Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Pour tout couple \((p,q)\) d’entiers de \(\mathbb{N}^*\), on note \({\mathcal M}_{p,q}(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices à \(p\) lignes et \(q\) colonnes à coefficients réels et \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\) cet ensemble lorsque \(q=p\).
On note \(\mathrm{I}_p\) la matrice identité de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\).
Dans tout le problème :
pour tout \(p\) de \(\mathbb{N}^*\), on identifie les espaces vectoriels \(\mathbb{R}^p\) et \({\mathcal M}_{p,1}(\mathbb{R})\), c’est-à-dire que l’on identifie tout élément de \(\mathbb{R}^p\) avec le vecteur colonne de ses coordonnées dans la base canonique de \(\mathbb{R}^p\) ;
on note \({}^t\!A\) la transposée d’une matrice \(A\) de \({\mathcal M}_{p,q}(\mathbb{R})\) ;
pour toute matrice \(A=(a_{k,j})_{1 \leqslant k,j \leqslant p}\) de \({\mathcal M}_{p}(\mathbb{R})\), on note \(\mathrm{Sp}(A)\) l’ensemble des valeurs propres réelles de \(A\) et on pose : \(\rho(A)=\displaystyle\max_{\lambda \in \mathrm{Sp}(A)} |\lambda|\) et \(N(A)=\displaystyle\max_{1 \leqslant k \leqslant p}\sum_{j=1}^p |a_{k,j}|\) ;
le vecteur nul de \(\mathbb{R}^p\) est noté \(0\). Si \(X=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_p \end{pmatrix}\) et \(Y= \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_p \end{pmatrix}\) sont deux vecteurs de \(\mathbb{R}^p\), on note \(X<Y\) (resp. \(X \leqslant Y\)) si pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\), on a : \(x_k<y_k\) (resp. \(x_k \leqslant y_k\)). En particulier, si les coordonnées de \(X\) sont toutes positives (resp. strictement positives), on note \(X \geqslant 0\) (resp. \(X>0\)) ;
pour tout vecteur \(V\) de \(\mathbb{R}^p\), on note \(|V|\) le vecteur de \(\mathbb{R}^p\) dont les coordonnées sont les valeurs absolues de celles de \(V\).
Soit \((M_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) une suite de matrices de \({\mathcal M}_{p}(\mathbb{R})\). Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), on pose : \(M_n=(m_{k,j}(n))_{1 \leqslant k,j \leqslant p}\).
On dit que la suite de matrices \((M_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) converge vers la matrice \(M=(m_{k,j})_{1 \leqslant k,j \leqslant p}\) de \({\mathcal M}_{p}(\mathbb{R})\), si pour tout couple \((k,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]^2\), on a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} m_{k,j}(n)= m_{k,j}\) ; on note alors : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} M_n=M\).
On admet sans démonstration que si \((A_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) et \((B_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) sont deux suites de matrices de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\) convergeant respectivement vers des matrices \(A\) et \(B\), alors :
la suite \((A_n+B_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) converge vers la matrice \(A+B\),
la suite \((A_nB_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) converge vers la matrice \(AB\),
pour tout réel \(\alpha\), la suite \((\alpha A_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) converge vers la matrice \(\alpha A\).
Une matrice \(A=(a_{k,j})_{1 \leqslant k,j \leqslant p}\) de \({\mathcal M}_{p}(\mathbb{R})\) est dite positive (resp. strictement positive) si pour tout couple \((k,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]^2\), on a : \(a_{k,j} \geqslant 0\) (resp. \(a_{k,j} > 0\)).
Le problème a pour objet l’étude des relations entre les valeurs propres de valeur absolue maximale d’une matrice et la limite éventuelle de la suite des puissances entières de cette matrice. Ces relations, appliquées aux matrices positives et strictement positives, interviennent notamment dans la théorie des processus markoviens et dans les questions relatives à l’existence et la stabilité de l’équilibre général d’une économie.
Exemple 1. Soit \(A\) et \(J\) les matrices de \({\mathcal M}_3(\mathbb{R})\) définies par :
\[A=\begin{pmatrix} 0& 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 &1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad J= \begin{pmatrix} 1& 1 & 1 \\ 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]
Calculer \(J^2\) et déterminer les valeurs propres de \(J\).
Exprimer \(A\) en fonction de \(I_3\) et \(J\), et en déduire \(\mathrm{Sp}(A)\) et \(\rho(A)\).
Exprimer pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), \(A^n\) en fonction de \(I_3\), \(J\) et \(n\). En déduire pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), la valeur de \(N(A^n)\).
Montrer que la suite \((A^n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge vers une matrice \(M\) que l’on explicitera et dont on précisera le rang. Montrer que \(M\) est la matrice d’un projecteur de \(\mathbb{R}^3\).
Exemple 2. Soit \(A\) la matrice de \({\mathcal M}_3(\mathbb{R})\) définie par \(A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &2& 1 \\ 0&0& 3 \end{pmatrix}\).
Déterminer \(\mathrm{Sp}(A)\). Justifier que \(A\) est diagonalisable. Calculer \(N(A)\) et \(\rho(A)\).
Déterminer une base de \({\mathcal M}_{3,1}(\mathbb{R})\) formée de vecteurs propres de \(A\).
Expliciter pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), la matrice \(A^n\). Comparer \(\rho(A^n)\) et \((\rho(A))^n\).
Pour tout \(n \in\mathbb{N}^\ast\), calculer \(N(A^n)\) puis comparer \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} (N(A^n))^{1/n}\) et \(\rho(A)\).
Dans cette partie, on note \(A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant p}\) une matrice de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\). On suppose que \(A\) possède au moins une valeur propre \(\lambda\) et on considère \(X= \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_p \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^p\) un vecteur propre de \(A\) associé à \(\lambda\).
Soit \(k_0\) un entier de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\) pour lequel on a : \(0< |x_{k_0}|=\displaystyle\max_{1 \leqslant j \leqslant p}|x_j|\).
Établir les encadrements suivants : \(|\lambda| \leqslant \displaystyle\sum_{j=1}^p |a_{k_0,j}| \leqslant N(A)\) et \(0 \leqslant \rho(A) \leqslant N(A)\).
Soit \(n\) un entier de \(\mathbb{N}^*\) et \(\mu\) une valeur propre de \(A^n\) telle que \(|\mu|=\rho(A^n)\).
Montrer que \(\lambda^n\) est une valeur propre de \(A^n\). En déduire l’inégalité : \(\rho(A^n) \geqslant (\rho(A))^n\).
Dans la suite, on admettra sans démonstration que : \(\rho(A^n) = (\rho(A))^n\).
Établir l’encadrement : \(0 \leqslant \rho(A) \leqslant (N(A^n))^{1/n}\).
On suppose que la suite de matrices \((A^n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) converge vers la matrice nulle de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\).
Montrer que \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} N(A^n)=0\). En déduire que \(\rho(A)<1\).
Dans cette question, on suppose que la matrice \(A\) est diagonalisable dans \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\).
On pose pour tout réel \(\varepsilon\) strictement positif : \(A_\varepsilon= \displaystyle\frac{1}{\rho(A)+\varepsilon} \, A\).
Montrer que si \(\rho(A)<1\), alors la suite de matrices \((A^n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) converge vers la matrice nulle de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\).
Montrer que \(\rho(A_\varepsilon)<1\). En déduire qu’il existe un entier \(n_0\) tel que pour tout entier \(n \geqslant n_0\), on a : \(N(A_\varepsilon^n) \leqslant 1\).
Établir pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), la relation : \(N(A^n)= \left(\rho(A)+\varepsilon\right)^{n}N(A_\varepsilon^n)\).
À l’aide des questions précédentes, établir pour tout \(n \geqslant n_0\) : \(0 \leqslant (N(A^n))^{1/n}-\rho(A) \leqslant \varepsilon\).
En déduire que l’on a : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} (N(A^n))^{1/n}=\rho(A)\).
Dans la suite du problème, on admet que pour toute matrice \(A\) de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\), on a : \[\lim_{n\to +\infty} (N(A^n))^{1/n}=\rho(A)\] et que la suite \((A^n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) converge vers la matrice nulle de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\) si et seulement si on a \(\rho(A)<1\).
Dans cette partie, on considère une matrice \(A=(a_{k,j})_{1 \leqslant k,j \leqslant p}\) de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\) positive et non nulle.
Soit \(B=(b_{k,j})_{1 \leqslant k,j \leqslant p}\) une matrice positive de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\) vérifiant pour tout couple \((k,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]^2\) : \(b_{k,j} \leqslant a_{k,j}\).
Montrer que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), on a : \(N(B^n) \leqslant N(A^n)\). En déduire l’inégalité : \(\rho(B) \leqslant \rho(A)\).
On suppose dans cette question qu’il existe une constante \(s\) vérifiant pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\) : \[\sum_{j=1}^p a_{k,j}=s\]
Établir l’égalité : \(\rho(A)=s\).
On pose : \(\sigma=\displaystyle\min_{1 \leqslant k \leqslant p} \sum_{j=1}^p a_{k,j}\). À l’aide des questions 7 et 8, établir l’encadrement : \(\displaystyle\sigma \leqslant \rho(A) \leqslant N(A)\).
Soit \(X\) un vecteur de \(\mathbb{R}^p\) tel que \(X>0\) et soit \(\Delta_X\) la matrice diagonale de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\) dont les éléments diagonaux sont les coordonnées \(x_1, x_2, \ldots, x_p\) de \(X\).
Après avoir justifié l’existence de l’inverse \(\Delta_X^{-1}\) de \(\Delta_X\), calculer la matrice \(\Delta_X^{-1}A\, \Delta_X\).
Établir l’encadrement : \(\displaystyle\min_{1 \leqslant k \leqslant p}{\frac{1}{x_k}} \sum_{j=1}^p a_{k,j}x_j \leqslant \rho(A) \leqslant \max_{1 \leqslant k \leqslant p} {\frac{1}{x_k}} \sum_{j=1}^p a_{k,j}x_j\).
En déduire que s’il existe un réel positif \(\beta\) vérifiant \(\beta X<AX\), il vérifie également \(\beta < \rho(A)\).
Dans cette partie, la matrice \(A=(a_{k,j})_{1 \leqslant k,j \leqslant p}\) de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\) est strictement positive, \(\lambda\) est une valeur propre réelle de \(A\) telle que \(|\lambda|=\rho(A)\), et \(X\in \mathbb{R}^p\) est un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\).
Montrer que \(\rho(A)>0\).
Établir la relation : \(|AX| \leqslant A\left| X \right|\). En déduire que l’on a : \(\rho(A) \left| X \right| \leqslant A\left| X \right|\).
On pose : \(Z= A\left| X \right|\). Montrer que \(Z>0\).
On pose : \(Y= A\left| X \right|-\rho(A)\left| X \right|\) et on suppose \(Y\neq 0\). Établir les relations : \(AY>0\) et \(\rho(A) \, Z<AZ\).
En déduire que \(\rho(A)\) est une valeur propre de \(A\) et que \(\left| X \right|\) est un vecteur propre de \(A\) associé à \(\rho(A)\).
On considère deux nombres réels \(x_1\) et \(x_2\) non nuls et vérifiant \(|x_1+x_2|=|x_1|+|x_2|\). Montrer que \(x_1\) et \(x_2\) sont de même signe.
On considère \(p\) nombres réels \((p \geqslant 2\)) \(x_1, x_2,\ldots, x_p\) tous non nuls et vérifiant \(\displaystyle\left| \sum_{j=1}^p x_j \right| = \sum_{j=1}^p \left| x_j \right|\).
Montrer que \(x_1,\dots,x_p\) sont tous de même signe.
Montrer que \(\left| X \right|>0\) et que \(|AX|= A\left| X \right|\). En déduire que \(X=\pm \left| X \right|\).
Montrer que \(\rho(A)\) est l’unique valeur propre de \(A\) de valeur absolue maximale.
On suppose qu’il existe deux vecteurs propres \(U=\begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_p \end{pmatrix}\) et \(V= \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_p \end{pmatrix}\) de la matrice \(A\) associés à la valeur propre \(\rho(A)\), linéairement indépendants.
En considérant le vecteur \(u_1V-v_1U\), aboutir à une contradiction. En déduire la dimension du sous-espace propre associé à \(\rho(A)\).
Montrer que \(A\) et \({}^t\!A\) ont les mêmes valeurs propres.
Soit \(Z\) un vecteur propre de \({}^t\!A\) associé à la valeur propre \(\rho(A)\). Justifier que les coordonnées de \(Z\) sont toutes strictement positives ou toutes strictement négatives.
Soit \(U\) un vecteur propre de \(A\) vérifiant \(U>0\), associé à la valeur propre \(\rho(A)\). On pose : \[Y= \frac{1}{ {}^t ZU} \, Z\]
Établir les relations suivantes : \(Y>0\), \({}^t\!AY=\rho(A) \, Y\) et \({}^tYU=1\).
Soit \(M\) la matrice de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\) définie par \(M= U\, {}^t\!\, Y\), où \(U\) a été défini dans la question 15.c).
Montrer que \(M\) est la matrice d’un projecteur de \(\mathbb{R}^p\) dont on précisera l’image et le noyau.
Établir pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), la relation : \(\displaystyle\left(\frac{1}{ \rho(A)} \, A-M\right)^n= \left(\frac{1}{ \rho(A)} \, A\right)^n-M\).
Soit \(\mu\) une valeur propre non nulle de \((A-\rho(A)M)\) et \(W\) un vecteur propre de \((A-\rho(A)M)\) associé à \(\mu\).
Montrer que \(MW=0\).
En déduire que \(\mu\) est également une valeur propre de \(A\) et que \(|\mu| \leqslant \rho(A)\).
En raisonnant par l’absurde et en utilisant la question 14.a), montrer que \(|\mu|<\rho(A)\).
Déduire des résultats précédents que \(\rho(A-\rho(A)M)<\rho(A)\) et que \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left( \frac{1}{ \rho(A)} \, A\right)^n=M\).
On munit l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^p\) du produit scalaire canonique. On note \(||\cdot ||\) la norme euclidienne associée.
Soit \(A\) une matrice de \({\mathcal M}_p(\mathbb{R})\) strictement positive, symétrique, admettant \(p\) valeurs propres distinctes \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_p\) telles que \(|\lambda_1|>|\lambda_2|>\cdots >|\lambda_p|\). Soit \(V_0\) un vecteur de \(\mathbb{R}^p\) tel que \(V_0>0\). Soit \((e_1, e_2, \ldots, e_p)\) une base orthonormée de \(\mathbb{R}^p\) formée de vecteurs propres de \(A\) tels que pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\), \(Ae_k=\lambda_ke_k\).
On rappelle qu’une suite \((X_n)_{n\in \mathbb{N}}\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^p\) converge vers un vecteur \(L\) de \(\mathbb{R}^p\) si \[\displaystyle\lim_{n\to +\infty} ||X_n-L||=0\] et on note : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} X_n=L\).
On définit la suite \((V_n)_{n\in \mathbb{N}}\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^p\) par : \(V_0\), et pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(V_{n+1}=AV_n\).
Soit \(V_0= \displaystyle\sum_{k=1}^p s_ke_k\), la décomposition de \(V_0\) dans la base \((e_1, e_2, \ldots, e_p)\). Montrer que \(s_1\neq 0\).
Établir la relation : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{||V_{n+1}||}{ ||V_n||}=\lambda_1\).
Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{V_n}{ ||V_n||}\) (on distinguera deux cas suivant le signe de \(s_1\)).
Dans un programme Python, on suppose
avoir importé de bibliothèques à l’aide des commandes suivantes :
import numpy as np import numpy.linalg as al
Écrire une fonction d’en-tête
def norme(V): qui, étant donné un vecteur
\(V\) de \(\mathbb{R}^n\), renvoie sa norme \(\left\| V \right\|\).
Écrire une fonction d’en-tête
def puissance(A,n,V0) qui renvoie pour tout
entier naturel \(n\) non nul, le
vecteur \(V_n\) défini
ci-dessus.
Écrire une fonction d’en-tête
vectpropre(A,n,V0) qui renvoie la valeur
approchée d’un vecteur propre associé à \(\lambda_1\) obtenue pour une valeur de
\(n\) donnée, et une fonction d’en-tête
def valpropre(A,n,V0) qui calcule la valeur
approchée de \(\lambda_1\) obtenue pour
une valeur de \(n\) donnée.
On expliquera les différentes étapes des procédures proposées.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
