HEC, ESSEC 2019Maths appliquées

Exercice

1. Dans cette question, on considère les matrices \(C=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\), \(L=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{1,3}(\mathbb{R})\) et le produit matriciel \(M=CL\).

   1. 1. Calculer \(M\) et \(M^2\).

      2. Déterminer le rang de \(M\).

      3. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

   2. 1. Soit \(P=\begin{pmatrix} 0 & 1& 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}\). Justifier que \(P\) est inversible et calculer le produit \(PC\).

      2. Trouver une matrice \(Q\) inversible dont la transposée \({}^t\!\, Q\) vérifie : \({}^t\!\, Q \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}\).

      3. Pour une telle matrice \(Q\), calculer le produit \(PMQ\).

2. Dans cette question, on note \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et \(M\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de rang \(1\).

   Pour tout couple \((i,j) \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\), on note \(E_{i,j}\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à l’intersection de sa \(i\)-ème ligne et de sa \(j\)-ème colonne, qui vaut \(1\).

   1. 1. Justifier l’existence d’une matrice colonne non nulle \(C=\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) et d’une matrice ligne non nulle \(L=\begin{pmatrix} \ell_1 & \cdots & \ell_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R})\) telles que : \(M=CL\).

      2. Calculer \(MC\) et en déduire une valeur propre de \(M\).

      3. Montrer que si le réel \(\displaystyle\sum_{i=1}^n c_i \ell_i\) est différent de \(0\), alors la matrice \(M\) est diagonalisable.

   2. 1. À l’aide de l’égalité \(M=CL\), établir l’existence de deux matrices inversibles \(P\) et \(Q\) telles que \(PMQ=E_{1,1}\).

      2. En déduire que, pour tout couple \((i,j) \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\), il existe deux matrices inversibles \(P_i\) et \(Q_j\) telles que \(P_iMQ_j=E_{i,j}\).

Problème

Dans ce problème, on définit et on étudie les fonctions génératrices des moments et les fonctions génératrices des cumulants de variables aléatoires discrètes ou à densité.

Les cumulants d’ordre 3 et 4 permettent de définir des paramètres d’asymétrie et d’aplatissement qui viennent compléter la description usuelle d’une loi de probabilité par son espérance (paramètre de position) et sa variance (paramètre de dispersion) ; ces cumulants sont notamment utilisés pour l’évaluation des risques financiers.

Dans tout le problème :

• on note \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) un espace probabilisé et toutes les variables aléatoires introduites dans l’énoncé sont des variables aléatoires réelles définies sur \((\Omega, \mathcal{A})\) ;

• sous réserve d’existence, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire \(X\) sont respectivement notées \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{V}(X)\) ;

• si \(X\) est une variable aléatoire, l’espérance de \(X^p\), quand elle existe, est appelée moment d’ordre \(p\in\mathbb{N}^\ast\) ; on admet alors que, si \(X\) admet un moment d’ordre \(p \in\mathbb{N}^\ast\), alors elle admet un moment d’ordre \(k\) pour tout \(k \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\) ;

• pour toute variable aléatoire \(X\) et pour tout réel \(t\) pour lesquels la variable aléatoire \(\mathrm{e}^{tX}\) admet une espérance, on pose : \[M_X(t) = \mathbb{E}( \mathrm{e}^{tX} ) \quad\text{et}\quad K_X(t) = \ln(M_X(t))~;\]

  (les fonctions \(M_X\) et \(K_X\) sont respectivement appelées la fonction génératrice des moments et la fonction génératrice des cumulants de \(X\)) ;

• lorsque, pour un entier \(p \in \mathbb{N}^*\), la fonction \(K_X\) est de classe \(\mathcal{C}^p\) sur un intervalle ouvert contenant l’origine, on appelle cumulant d’ordre \(p\) de \(X\), noté \(Q_p(X)\), la valeur de la dérivée \(p\)-ème de \(K_X\) en 0 : \[Q_p(X) = K_X^{(p)}(0)\]

Partie I. Fonction génératrice des moments de variables aléatoires discrètes

Dans toute cette partie :

• on note \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 ;

• toutes les variables aléatoires considérées sont discrètes et à valeurs entières ;

• on note \(S\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\{-1,1\}\) dont la loi est donnée par : \[\mathbb{P}( S=-1 ) = \mathbb{P}( S = 1) = \frac 12.\]

1. Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {-n,n} \right]\kern-0.15em\right]\).

   1. Pour tout \(t \in \mathbb{R}\), écrire \(M_X(t)\) sous la forme d’une somme et en déduire que la fonction \(M_X\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\).

   2. Justifier pour tout \(p \in \mathbb{N}^*\), l’égalité : \(M_X^{(p)}(0) = \mathbb{E}( X^p)\).

   3. Soit \(Y\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {-n,n} \right]\kern-0.15em\right]\) dont la fonction génératrice des moments \(M_Y\) est la même que celle de \(X\).

      On note \(G_X\) et \(G_Y\) les deux polynômes définis par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ \begin{cases} G_X(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^{2n} \mathbb{P}( X = k-n) \, x^k \\ G_Y(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^{2n} \mathbb{P}( Y = k-n) \, x^k \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

      1. Vérifier pour tout \(t \in \mathbb{R}\), l’égalité : \(G_X(\mathrm{e}^t) = \mathrm{e}^{nt} \, M_X(t)\).

      2. Justifier la relation : \(\forall t \in \mathbb{R}\), \(G_X(\mathrm{e}^t) = G_Y(\mathrm{e}^t)\).

      3. En déduire que la variable aléatoire \(Y\) suit la même loi que \(X\).

2. Dans cette question, on note \(X_2\) une variable aléatoire qui suit la loi binomiale \(\mathcal{B} \! \left(2, \dfrac 12\right)\).

   On suppose que les variables aléatoire \(X_2\) et \(S\) sont indépendantes et on pose \(Y_2 = SX_2\).

   1. 1. Préciser l’ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire \(Y_2\).

      2. Calculer les probabilités \(\mathbb{P}( Y_2 = y)\) attachées au diverses valeurs possibles \(y\) de \(Y_2\).

   2. Vérifier que la variable aléatoire \(X_2 - (S+1)\) suit la même loi que \(Y_2\).

3. Le script Python suivant permet d’effectuer des simulations de la variable aléatoire \(Y_2\) définie dans la question précédente.

   1. Que contiennent les variables X et S après l’exécution des quatre premières instructions ?

   2. Expliquer pourquoi, après l’exécution des six instructions, chacun des coefficients des matrices Z1 et Z2 contient une simulation de la variable aléatoire \(Y_2\).

   3. On modifie la première ligne du script précédent en affectant à n une valeur beaucoup plus grande que 10 (par exemple 100000) et en lui adjoignant les deux instructions suivantes :

      Quelles valeurs numériques approchées la loi faible des grands nombres permet-elle de fournir pour p1 et p2 après l’exécution des huit lignes du nouveau script ?

4. Dans cette question, on note \(X_n\) une variable aléatoire qui suit la loi binomiale \(\mathcal{B}\! \left(n,\dfrac 12\right)\).

   On suppose que les variables aléatoires \(X_n\) et \(S\) sont indépendantes et on pose \(Y_n = SX_n\).

   1. Justifier que la fonction \(M_{X_n}\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(M_{X_n}(t)\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\).

   2. Montrer que la fonction \(M_{Y_n}\) est donnée par : \(\forall t \in \mathbb{R}\), \(M_{Y_n}(t) = \dfrac{1}{2^{n+1}} \left[ (1+\mathrm{e}^t)^n + (1+\mathrm{e}^{-t})^n\right]\).

   3. En utilisant l’égalité \((1+\mathrm{e}^{-t})^n = \mathrm{e}^{-nt} \left( 1+\mathrm{e}^t \right)^n\), montrer que \(Y_n\) suit la même loi que la différence \(X_n - H_n\), où \(H_n\) est une variable aléatoire indépendante de \(X_n\) dont on précisera la loi.

Partie II. Propriétés générales des fonctions génératrices des cumulants et quelques exemples

5. Soit \(X\) une variable aléatoire et \(\mathcal{D}_X\) le domaine de définition de la fonction \(K_X\).

   1. Donner la valeur de \(K_X(0)\).

   2. Soit \((a,b) \in \mathbb{R}^2\) et \(Y = aX+b\). Justifier pour tout réel \(t\) pour lequel \(at\) appartient à \(\mathcal{D}_X\), l’égalité : \[K_Y(t) = bt + K_X(at)\]

   3. On suppose ici que les variables aléatoires \(X\) et \(-X\) suivent la même loi.

      Que peut-on dire dans ce cas des cumulants d’ordre impair de la variable aléatoire \(X\) ?

6. Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes et \(\mathcal{D}_X\) et \(\mathcal{D}_Y\) les domaines de définition respectifs des fonctions \(K_X\) et \(K_Y\).

   1. Montrer que pour tout réel \(t\) appartenant à la fois à \(\mathcal{D}_X\) et \(\mathcal{D}_Y\), on a : \(K_{X+Y}(t) = K_X(t) + K_Y(t)\).

   2. En déduire une relation entre les cumulants des variables aléatoires \(X\), \(Y\) et \(X+Y\).

7. Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle \([0,1]\).

   1. Montrer que la fonction \(M_U\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et donnée par : \(\forall t \in \mathbb{R}\), \(M_U(t) =\begin{cases} \dfrac{\mathrm{e}^t-1}{t} & \text{si } t \neq 0 \\ \hfill 1 \hfill & \text{si } t = 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\)

   2. Calculer la dérivée de la fonction \(M_U\) en tout point \(t \neq 0\).

   3. Trouver la limite du quotient \(\dfrac{M_U(t)-1}{t}\) lorsque \(t\) tend vers 0.

   4. Montrer que la fonction \(M_U\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\).

8. Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels tels que \(\alpha < \beta\).

   Dans cette question, on note \(X\) une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle \([\alpha, \beta]\).

   1. Exprimer \(K_X\) en fonction de \(M_U\), où la variable aléatoire \(U\) a été définie dans la question 7.

   2. Justifier que la fonction \(K_X\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) et établir l’égalité : \(Q_1(X) = \mathbb{E}(X)\).

9. Soit un réel \(\lambda > 0\) et soit \(T\) une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).

   1. Déterminer les fonctions \(M_T\) et \(K_T\).

   2. En déduire tous les cumulants de \(T\).

10. Soit \(Z\) une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.

    1. Justifier pour tout \(t \in \mathbb{R}\), la convergence de l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\exp \! \left(tx - \frac{x^2}{2}\right) \, \mathrm{d}x\).

    2. Montrer que la fonction \(M_Z\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et donnée par : \(\forall t \in \mathbb{R}\), \(M_Z(t) = \exp \! \left(\dfrac{t^2}{2}\right)\).

    3. En déduire la valeur de tous les cumulants d’une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance \(\mu \in \mathbb{R}\) et d’écart-type \(\sigma \in \mathbb{R}_+^\ast\).

11. Soit \((T_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) une suite de variables aléatoires telles que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), la variable aléatoire \(T_n\) suit la loi de Poisson de paramètre \(n\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose \(W_n = \dfrac{T_n-n}{\sqrt n}\).

    1. Justifier la convergence en loi de la suite de variables aléatoires \((W_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) vers une variable aléatoire \(W\).

    2. Déterminer la fonction \(K_{W_n}\).

    3. Montrer que pour tout \(t \in \mathbb{R}\), on a : \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} K_{W_n}(t) = K_W(t)\).

Partie III. Cumulant d’ordre 4

Dans cette partie, on considère une variable aléatoire \(X\) telle que \(M_X\) est de classe \(\mathcal{C}^4\) sur un intervalle ouvert \(I\) contenant l’origine.

On admet alors que \(X\) possède des moments jusqu’à l’ordre 4 qui coïncident avec les dérivées successives de la fonction \(M_X\) en 0. Autrement dit, pour tout \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,4} \right]\kern-0.15em\right]\), on a \(M_X^{(k)}(0) = \mathbb{E}( X^k )\).

De plus, on pose : \(\mu_4(X) = \mathbb{E}( (X-\mathbb{E}(X))^4)\).

12. Justifier les égalités : \(Q_1(X) = \mathbb{E}(X)\) et \(Q_2(X) = \mathbb{V}(X)\).

13. Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi que \(X\).

    On pose \(S = X_1 - X_2\).

    1. Montrer que la variable aléatoire \(S\) possède un moment d’ordre 4 et établir l’égalité : \[\mathbb{E}(S^4) = 2 \mu_4(X) + 6 \left( \mathbb{V}(X) \right) ^2\]

    2. Montrer que les fonctions \(M_S\) et \(K_S\) sont de classe \(\mathcal{C}^4\) sur \(I\) et que pour tout \(t \in I\), on a : \[M_S^{(4)}(t) = K_S^{(4)}(t)M_S(t) + 3K_S^{(3)}(t)M_S'(t) + 3K_S''(t)M_S''(t) + K_S'(t)M_S^{(3)}(t)\]

    3. En déduire l’égalité : \(\mathbb{E}( S^4 ) = Q_4(S) + 3 \left( \mathbb{V}( S) \right)^2.\)

14. Justifier que le cumulant d’ordre 4 de \(X\) est donné par la relation : \(Q_4(X) = \mu_4(X)-3 \left( \mathbb{V}( X) \right)^2\).