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Soit \((\Omega,\mathcal A,\mathbb P)\) un espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires de cet énoncé sont définies sur cet espace.
Si \(Z\) est une variable aléatoire réelle, on note, sous réserve d’existence, \(\mathbb E(Z)\) son espérance et \(\mathbb V(Z)\) sa variance.
Si \(Z\) est une variable aléatoire réelle, on note \(F_Z\) la fonction de répartition de \(Z\).
Si \((X,Y)\) est un couple aléatoire de \(\mathbb R^2\), on note \(F_{(X,Y)}\) la fonction de répartition de ce couple, c’est-à-dire la fonction définie par : \[\forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ F_{(X,Y)}(x,y)=\mathbb P \! \left( [X\leqslant x]\cap [Y\leqslant y] \right)\]
Soient \(D\subset \mathbb R^2\) et \(F\) une fonction définie sur un ensemble qui contient \(D\) à valeurs dans \(\mathbb R\).
On dit que \(F\) est 2-croissante sur \(D\) si pour tout couple \(\big((a_1,a_2),(b_1,b_2)\big)\in D^2\) tels que \(a_1\leqslant b_1\) et \(a_2\leqslant b_2\) : \[F(b_1,b_2)-F(a_1,b_2)-F(b_1,a_2)+F(a_1,a_2)\geqslant 0\] ou encore : \[F(a_1,b_2)+F(b_1,a_2)\leqslant F(b_1,b_2)+F(a_1,a_2)\]
Si \(F\) est 2-croissante sur \(\mathbb R^2\), on dit plus simplement que \(F\) est 2-croissante.
Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles. On dit que \(X=Y\) presque sûrement et on note \(X=Y\) p.s. si : \[\mathbb P(X=Y)=1\]
Étant donné un intervalle \(]a,b[\) de \(\mathbb R\) où \(-\infty\leqslant a<b\leqslant +\infty\), on note \(\mathcal F_{]a,b[}\) l’ensemble des fonctions continues et croissantes sur \(\mathbb R\) à valeurs dans \([0,1]\), de classe \(\mathcal C^1\) sur \(]a,b[\), strictement croissantes sur \(]a,b[\), de limite nulle en \(a\) et de limite égale à \(1\) en \(b\).
L’énoncé comporte trois parties.
La partie I porte sur des résultats généraux sur les fonctions de répartition de couple.
La partie II s’intéresse aux fonctions 2-croissantes et aux copules 2-dimensionnelles.
La partie III est dédiée au théorème de Sklar et à quelques exemples.
Le mot FIN marque la fin de l’énoncé.
Pour les programmes Python, on dispose d’un petit
formulaire à la fin du sujet. On suppose avoir importé des bibliothèques
de la façon suivante :
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import numpy.random as rd import scipy.special as sp
Toute fonction Python écrite en réponse à une question
de l’énoncé peut être utilisée dans les programmes ou fonctions
Python demandées par la suite.
On considère un intervalle \(]a,b[\) de \(\mathbb R\) où \(-\infty\leqslant a<b\leqslant +\infty\).
Soit \(g\in\mathcal F_{]a,b[}\). Montrer que la restriction de \(g\) à \(]a,b[\) réalise une bijection de \(]a,b[\) dans \(\left] 0,1 \right[\).
Par commodité, dans tout le problème, pour toute fonction \(g\in\mathcal F_{]a,b[}\), on note \(g^{-1}\) la réciproque de la restriction de \(g\) à \(]a,b[\).
Soit \(X\) une variable aléatoire admettant \(f\) comme densité de probabilité où \(f\) est une fonction continue et strictement positive sur \(]a,b[\) et nulle en dehors de \(]a,b[\).
Montrer que \(F_X\in\mathcal F_{]a,b[}\).
Soit \((X,Y)\) un couple aléatoire à valeurs dans \(\mathbb R^2\).
Montrer que : \[\lim_{t\to -\infty}F_{(X,Y)}(x,t)=0 \quad\text{et}\quad \lim_{t\to -\infty}F_{(X,Y)}(t,y)=0\]
Montrer que : \[F_X(x)=\mathbb P\! \left(\bigcup_{n\in\mathbb N}\big([X\leqslant x]\cap [Y\leqslant n]\big)\right)\]
En déduire que : \[F_X(x)=\lim_{t\to +\infty}F_{(X,Y)}(x,t)\]
Montrer que : \[F_Y(y)=\lim_{t\to +\infty}F_{(X,Y)}(t,y)\]
En déduire que : \[\lim_{t\to +\infty}\left(\lim_{s\to +\infty}F_{(X,Y)}(s,t)\right) = \lim_{s\to +\infty}\left(\lim_{t\to +\infty}F_{(X,Y)}(s,t)\right)=1\]
Montrer que \(F_{(X,Y)}\) est 2-croissante.
Montrer que \(F_{(X,Y)}(x,y)\leqslant \min\big(F_X(x),F_Y(y)\big)\).
Montrer que \(F_{(X,Y)}(x,y)\geqslant \max\big(F_X(x)+F_Y(y)-1,0\big)\).
On vient de démontrer le théorème des bornes de Fréchet-Hoeffding : \[\forall (x,y)\in\mathbb R^2, \max\big(F_X(x)+F_Y(y)-1,0\big) \leqslant F_{(X,Y)}(x,y) \leqslant \min\big(F_X(x),F_Y(y)\big)\]
On traite dans les questions 9, 10, 11 et 12 un premier exemple.
Soit \(]a_1,b_1[\) et \(\left]a_2,b_2 \right[\) deux intervalles de \(\mathbb R\) avec \(-\infty\leqslant a_1<b_1\leqslant +\infty\) et \(-\infty\leqslant a_2<b_2\leqslant +\infty\).
Soit \((F_1,F_2)\in\mathcal F_{]a_1,b_1[}\times\mathcal F_{\left]a_2,b_2 \right[}\).
On suppose dans cet exemple seulement que : \[\forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ F_{(X,Y)}(x,y)=\min(F_1(x),F_2(y))\]
Montrer que \(F_X=F_1\) et \(F_Y=F_2\).
Posons \(U=F_1(X)\) et \(V=F_2(Y)\).
Déterminer les lois de \(U\) et \(V\).
Déterminer la fonction de répartition de \((U,V)\).
Représenter sur le plan rapporté à un repère \((O,\vec i,\vec j)\), l’ensemble : \[\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\;\middle|\; \frac12\leqslant F_{(U,V)}(x,y)\leqslant \frac23\right\}\]
Soit \(n\in\mathbb N^*\) tel que \(n\geqslant 2\). Montrer que : \[\mathbb P \! \left(U-V>\frac1n\right) \leqslant \sum_{k=1}^{n-1}\mathbb P \! \left(\left[\frac{k}{n}<U\leqslant\frac{k+1}{n}\right]\cap\left[V\leqslant\frac{k}{n}\right]\right)\]
En déduire que \(\mathbb P(U-V>1/n)=0\), puis \(\mathbb P(U=V)=1\).
On suppose que \(Y(\Omega)\subset \left]a_2,b_2 \right[\). Montrer que \(X=F_1^{-1}(F_2(Y))\) p.s.
On suppose que \(X(\Omega)\subset \left]a_1,b_1 \right[\) et \(Y(\Omega)\subset \left]a_2,b_2 \right[\). Montrer qu’il existe deux fonctions \(g\) et \(h\) croissantes telles que \(X=g(Y)\) p.s. et \(Y=h(X)\) p.s.
On dit que les variables \(X\) et \(Y\) sont comonotones.
Python. On suppose que \(F_1\) est la fonction de répartition d’une
variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite et \(F_2\) est la fonction de répartition d’une
variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(1\).
Écrire une fonction Python, Nuage1, qui
représente dans \(\mathbb R^2\), \(100\) réalisations de \((X,Y)\).
On traite dans les questions 13, 14, 15, 16 et 17 un second exemple.
Soit \(]a_1,b_1[\) et \(\left]a_2,b_2 \right[\) deux intervalles de \(\mathbb R\) avec \(-\infty\leqslant a_1<b_1\leqslant +\infty\) et \(-\infty\leqslant a_2<b_2\leqslant +\infty\).
Soit \((F_1,F_2)\in\mathcal F_{]a_1,b_1[}\times\mathcal F_{\left]a_2,b_2 \right[}\).
On suppose dans cet exemple seulement que : \[\forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ F_{(X,Y)}(x,y)=\max(F_1(x)+F_2(y)-1,0)\]
Montrer que \(F_X=F_1\) et \(F_Y=F_2\).
Posons \(U=F_1(X)\) et \(V=F_2(Y)\).
Déterminer les lois des variables aléatoires \(U\) et \(1-V\) ainsi que la fonction de répartition du couple \((U,1-V)\).
En déduire \(\mathbb P(U=1-V)=1\).
On suppose que \(Y(\Omega) \subset \left] a_2,b_2 \right[\). Montrer que \(X=F_1^{-1}(1-F_2(Y))\) p.s.
On suppose que \(X(\Omega)\subset \left] a_1,b_1 \right[\) et \(Y(\Omega)\subset \left]a_2,b_2 \right[\). Montrer qu’il existe deux fonctions \(g\) et \(h\) décroissantes telles que \(X=g(Y)\) p.s. et \(Y=h(X)\) p.s.
On dit que les variables \(X\) et \(Y\) sont contra-monotones.
Python. On suppose que \(F_1\) est la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite et \(F_2\) est la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(1\).
Écrire une fonction Python, Nuage2, qui représente dans
\(\mathbb R^2\), \(100\) réalisations de \((X,Y)\).
Les deux graphes obtenus sont représentés dans la figure ci-dessous, expliquer quel graphe correspond à quel exemple.
Soit \(f_1: \mathbb R^2\to\mathbb R\) définie par : \[\forall (x,y)\in\mathbb R^2, \ f_1(x,y)=\max(x,y)\]
Montrer que \(t\mapsto f_1(t,y_0)\) et \(t\mapsto f_1(x_0,t)\) sont croissantes.
Montrer que \(f_1\) n’est pas 2-croissante.
Soit \(f_2: \mathbb R^2\to\mathbb R\) définie par : \[\forall (x,y)\in\mathbb R^2, \ f_2(x,y)=xy\]
Montrer que \(f_2\) est 2-croissante.
Montrer qu’il existe un \(y\in\mathbb R\) tel que \(x\mapsto f_2(x,y)\) ne soit pas croissante.
Que déduire des deux questions précédentes ?
Soit \(I\) et \(J\) deux intervalles ouverts de \(\mathbb R\) et \(F\) une fonction de \(\mathbb R^2\) dans \(\mathbb R\) de classe \(\mathcal C^2\), 2-croissante sur \(I\times J\).
Soit \((x,y)\in\mathbb R^2\). Montrer que : \[\partial^2_{1,2}F(x,y)=\lim_{\substack{h\to0\\h\neq0}}\left(\lim_{\substack{k\to0\\k\neq0}} \frac{F(x+h,y+k)-F(x+h,y)-F(x,y+k)+F(x,y)}{hk}\right)\]
En déduire que : \[\forall (x,y)\in I\times J, \ \partial^2_{1,2}F(x,y)\geqslant 0\]
Soit \(I\) et \(J\) deux intervalles ouverts de \(\mathbb R\) et \(F\) une fonction de \(\mathbb R^2\) dans \(\mathbb R\) de classe \(C^2\).
Soit \(\big((a_1,a_2),(b_1,b_2)\big)\in (I\times J)^2\) tel que \(a_1\leqslant b_1\) et \(a_2\leqslant b_2\). Montrer que : \[F(b_1,b_2)-F(a_1,b_2)-F(b_1,a_2)+F(a_1,a_2) =\int_{a_2}^{b_2}\int_{a_1}^{b_1}\partial^2_{1,2}F(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\]
En déduire que \(F\) est 2-croissante sur \(I\times J\) si et seulement si : \[\forall (x,y)\in I\times J, \ \partial^2_{1,2}F(x,y)\geqslant 0\]
Soit \(F\) une fonction de \(\mathbb R^2\) dans \(\mathbb R\), 2-croissante telle que : \[\forall (x,y)\in\mathbb R^2, \ \lim_{t\to -\infty}F(t,y)=\lim_{t\to -\infty}F(x,t)=0\] Montrer que pour tout couple \((x,y)\in\mathbb R^2\), les fonctions \(t\mapsto F(t,y)\) et \(t\mapsto F(x,t)\) sont croissantes.
Définition. Une copule \(C\) est une fonction à valeurs réelles, définie sur \([0,1]^2\), 2-croissante sur \([0,1]^2\) telle que : \[\forall x\in[0,1],\ C(0,x)=C(x,0)=0\quad\text{et}\quad C(1,x)=C(x,1)=x\]
On admet le théorème suivant.
Théorème. Si \(C\) est une copule alors il existe un couple aléatoire \((U,V)\), à valeurs dans \([0,1]^2\), tel que \(C\) est la fonction de répartition restreinte à \([0,1]^2\) de ce couple.
On dit que le couple \((U,V)\) est associé à \(C\).
Soit \(C\) une copule et \((U,V)\) un couple aléatoire associé à \(C\).
Déterminer les lois de \(U\) et \(V\).
On définit : \[\begin{array}{rcl} C^*:[0,1]^2&\rightarrow&\mathbb R\\ (u,v)&\mapsto&u+v-1+C(1-u,1-v) \end{array}\] Montrer que \(C^*\) est une copule.
C’est la copule de survie associée à \(C\).
Soit \(C\) une copule.
Montrer que : \[\forall v\in[0,1],\ \forall u_1,u_2\in[0,1],\ u_1\leqslant u_2\Rightarrow 0\leqslant C(u_2,v)-C(u_1,v)\leqslant u_2-u_1\] \[\forall u\in[0,1],\ \forall v_1,v_2\in[0,1],\ v_1\leqslant v_2\Rightarrow 0\leqslant C(u,v_2)-C(u,v_1)\leqslant v_2-v_1\]
En déduire que : \[\forall (u_1,v_1),(u_2,v_2)\in[0,1]^2, \ |C(u_2,v_2)-C(u_1,v_1)|\leqslant |u_2-u_1|+|v_2-v_1|\]
Montrer que \(C\) est continue sur \([0,1]^2\).
Soient \(]a,b[\) et \(]c,d[\) deux intervalles de \(\mathbb R\) où \(-\infty\leqslant a<b\leqslant +\infty\) et \(-\infty\leqslant c<d\leqslant +\infty\).
Soit \((X,Y)\) un couple aléatoire tel que \((F_X,F_Y)\in\mathcal F_{]a,b[}\times\mathcal F_{]c,d[}\).
Posons : \[\begin{array}{rcl} C:[0,1]^2&\longrightarrow&\mathbb R\\ (x,y)&\longmapsto& \begin{cases} F_{(X,Y)}\big(F_X^{-1}(x),F_Y^{-1}(y)\big)&\text{si }(x,y)\in\left] 0,1 \right[^2\\ x&\text{si }y=1\\ y&\text{si }x=1\\ 0&\text{sinon} \end{cases} \end{array}\]
Montrer que pour tous \((x,y)\in\left] 0,1 \right[^2\), on a : \[C(x,y)=\mathbb P \! \left([F_X(X)\leqslant x]\cap[F_Y(Y)\leqslant y]\right)\]
Montrer que cette formule reste valide pour tous \((x,y)\in[0,1]^2\).
En déduire que \(C\) est 2-croissante sur \([0,1]^2\).
En déduire que \(C\) est une copule.
Montrer qu’il existe une unique copule \(C\) telle que : \[\forall (x,y)\in\mathbb R^2, \ F_{(X,Y)}(x,y)=C(F_X(x),F_Y(y))\]
On dit que \(C\) est une représentation copule de \(F_{(X,Y)}\). Ce dernier résultat est le théorème de Sklar. On admettra la réciproque :
Théorème. Soit \(C\) une copule et \(F_1\) et \(F_2\) deux fonctions de répartition de variables aléatoires réelles à densité. La fonction \(\begin{array}{rcl} F:\mathbb R^2&\rightarrow&\mathbb R\\ (x_1,x_2)&\mapsto&C(F_1(x_1),F_2(x_2)) \end{array}\) est la fonction de répartition d’un couple aléatoire \((X,Y)\) à valeurs dans \(\mathbb R^2\).
Soit \(C\) une copule, \(F_1\) et \(F_2\) deux fonctions de répartition de variable aléatoire réelle à densité et \(F\) la fonction de répartition d’un couple \((X_1,X_2)\) définie par : \[\begin{array}{rcl} F:\mathbb R^2&\rightarrow&\mathbb R\\ (x_1,x_2)&\mapsto&C(F_1(x_1),F_2(x_2)) \end{array}\] Montrer que \(F_{X_1}=F_1\) et \(F_{X_2}=F_2\).
Soit \((Z_1,Z_2)\) un couple aléatoire de \(\mathbb R^2\) tel que : \[\forall (x,y)\in\mathbb R^2, \ F_{(Z_1,Z_2)}(x,y)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-y}}\]
Montrer que \(Z_1\) et \(Z_2\) sont des variables aléatoires réelles à densité et déterminer une densité pour chaque variable.
Déterminer la représentation copule de \(F\). Cette copule est appelée copule logistique de Gumbel.
Soit \(\theta\in \left]0,1 \right]\). On définit : \[\begin{array}{rcl} C_\theta:[0,1]^2&\rightarrow&\mathbb R\\ (u,v)&\mapsto& \begin{cases} uv \, \mathrm{e}^{-\theta\ln(u)\ln(v)}&\text{si }(u,v)\in \left] 0,1 \right]^2\\ 0&\text{sinon} \end{cases} \end{array}\]
Soit \((u_1,v_1)\in \left]0,1 \right[^2\).
Soit \(g:\ ]0,1]\to\mathbb R\) définie par : \[\theta\longmapsto \theta^2\ln(u_1)\ln(v_1)-\theta\big(1+\ln(u_1)+\ln(v_1)\big)+1\]
Dresser le tableau de variation de \(g\) selon les valeurs du réel : \[\theta_0=\frac{1+\ln(u_1)+\ln(v_1)}{2\ln(u_1)\ln(v_1)}\]
Montrer que \(g\) est toujours positive.
Montrer que \(C_\theta\) est \(\mathcal C^2\) sur \(\left] 0,1 \right[^2\) et est 2-croissante sur \(\left] 0,1 \right[^2\).
Montrer que \(C_\theta\) est 2-croissante sur \([0,1]^2\).
Montrer que \(C_\theta\) est une copule.
Soit \((X,Y)\) un couple aléatoire de \(\mathbb R^2\) de fonction de répartition : \[\begin{array}{rcl} F_{(X,Y)}:\mathbb R^2&\rightarrow&\mathbb R\\ (x,y)&\mapsto& \begin{cases} (1-\mathrm{e}^{-x})(1-\mathrm{e}^{-2y})\mathrm{e}^{-\ln(1-\mathrm{e}^{-x})\ln(1-\mathrm{e}^{-2y})}&\text{si }(x,y)\in(\mathbb R_+^*)^2\\ 0&\text{sinon} \end{cases} \end{array}\] Déterminer les lois de \(X\) et de \(Y\).
rd.random() | Renvoie une réalisation d'une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,1[$. |
|---|---|
rd.random(n) | Renvoie un vecteur de $n$ réalisations indépendantes de variables aléatoires de loi uniforme sur $[0,1[$. |
rd.normal() | Renvoie une réalisation d'une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. |
rd.normal(m,s) | Renvoie une réalisation d'une variable aléatoire de loi normale d'espérance $m$ et d'écart-type $s$. |
rd.normal(m,s,n) | Renvoie un vecteur de $n$ réalisations indépendantes de variables aléatoires de loi normale d'espérance $m$ et d'écart-type $s$. |
rd.exponential(l) | Renvoie une réalisation d'une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre $1/l$. |
rd.exponential(l,n) | Renvoie un vecteur de $n$ réalisations indépendantes de variables aléatoires de loi exponentielle de paramètre $1/l$. |
Si le paramètre \(l\) est omis, elle prend sa valeur par défaut, à savoir \(1\).
Pour obtenir la fonction de répartition \(\Phi\) de la loi normale centrée réduite,
on utilise la bibliothèque scipy :
sp.ndtr(x) | renvoie $\Phi(x)$ |
|---|---|
sp.ndtri(x) | renvoie $\Phi^{-1}(x)$ |
plt.plot(X,Y,".") | Dessine la courbe des points définis par les listes $X$ et $Y$. Remplace souvent la couleur par défaut et marque alors les points et affiche un graphique. |
|---|---|
plt.scatter(X,Y) | Affiche le graphique. |
FIN
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Sujet original mais très bien guidé, centré sur la construction de lois conjointes à partir des marginales, à travers l’étude des copules.
Il mobilise essentiellement des outils du programme d’ECG : fonctions de répartition, dérivées partielles, densités, continuité, monotonicité et interprétation probabiliste.
La première partie introduisait progressivement les propriétés générales des fonctions de répartition bidimensionnelles.
Elle restait accessible et permettait de sécuriser rapidement des points à condition d’être rigoureux sur les arguments de croissance et de limites.
La partie suivante constituait le cœur du sujet : elle introduisait explicitement la notion de copule, avec vérification des propriétés caractéristiques et construction de lois conjointes associées à des marginales uniformes.
La difficulté principale résidait dans la manipulation correcte des dérivées partielles et leur interprétation probabiliste.
La fin du problème devenait plus sélective, avec l’étude de copules particulières et de structures de dépendance extrêmes.
Elle demandait une bonne maîtrise des liens entre fonction de répartition, densité et indépendance, ainsi qu’une lecture attentive des hypothèses.
Dans l’ensemble, une épreuve inhabituelle mais très cohérente, qui favorisait les candidats capables de rester rigoureux dans la manipulation des fonctions de répartition à deux variables.
Sujet déstabilisant au premier abord, mais comportant en réalité de nombreuses questions accessibles pour qui gardait une vision claire des objets probabilistes étudiés.