dans \(\Omega\), \(X_{k}(A)=1\) si \(k\) n’a pas d’ami dans un réseau \(A\) et 0 sinon.
Par exemple, pour \(n=4\), on a \(L=\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}\}\).
Si on prend \(A=\{\{1,3\},\{3,4\}\}\), on a \(\mathbb{P}(A)=p_{4}^{2}\left(1-p_{4}\right)^{4}\);
par ailleurs, \(X_{3}(A)=0\) car 3 a un ami (et même deux) dans le réseau \(A\);
par contre \(X_{2}(A)=1\) car 2 n’a pas d’ami dans ce réseau \(A\).
On ne suppose plus dorénavant que \(n=4\).
Les variables aléatoires \(X_1\) et \(X_2\) sont-elles indépendantes ?
Exprimer la variable aléatoire \(S_{n}\) représentant le nombre d’individus sans ami en fonction des variables aléatoires \(X_1,\dots,X_n\).
Prouver que : \[\mathbb{E}(S_{n} )=n\left(1-p_{n}\right)^{n-1}\]
En déduire que si \(\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left[ n p_{n}-\ln (n)\right] =+\infty\), alors il n’y a pas de réseau contenant un individu sans ami asymptotiquement presque sûrement.
Montrer que : \[\mathbb{E}(S_{n}^{2})= \mathbb{E}(S_{n})+n \left( n-1 \right) (1-p_{n} )^{2 n-3}\]
On suppose que \(\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left[ n p_{n}-\ln (n) \right]=-\infty\).
Prouver que : \[\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{\mathbb{E}(S_{n}^{2} )-\mathbb{E}(S_{n} )^{2}}{\mathbb{E}(S_{n} )^{2}} =0\]
En déduire que tous les réseaux contiennent au moins un individu sans ami asymptotiquement presque sûrement.
On reprend les notations de la partie précédente et on suppose que : \[\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[ n p_{n}-\ln (n)\right] =\alpha \in \mathbb{R}\]
On se propose de déterminer la limite, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), de la probabilité qu’un réseau de personnes contienne un individu sans ami.
Si \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\) et si \(k\) est un entier naturel :
on dit que \(X\) admet un moment d’ordre \(k\), que l’on note \(m_k(X)\), si \(X^k\) admet une espérance et on note dans ce cas : \(m_k(X)=\mathbb{E}(X^k)\),
on dit que \(X\) admet un moment factoriel d’ordre \(k\), que l’on note \(\mu_k(X)\), si \(X\left( X-1 \right) \cdots (X-k+1)\) admet une espérance et on note dans ce cas : \(\mu_k(X)=\mathbb{E}(X\left( X-1 \right) \cdots (X-k+1))\).
Soit \(S\) une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\) strictement positif.
Montrer que, pour tout entier naturel \(k\), \(\mu_{k}(S)\) existe et : \[\mu_k(S) = \lambda^k\]
Dans la suite, on admettra que si, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(S_{n}\) admet un moment d’ordre \(k\) pour tout entier naturel \(k\) et si, pour tout \(k\in\mathbb{N}\), la suite \((m_k(S_n))_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(m_k(S)\) alors : \[\forall k \in \mathbb{N},\ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}(S_{n}=k )=\mathbb{P}(S=k)\]
Le théorème admis dans la question précédente est-il encore valable si on remplace les moments \(m_{k}\) par les moments factoriels \(\mu_k\) ?
Montrer que : \[\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}(S_{n})=\exp (-\alpha)\]
Montrer que, pour tout \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\) : \[\mu_{k}(S_{n})=\frac{n !}{(n-k) !} \sum_{j=k}^{n}\binom {n-k}{j-k} \mathbb{P}\! \left( \left( \bigcap_{i=1}^j [ X_{i}=1] \right) \cap \left( \bigcap_{i=j+1}^n [ X_{i}=0] \right)\right)\]
En déduire que, pour tout \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\) : \[\mu_{k}(S_{n})=n \left( n-1 \right) \cdots(n-k+1)\left(1-p_{n}\right)^{\frac{2 n k-k^{2}-k}{2}}\]
Déterminer finalement la limite de la probabilité qu’un réseau de personnes contienne un individu sans ami.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
