HEC, ESCP 2025 Maths 2Maths approfondies

Notations et rappels

• Toutes les variables aléatoires sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\).

• Si \(Z\) est une variable aléatoire réelle, on note \(\mathbb{E}(Z)\) son espérance et \(\mathbb{V}(Z)\) sa variance, si elles existent.

• On note \(\varphi\) et \(\Phi\) les fonctions définies pour tout \(x \in \mathbb{R}\) par :

  \[\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, \exp \! \left(-\frac{x^2}{2}\right) \quad \text{et} \quad \Phi(x)=\int_{-\infty}^x \varphi(t) \, \mathrm{d} t\]

• On rappelle que la fonction Gamma est définie pour tout réel \(x>0\) par : \[\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1} \,\mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d} t\]

  et vérifie, pour tout réel \(x>0, \Gamma(x+1)=x \, \Gamma(x)\).

• Pour les programmes Python, on dispose d’un petit formulaire à la fin du sujet. On importe aussi les bibliothèques suivantes :

  import numpy as np
  import matplotlib.pyplot as plt
  import numpy.random as rd

• Le mot FIN marque la fin de l’énoncé.

Première partie

Soit \(\left(X_i\right)_{i \in \mathbb{N}^*}\) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, chacune de loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\). On suppose que \(X_i(\omega) \neq 0\) pour tout \(i \in \mathbb{N}^*\) et tout \(\omega \in \Omega\). On définit, pour tout entier \(n \in \mathbb{N}^*, \ \displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n X_i^2\).

La loi de \(S_n\) est appelée loi du khi-deux à \(n\) degrés de liberté, et on notera \(S_n \hookrightarrow \chi^2(n)\). On pose aussi, pour tout entier \(n \in \mathbb{N}^*, \ \displaystyle W_n=\frac{1}{2} \, S_n\).

1. 1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*, \ S_n\) admet une espérance et calculer \(\mathbb{E}(S_n)\). On admet que \(\mathbb{E}(S_n^2)\) existe pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\).

   2. Écrire une fonction Python simul(n) qui renvoie une réalisation de \(S_n\) lorsqu’on lui fournit un entier naturel non nul \(n\) en entrée.

   3. On exécute ensuite le programme suivant :

      def f(n,N):
          t=0
          for k in range(N):
              t = t + simul(n)**2
          return t/N - n**2
      
      A = np.arange (1,10)
      B =np.zeros(9)
      for n in A:
          B[n-1]=f(n,50000)
      plt.plot(A, B, "*k")
      plt.grid()
      plt.show()

      On obtient la figure ci-contre.

      

      Que peut-on conjecturer sur la variable aléatoire \(S_n\) ? Expliquer ce qui motive votre conjecture.

2. 1. Montrer que \(W_1\) est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de \(W_1\).

   2. En déduire la valeur de \(\Gamma \! \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)\).

   3. En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*, \ W_n\) suit la loi gamma \(\displaystyle \gamma \! \left(\frac{n}{2}\right)\).

   4. Retrouver alors la valeur de \(\mathbb{E}(S_n)\) et déterminer la valeur de \(\mathbb{V}(S_n)\).

3. 1. Montrer que, pour tout entier \(n, \ n \geqslant 3, \ \displaystyle \frac{1}{W_n}\) admet une espérance et que :

      \[\mathbb{E} \! \left(\frac{1}{W_n}\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\]

      En déduire que \(\displaystyle \mathbb{E} \! \left(\frac{1}{S_n}\right)=\frac{1}{n-2}\).

   2. Déduire de la question précédente que, pour tout entier \(n, \ n \geqslant 3, \ \frac{1}{\sqrt{S_n}}\) admet une espérance.

      Soit \(Y\) une variable aléatoire indépendante des \(\left(X_k\right)_{k \geqslant 1}\) et de loi \(\mathcal{N}(0,1)\). Pour tout \(n \geqslant 1\), on pose :

      \[T_n=\frac{Y}{\sqrt{S_n / n}}\]

      La loi de \(T_n\) est appelée loi de Student de paramètre \(n\) et on note \(T_n \hookrightarrow \mathcal{T}(n)\).

      On admet que \(T_n\) est une variable aléatoire à densité possédant une densité strictement positive et continue sur \(\mathbb{R}\).

4. Soit \(\alpha \in \left] 0,1\right[\). Montrer l’existence et l’unicité d’un réel \(t_{n, \alpha}\) tel que \(\mathbb{P}(\left|T_n\right| \leqslant t_{n, \alpha})=1-\alpha\).

5. 1. Montrer que, pour tout \(n\) entier, \(n \geqslant 3, \ \mathbb{E}(T_n)\) existe et vaut 0.

   2. Montrer que, pour tout \(n\) entier, \(n \geqslant 3, \ \mathbb{V}(T_n)\) existe et vaut \(\displaystyle \frac{n}{n-2}\).

   3. En déduire que, pour tout \(n\) entier, \(n \geqslant 3, \ \displaystyle \mathbb{E}(\left(T_n-Y\right)^2)=\frac{2 n-2}{n-2}-\sqrt{2 n} \, \mathbb{E} \! \left(\frac{1}{\sqrt{W_n}}\right)\).

6. Pour tout \(n\) entier, \(n \geqslant 2\), on pose : \(\displaystyle u_n=\mathbb{E} \! \left(\frac{1}{\sqrt{W_n}}\right)\).

   1. Montrer que la suite \(\left(u_n\right)_{n \geqslant 2}\) est décroissante et déterminer la valeur de \(u_2\).

   2. Montrer que, pour tout entier \(n, n \geqslant 2\), on a \(\displaystyle u_{n+1} \cdot u_n=\frac{2}{n-1}\).

   3. Écrire une fonction Python d’entête suite_u(n) qui renvoie sous la forme d’un tableau numpy les \(\mathrm{n}-1\) valeurs \(u_2, u_3, \ldots, u_n\).

   4. On exécute ensuite le programme suivant :

      U = suite_u(80)
      V = np.arange (2,81)
      plt.plot(V,V*U**2,",k")
      plt.grid()
      plt.show()

      On obtient la figure suivante :

      

      Que peut-on conjecturer concernant la suite \(\left(u_n\right)_{n \geqslant 2}\) ?

   5. Montrer que \(\displaystyle u_n \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}}\).

7. Montrer que la suite \(\left(T_n\right)_{n \geqslant 2}\) converge en probabilité vers \(Y\).

Deuxième partie

Dans cette partie, on démontre le résultat suivant :

Théorème : Soient \(X, Y\) deux variables aléatoires indépendantes, chacune de loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\). Les variables aléatoires \(\displaystyle \frac{X+Y}{\sqrt{2}}\) et \(\displaystyle \frac{X-Y}{\sqrt{2}}\) sont alors indépendantes et de loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\).

Pour la preuve, on fera appel au résultat suivant qu’on utilisera sans preuve :

Théorème : Soient \(X, Y\) deux variables aléatoires indépendantes, de densités respectives \(f\) et \(g\). Soit \(\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^2\) une partie fermée. Alors : \[\mathbb{P}((X, Y) \in \mathcal{A})=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} 1\kern-0.35em1_{\mathcal{A}}(x, y) f(x) \,\mathrm{d}x\right) g(y) \,\mathrm{d}y\]

où \(1\kern-0.35em1_{\mathcal{A}}(x, y)\) vaut 1 si \((x, y) \in \mathcal{A}\) et vaut 0 sinon.

Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) fixés jusqu’à la fin de cette partie. On considère la partie \(\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^2\) définie par :

\[\mathcal{A}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x+y \leqslant a \quad \text { et } \quad x-y \leqslant b\right\}\]

On pose également \(\displaystyle c=\frac{a+b}{2}, \ d=\frac{a-b}{2}\).

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes, chacune de loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\).

On pose \(\displaystyle W=\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\) et \(\displaystyle Z=\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\).

8. Dessiner la partie \(\mathcal{A}\) dans le cas où \(a=2, b=-1\).

9. Soit \(y\) un réel tel que \(y \geqslant d\).

   1. Montrer que \((x, y) \in \mathcal{A}\) si et seulement si \(x \in \left] -\infty, a-y \right]\).

   2. En déduire que

      \[\int_{-\infty}^{+\infty} 1\kern-0.35em1_{\mathcal{A}}(x, y) \, \varphi(x) \,\mathrm{d}x=\Phi(a-y)\]

10. Montrer de la même façon que pour tout \(y \leqslant d\) on a

    \[\int_{-\infty}^{+\infty} 1\kern-0.35em1_{\mathcal{A}}(x, y) \, \varphi(x) \,\mathrm{d}x=\Phi(b+y)\]

11. 1. Montrer que \(\mathcal{A}\) est une partie fermée de \(\mathbb{R}^2\).

    2. Montrer que

       \[\mathbb{P}((X, Y) \in \mathcal{A})=\int_0^{+\infty}(\varphi(d+z)+\varphi(d-z)) \, \Phi(c-z) \,\mathrm{d}z\]

12. Montrer que :

    \[\mathbb{P}((X, Y) \in \mathcal{A})=\int_0^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^c(\varphi(d+z)+\varphi(d-z)) \, \varphi(t-z) \,\mathrm{d}t\right) \mathrm{d}z\]

    On admet pour la suite que l’on peut changer l’ordre d’intégration dans la formule précédente, c’est-à-dire que l’on a :

    \[\mathbb{P}((X, Y) \in \mathcal{A})=\int_{-\infty}^c\left(\int_0^{+\infty}(\varphi(d+z)+\varphi(d-z)) \, \varphi(t-z) \mathrm{d}z \right) \mathrm{d}t\]

13. Montrer que pour tous \(u, v\) réels on a : \(\displaystyle \varphi(u) \, \varphi(v)=\varphi\! \left(\frac{u+v}{\sqrt{2}}\right) \varphi \! \left(\frac{u-v}{\sqrt{2}}\right)\).

14. Montrer que :

    \[\mathbb{P}((X, Y) \in \mathcal{A})=\frac{1}{\sqrt{2}} \int_{-\infty}^c\left( \varphi \! \left(\frac{t+d}{\sqrt{2}}\right) \Phi \! \left(\frac{t-d}{\sqrt{2}}\right)+\varphi\! \left(\frac{t-d}{\sqrt{2}}\right) \Phi \! \left(\frac{t+d}{\sqrt{2}}\right)\right) \mathrm{d}t\]

15. Montrer que :

    \[\mathbb{P}((X, Y) \in \mathcal{A})=\Phi \! \left(\frac{c+d}{\sqrt{2}}\right) \Phi \! \left(\frac{c-d}{\sqrt{2}}\right)\]

16. Conclure quant à l’objectif de cette partie.

Troisième partie

Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n \geqslant 2\). On munit l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\) du produit scalaire euclidien standard que l’on notera \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\). On considère une base orthonormée \(\left(a_1, \ldots, a_n\right)\) de \(\mathbb{R}^n\) telle que \(\displaystyle a_1=\frac{1}{\sqrt{n}} \left( 1, \ldots, 1 \right)\).

17. Soit \(x=\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n\). On pose \(\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\).

    1. Montrer que : \(\displaystyle \sum_{k=2}^n\left\langle x, a_k\right\rangle a_k=\left(x_1-\overline{x}, \ldots, x_n-\overline{x}\right)\).

    2. En déduire que : \(\displaystyle \sum_{k=2}^n\left\langle x, a_k\right\rangle^2=\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2\).

    Soient \(X_1, \ldots, X_n\) des variables aléatoires mutuellement indépendantes, chacune de loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\). On pose \(X=\left(X_1, \cdots, X_n\right)\). Pour \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\), on note \(\left\langle X, a_k\right\rangle\) la variable aléatoire \(Y_k\) définie pour tout \(\omega \in \Omega\) par \(Y_k(\omega)=\left\langle X(\omega), a_k\right\rangle\). Quitte à modifier les \(Y_k\) sur un ensemble de probabilité nulle, on peut supposer que \(Y_k(\omega) \neq 0\) pour tout \(\omega \in \Omega\) et tout \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\).

    Dans le reste du problème on utilisera sans preuve le théorème de Cochran :

    Théorème: Les variables aléatoires \(Y_1, \ldots, Y_n\) sont mutuellement indépendantes, chacune de loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\).

18. 1. Retrouver le résultat de la deuxième partie à l’aide du théorème de Cochran.

    2. Soit \(\left(\beta_1, \beta_2\right) \in \mathbb{R}^2-\{(0,0)\}\).

       Montrer que les variables aléatoires \(R_1=X_1+X_2\) et \(R_2=\beta_1 X_1+\beta_2 X_2\) sont indépendantes si et seulement si \(\operatorname{Cov}(R_1, R_2)=0\).

19. On introduit les variables aléatoires :

    \[\overline{X}=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}, \quad U=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2\]

    1. Donner la loi de \(\overline{X}\).

    2. Exprimer \(\overline{X}\) et \(U\) à l’aide des variables aléatoires \(Y_k, \ k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\).

    3. Montrer que \(\overline{X}\) et \(U\) sont indépendantes et que \(U\) suit la loi \(\chi^2(n-1)\).

       On suppose pour la fin de ce problème que \(Z=\left(Z_1, \ldots, Z_n\right)\) est un \(n\)-uplet de variables aléatoires mutuellement indépendantes, chacune de loi normale \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) avec \(\sigma>0\) où \(\left(\mu, \sigma^2\right)\) est inconnue. On pose :

       \[\overline{Z}=\frac{Z_1+\cdots+Z_n}{n}, \quad V=\sum_{i=1}^n\left(Z_i-\overline{Z}\right)^2\]

       Comme précédemment, on pourra supposer que \(V(\omega) \neq 0\) pour tout \(\omega \in \Omega\).

20. 1. Pour \(i \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\), on pose \(\displaystyle X_i=\frac{Z_i-\mu}{\sigma}\). On pose de plus \(\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}\) et \(\displaystyle U=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2\). Exprimer \(V\) en fonction de \(U\) et \(\sigma\).

    2. En déduire que \(\displaystyle \frac{1}{n-1} \, V\) est un estimateur sans biais de \(\sigma^2\).

    3. Montrer que \(\displaystyle \frac{\overline{Z}-\mu}{\sqrt{\frac{V}{n(n-1)}}}\) suit la loi de Student \(\mathcal{T}(n-1)\).

21. Soit \(\alpha \in \left] 0,1\right[\) et \(t_{n-1, \alpha}\) le réel tel que \(\mathbb{P}(|T| \leqslant t_{n-1, \alpha})=1-\alpha\) lorsque \(T \hookrightarrow \mathcal{T}(n-1)\).

    Construire, en fonction de \(\overline{Z}, V, n\) et \(t_{n-1, \alpha}\), un intervalle de confiance de \(\mu\) au niveau de confiance \(1-\alpha\).

    Dans la pratique, les valeurs \(t_{n-1, \alpha}\) sont tabulées et permettent ainsi la construction d’intervalles de confiance non asymptotiques pour des modèles gaussiens.

I. Mathématiques générales

import numpy as np

II. Simulations probabilistes

import numpy.random as rd

III. Graphiques

import matplotlib.pyplot as plt