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Toutes les variables aléatoires introduites dans cet exercice sont supposées définies sur un même espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})\).
Sous réserve d’existence, on note \(\mathbb{E}(G)\) et \(\mathbb{V}(G)\) respectivement, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire \(G\) définie sur \((\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par: \[f(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\ln (2) \left( 1+t \right)} & \text { si } t \in[0,1] \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon } \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Montrer que \(f\) est une densité de probabilité.
Dans la suite de l’exercice, on note \(X\) une variable aléatoire de densité \(f\).
Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une espérance et que \(\displaystyle \mathbb{E}(X)=\frac{1-\ln (2)}{\ln (2)}\).
En utilisant l’identité, valable pour tout \(z\) réel, \(z^{2}=z \left( 1+z \right)-z\), calculer \(\mathbb{V}(X)\).
Soit \(F\) la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\).
Déterminer pour tout \(x\) réel, \(F(x)\).
Montrer que l’équation \(F(x)=\frac{1}{2}\), d’inconnue \(x\), admet une unique solution \(x_{0}\) que l’on déterminera.
Tracer la courbe représentative de \(F\) dans le plan rapporté à un repère orthonormé (on donne \(\ln (2) \approx 0.7)\).
Soit \(x \in[0,2]\).
Établir l’équivalence suivante : \(f(t) f(x-t) \neq 0 \Leftrightarrow \max (0, x-1) \leqslant t \leqslant \min (1, x)\).
On note \(\varphi_{x}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par:
\[\varphi_{x}(t)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{(1+t)(1+x-t)} & \text { si } \max (0, x-1) \leqslant t \leqslant \min (1, x) \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon } \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
On admet l’existence d’un unique couple \((A, B)\) de réels indépendants de \(t\) pour lesquels on a : \[\forall t \in[\max (0, x-1), \min (1, x)], \quad \frac{1}{(1+t)(1+x-t)}=\frac{A}{1+t}+\frac{B}{1+x-t}\] Montrer que \(A=B=\dfrac{1}{x+2}\).
Soit \(Y\) une variable aléatoire indépendante de \(X\), de même loi que \(X\) et de densité \(f\).
On pose \(Z=X+Y\), et on admet que \(Z\) est une variable aléatoire à densité.
On note \(h\) une densité de la variable aléatoire \(Z\) et on admet que \(h\) est donnée par :
\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad h(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) f(x-t) \, \mathrm{d} t\]
Calculer \(\mathbb{E}(Z)\) et \(\mathbb{V}(Z)\).
Montrer que: \[h(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2 \ln (1+x)}{(\ln (2))^{2}(x+2)} & \text { si } 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ \displaystyle \frac{2(\ln (2)-\ln (x))}{(\ln (2))^{2}(x+2)} & \text { si } 1<x \leqslant 2 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon } \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Dans tout l’exercice, on considère une suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) de réels tous non nuls et on associe à cette suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) la suite \(\left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ p_{n}=u_{1} \times u_{2} \times \ldots \times u_{n}=\prod_{k=1}^{n} u_{k}\]
Si la suite \(\left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge vers une limite finie \(p\) non nulle, on dit que la suite \(\left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est bien convergente.
Si la suite \(\left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge vers \(0\), on dit que la suite \(\left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est convergente.
Si la suite \(\left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) n’est ni convergente ni bien convergente, on dit qu’elle est divergente.
Dans chacun des cas suivants, exprimer \(p_{n}\) en fonction de \(n\) et en déduire la nature (convergente, bien convergente ou divergente) de la suite \(\left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).
\(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ u_{n}=1+\frac{1}{n}\).
\(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ u_{n}=1-\frac{1}{n+1}\).
\(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ u_{n}=1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\).
On suppose dans cette question que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est définie par : \[u_{1}=1 \quad \text { et } \quad \forall n \geqslant 2, \ u_{n}=1+\frac{(-1)^{n}}{n}\]
Établir, pour tout entier naturel \(n\) non nul, l’égalité suivante : \(p_{2 n}=1+\frac{1}{2 n}\).
Déterminer les limites respectives des suites \(\left(p_{2 n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(p_{2 n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).
On admet alors que la suite \(\left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est bien convergente.
Soit \(a\) un réel donné tel que \(0<a<1\). On suppose dans cette question que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est définie par: \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ u_{n}=1+a^{2^{n}}\]
On prendra garde au fait que \(a^{2^{n}}\) désigne la valeur de \(a^{\left(2^{n}\right)}\) qui est distinct de \(\left(a^{2}\right)^{n}=a^{2 n}\).
Établir la relation suivante : \[\forall n \geqslant 1,\ \left(1-a^{2}\right) p_{n}=1-a^{2^{n+1}}\]
Montrer que pour tout entier \(n \geqslant 1\), on \(a^{2^{n}} \leqslant a^{n}\).
En déduire la valeur de \(p=\lim\limits_{n\to+\infty}p_{n}\) en fonction de \(a\).
Soit \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) une suite de réels positifs. On suppose dans cette question que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est définie par :
\[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ u_{n}=1+a_{n}\] Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on pose \(T_{n}=\frac{a_{n}}{p_{n}}\).
Exprimer, pour tout entier \(n \geqslant 2\), \(T_{n}\) en fonction de \(p_{n}\) et \(p_{n-1}\).
On suppose que la suite \(\left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est bien convergente de limite \(p>0\).
Montrer que \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} T_{n}=1-\frac{1}{p}\)
On suppose que la suite \(\left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est divergente.
Montrer que \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} T_{n}=1\)
Dans ce problème, on désigne par \(n\) et \(p\) des entiers naturels tels que \(n \geqslant 1\) et \(p \geqslant 2\).
Toutes les matrices considérées ici sont à coefficients réels.
Soit \(A\) une matrice carrée \(p \times p\).
Pour tout \((i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]^{2}\), on note \(a_{i, j}\) le coefficient situé à l’intersection de la \(i^{\mathrm{e}}\) ligne et de la \(j^{\mathrm{e}}\) colonne de la matrice \(A\).
On rappelle que la trace de \(A\), notée \(\operatorname{tr}(A)\), est définie par : \(\operatorname{tr}(A)=\sum\limits_{i=1}^{p} a_{i, i}\).
Si \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{p}\) sont des réels, on note \(\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{p}\right)\) la matrice \(p \times p\) diagonale : \[\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{p}\right)= \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{p} \end{pmatrix}Â\]
Dans la première partie, on exprime la trace de la puissance \(n^{\mathrm{e}}\) d’une matrice diagonalisable, en fonction des valeurs propres de cette matrice.
Dans la seconde partie, on étudie les colorations d’une figure.
Soit \(A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\).
Vérifier que les valeurs propres de \(A\) sont \(-1\) et \(2\).
Montrer que le vecteur \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) constitue une base du sous-espace propre de \(A\) associé à la valeur propre 2 et que les vecteurs \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) constituent une base du sous-espace propre de \(A\) associé à la valeur propre \(-1\).
En déduire que la matrice \(A\) est diagonalisable. On pose alors \(D=\operatorname{diag}(-1,-1,2)\).
On note \(P\) la matrice \(3 \times 3\) définie par \(P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\).
On admet que \(P^{3}-2 P^{2}+3 P-3 I=0\), où \(I\) est la matrice identité de \(\mathscr{M}_{3}(\mathbb{R})\) (on ne demande pas de vérifier cette relation).
Calculer la matrice \(P^{-1}\), inverse de la matrice \(P\).
Justifier que pour tout entier \(n \geqslant 1\), on a : \(A^{n}=P D^{n} P^{-1}\).
En déduire l’expression de \(A^{n}\) en fonction de \(n\).
Vérifier que pour tout entier \(n \geqslant 1\), on a : \(\operatorname{tr}\left(A^{n}\right)=\operatorname{tr}\left(D^{n}\right)=2(-1)^{n}+2^{n}\).
Dans cette section, \(A\) désigne une matrice \(p \times p\) supposée diagonalisable.
Question préliminaire.
Montrer que si \(U\) et \(V\) sont deux matrices \(p \times p\), alors \(\operatorname{tr}(U V)=\operatorname{tr}(V U)\).
On rappelle que \(A\) est diagonalisable et donc qu’il existe une matrice diagonale \[D=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{p}\right)\] avec \(\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{p}\) et une matrice \(p \times p\) inversible \(P\) telles que \(A=P D P^{-1}\).
Justifier que pour tout \(n \geqslant 1\) : \[\operatorname{tr}\left(A^{n}\right)=\operatorname{tr}\left(D^{n}\right)=\lambda_{1}^{n}+\lambda_{2}^{n}+\cdots+\lambda_{p}^{n}=\sum_{i=1}^{p} \lambda_{i}^{n}\]
Dans la suite de ce problème, on étudie les colorations d’une figure notée \(\mathscr{F}_{n}\) pour \(n \geqslant 1\).
La figure \(\mathscr{F}_{1}\) ou plus simplement \(F\) est constituée de deux points ou sommets reliés entre eux. Plus généralement, la figure \(\mathscr{F}_{n}\) est constituée de \(n\) copies de la figure \(F\) notées \(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\) reliées entre elles et disposées de sorte qu’elles forment deux polygones à \(n\) sommets.
On notera abusivement \(\mathscr{F}_{n}=\left(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\right)\).
La figure 1 ci-dessous représente les figures \(F\) et \(\mathscr{F}_{5}=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}, F_{4}, F_{5}\right)\).
(a) la figure \(\mathscr{F}_{1}=F\)
(b) la figure \(\mathscr{F}_{5}\)
FIGURE 1 - Deux figures \(\mathscr{F}_{n}\) (\(n=1\) et \(n=5\))
On dispose par ailleurs de trois couleurs, à savoir : Blanc notée \(B\), Gris notée \(G\) et Noir notée \(N\).
Chaque sommet de \(\mathscr{F}_{n}\) est coloré par une couleur choisie parmi \(\{B, G, N\}\).
La coloration de la figure \(\mathscr{F}_{n}\) sera dite correcte si deux sommets reliés dans la figure sont de couleurs différentes.
La figure ci-dessous représente une coloration correcte de \(\mathscr{F}_{4}=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}, F_{4}\right)\).
FIGURE 2 - Une coloration correcte de \(\mathscr{F}_{4}\)
Par exemple, les colorations correctes de \(F\) sont : \[(B, G),(B, N),(G, N),(G, B),(N, B) \text { et }(N, G)\]
On notera que les colorations \((B, G)\) et \((G, B)\) (par exemple) sont différentes; ceci signifie que dans une coloration de la figure \(\mathscr{F}_{n}\), les sommets sont supposés distingués les uns des autres.
Dans la suite de ce problème, on se donne une partie non vide \(C=\left\{c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{p}\right\}\) avec \(2 \leqslant p \leqslant 6\), de l’ensemble \(\{(B, G),(B, N),(G, N),(G, B),(N, B),(N, G)\}\), des colorations correctes de \(F\).
Pour obtenir une coloration correcte de la figure \(\mathscr{F}_{n}=\left(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\right)\), on commence par choisir des colorations correctes de chacune des copies \(F_{i}(1 \leqslant i \leqslant n)\) dans l’ensemble \(C\).
On dit que deux éléments \(c=\left(K_{1}, K_{2}\right)\) et \(c^{\prime}=\left(K_{1}^{\prime}, K_{2}^{\prime}\right)\) de \(C\) sont compatibles si \(K_{1} \neq K_{1}^{\prime}\) et \(K_{2} \neq K_{2}^{\prime}\)
Par exemple, \(c=(B, N)\) et \(c^{\prime}=(N, G)\) sont compatibles car \(B \neq N\) et \(N \neq G ;\) par contre, \(c=(B, N)\) et \(c^{\prime}=(B, G)\) ne sont pas compatibles (même première composante \(B\) ).
Il en résulte que la coloration de la figure \(\mathscr{F}_{n}=\left(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\right)\) sera correcte si et seulement si, les colorations \(F_{1}\) et \(F_{2}, F_{2}\) et \(F_{3}, \ldots, F_{n-1}\) et \(F_{n}\) et aussi \(F_{n}\) et \(F_{1}\) sont compatibles.
Dans cette section, on suppose \(n \geqslant 2\) et on admet qu’il existe un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})\) tel que \(\Omega\) est l’ensemble des figures \(\mathscr{F}_{n}\) colorées (correctement ou non), avec \(\mathscr{F}_{n}=\left(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\right)\), et \(\mathbb{P}\) est telle que \(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\) sont colorées par un élément de \(C\) avec équiprobabilité et indépendance.
Pour une coloration \(c_{i}\) de \(F_{1}\) avec \(1 \leqslant i \leqslant p\), l’entier \(i\) désigne l’indice de cette coloration. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire \(X\) donnant l’indice de la coloration de \(F_{1}\) pour la figure \(\mathscr{F}_{n}=\left(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\right)\) ?
Quelles sont l’espérance et la variance de \(X\) ?
Montrer que la variable aléatoire \(Y\) donnant le nombre de \(F_{i}\) de la \(\mathscr{F}_{n}=\left(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\right)\) ayant pour coloration l’élément \(c_{1}\) de \(C\) suit une loi usuelle que l’on déterminera.
Quelles sont l’espérance et la variance de \(Y\) ?
On introduit la matrice \(p \times p\) de compatibilité associée à \(C\), notée \(A_{C}\) ou tout \(\operatorname{simplement} A\), dont les coefficients sont tels que : \[\forall(i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]^{2}, \ a_{i, j}= \begin{cases}1 & \text { si } c_{i} \text { et } c_{j} \text { sont compatibles } \\ 0 & \text { si } c_{i} \text { et } c_{j} \text { ne sont pas compatibles }\end{cases}\] Exemple: dans le cas de la Figure 2 ci-dessus, on a donc \(n=4\) et on prend \(p=3\) avec : \(c_{1}=(B, G)\) (coloration de \(F_1\)), \(c_{2}=(N, B)\) (colorations de \(F_{2}\) et \(F_4\)) et \(c_{3}=(B, N)\) (coloration de \(F_{3}\)) et donc \(C=\{(B, G),(N, B),(B, N)\}\).
Il en résulte que \[A_{C}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]
Par exemple, \((B, G)\) et \((B, G)\) ne sont pas compatibles donc \(a_{1,1}=0\) et \((N, B)\) et \((B, N)\) sont compatibles donc \(a_{2,3}=1\).
Dans la suite de cette section, on notera \(u_{n}(C)\) le nombre de colorations correctes de la figure \(\mathscr{F}_{n}\) utilisant les colorations de \(C\).
Le but de la fin de cette section est de déterminer une expression de \(u_{n}(C)\) pour \(n \geqslant 2\) utilisant la matrice \(A_{C}\).
Un exemple.
Dans cet exemple, \(c_{1}=(B, G), c_{2}=(G, N), c_{3}=(B, N)\); ainsi, \(C=\{(B, G),(G, N),(B, N)\}\).
Montrer que \(A_{C}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\).
Déterminer \(A_{C}^{2}\) et en déduire \(A_{C}^{n}\) pour \(n \geqslant 2\) (on distinguera suivant la parité de \(n\) ).
Déterminer \(u_{2}(C)\) en représentant les figures \(\mathscr{F}_{2}\) correctement colorées correspondantes et déterminer aussi \(u_{3}(C)\).
Vérifier que \(u_{2}(C)=\operatorname{tr}\left(A_{C}^{2}\right)\) et que \(u_{3}(C)=\operatorname{tr}\left(A_{C}^{3}\right)\).
Cas général.
On revient au cas général et on se donne :
une figure \(\mathscr{F}_{n}=\left(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\right)\) avec \(n \geqslant 2\);
un ensemble \(C=\left\{c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{p}\right\}\) de colorations correctes de \(F\);
la matrice de compatibilité \(A=A_{C}\) associée à \(C\).
Soient \(c_{i_{1}}, c_{i_{2}}, \ldots, c_{i_{n}}\) des colorations choisies dans \(C\). Montrer qu’en affectant la coloration \(c_{i_{j}}\) à \(F_{j}\) pour \(j \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on obtient une bonne coloration de \(\mathscr{F}_{n}\) si et seulement si : \[a_{i_{1}, i_{2}} \times a_{i_{2}, i_{3}} \times \cdots \times a_{i_{n-1}, i_{n}} \times a_{i_{n}, i_{1}}=1\]
En déduire que \(u_{n}(C)=\operatorname{tr}\left(A_{C}^{n}\right)\).
Soit \(n \geqslant 2\). Quelle est la probabilité pour qu’une figure \(\mathscr{F}_{n}=\left(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\right)\) choisie au hasard et telle que les colorations de chaque \(F_{i}(1 \leqslant i \leqslant n)\) soient prises dans \(C=\{(B, G),(G, N),(N, B)\}\), ait une coloration correcte?
Même question, les colorations de chaque \(F_{i}(1 \leqslant i \leqslant n)\) étant prises cette fois dans l’ensemble \(\{(B, G),(G, B),(B, N),(N, B)\}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
